精品解析：2025届河南省开封高级中学高考一轮复习阶段性检测（一）数学试题

开封高中2025届一轮复习阶段性检测数学试题（一） 说明： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分． 考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卷上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若函数在处取得极大值，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 自“”横空出世，全球科技企业掀起一场研发大模型的热潮，随着算力等硬件底座逐步搭建完善，大规模应用成为可能，尤其在图文创意、虚拟数字人以及工业软件领域已出现较为成熟的落地应用.函数和函数是研究人工智能被广泛使用的2种用作神经网络的激活函数，函数的解析式为，经过某次测试得知，则当把变量减半时，（ ） A. B. C. D. 5. 造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则C在第一象限的点的纵坐标的最大值与1的关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数．若，则（ ） A. 23 B. 24 C. 25 D. 26 7. 已知及其导函数的定义域均为，记，，若关于对称，是偶函数，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 8. “三角换元思想”是三角函数中的基本思想.运用三角换元法可以处理曲线中的最值问题.譬如：已知，求的最大值.我们令，，则，这样我们就把原问题转化为三角函数最值问题.已知是曲线上的点，则的最大值为（ ） A. 2 B. 8 C. 18 D. 36 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 同时投掷甲、乙两枚质地均匀的硬币，记“甲正面向上”为事件，“乙正面向上”为事件，“甲、乙至少一枚正面向上”为事件，则下列判断正确的是（ ） A. 与相互对立 B. 与相互独立 C. D. 10. 设是直线与曲线的两个交点的横坐标，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知正方体的棱长为2，点M，N分别为棱的中点，点P为四边形（含边界）内一动点，且，则（ ） A. 平面 B. 点P的轨迹长度为 C. 存在点P，使得平面 D. 点P到平面距离的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设随机变量，则______． 13. 某人上楼梯，每步上1阶的概率为，每步上2阶的概率为，设该人从第1阶台阶出发，到达第3阶台阶的概率为_________． 14. 已知函数(R).若在区间上有且只有一个极值点，则实数的取值范围为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设，函数． （1）当时，求过点且与曲线相切的直线方程： （2）是函数的两个极值点，证明：为定值． 16. 某学校有 、 两个餐厅，经统计发现，学生在第一天就餐时会随机地选择一个餐厅用餐．此后，如果某同学某天去 餐厅，那么该同学下一天还去 餐厅的概率为；如果某同学某天去 餐厅，那么该同学下一天去 餐厅的概率为． （1）记甲、乙、丙3位同学中第2天选择 餐厅的人数为，求随机变量的分布列和期望； （2）甲同学第几天去 餐厅就餐的可能性最大？并说明理由． 17. 已知函数，其中． （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）当时，若且，比较与的大小，并说明理由 18. 如图，四棱锥中，底面，，，. （1）若，证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，求； （3）当，时，四棱锥的外接球表面积与（2）中四棱锥的外接球表面积相等么？若相等，请求出四棱锥的外接球表面积；若不相等，请说明理由. 19. 已知函数，为的导数 （1）讨论的单调性； （2）若是的极大值点，求的取值范围； （3）若，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 开封高中2025届一轮复习阶段性检测数学试题（一） 说明： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分． 考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卷上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，将集合化简，再由交集的运算，即可得到结果. 【详解】因为，即，所以， 且，则. 故选：A 2. 若函数在处取得极大值，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，由题意得，求出的值并验证即可得解． 【详解】将原函数求导得：， 因函数在处取得极大值，则，解得. 当时，. 令，得或；令，得. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值， 满足题意. 故选：A． 3. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法和复合函数单调性的判断方法，换元后可知只要满足即可，从而可求出实数的取值范围. 【详解】令，则， 因为函数在区间上单调递减， 且在定义域内递增， 所以，解得， 故选：B 4. 自“”横空出世，全球科技企业掀起一场研发大模型的热潮，随着算力等硬件底座逐步搭建完善，大规模应用成为可能，尤其在图文创意、虚拟数字人以及工业软件领域已出现较为成熟的落地应用.函数和函数是研究人工智能被广泛使用的2种用作神经网络的激活函数，函数的解析式为，经过某次测试得知，则当把变量减半时，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由得到求解. 【详解】， ，则，（舍）． ， ． 故选：A. 5. 造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则C在第一象限的点的纵坐标的最大值与1的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设曲线C上任意一点为，由题意求出其方程为：，再取，求，即得答案. 【详解】设曲线C上任意一点为， 由题意知，曲线C方程为：，其中， 将点代入曲线方程，得：，则. 故曲线C方程为：，其中. 可得， 当时，. 因此C在第一象限的点的纵坐标的最大值. 故选：D. 6. 已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数．若，则（ ） A. 23 B. 24 C. 25 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数奇偶性推出函数关于直线对称和关于点 对称，则得到其周期，再计算其一个周期内的和，最后代入计算即可. 【详解】为偶函数，则则关于对称， 为奇函数，则， 即，则关于点对称， 则由其关于对称有，则， 则，作差有， 为周期函数，且周期为4，因为，，则， 因为，，则， ，则， ，， 故选：C. 7. 已知及其导函数的定义域均为，记，，若关于对称，是偶函数，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知直接得，由复合函数求导法则可得，进一步有，由此即可得解. 【详解】若关于对称，则的图象关于轴对称， 所以，两边求导得， 因为是偶函数，所以，令，就有， 即有， 所以， 所以. 故选：A. 8. “三角换元思想”是三角函数中的基本思想.运用三角换元法可以处理曲线中的最值问题.譬如：已知，求的最大值.我们令，，则，这样我们就把原问题转化为三角函数最值问题.已知是曲线上的点，则的最大值为（ ） A. 2 B. 8 C. 18 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】设，，，可得，令，得，令，利用导数可得其单调性，进而得的单调性，即可求的最大值. 【详解】由题意得， 令，，，则， ∴， ∴ ，. ∵，∴. 令，则，， ∴， ∴，令，， ∴在上单调递减， ∴在上单调递增. 故， 所以. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 同时投掷甲、乙两枚质地均匀的硬币，记“甲正面向上”为事件，“乙正面向上”为事件，“甲、乙至少一枚正面向上”为事件，则下列判断正确的是（ ） A. 与相互对立 B. 与相互独立 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据独立事件的定义判断B，根据互斥事件、对立事件的定义判断A，根据独立事件及条件概率的概率公式判断C、D. 【详解】对于A，由题意可知，事件与事件有可能同时发生， 例如“甲正面向上且乙正面向上”，故事件与事件不是互斥事件，当然也不是对立事件，故A错误； 对于B，依题意，，， 所以事件与事件相互独立，故B正确； 对于C、D，，因为，所以， 所以，故D正确，C错误． 故选：BD． 10. 设是直线与曲线的两个交点的横坐标，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】求得，得到函数的单调性和极大值，作出函数的图象，可判定A正确；构造函数，利用导数求得函数的单调性，可得，可判定B错误；结合且时，得到的极限，可判定C正确；得到，转化为证明，结合在上单调性和，利用导数判定其单调性，进而可判定D正确. 【详解】由函数的定义域为，可得， 令，可得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以，当时，可得函数的极大值为， 对于A中，知，所以，所以A正确； 对于B中，构造函数，可得， 当时，，在单调递增； 所以，可得，可得，所以B错误； 对于C中，由函数的极大值为， 令，可得， , 结合函数单调性可得图像如图所示. 当且时，， 又因为当时，, 所以，，所以C正确； 对于D中，因为，所以，所以等价于， 为证，成立，即,因为,故只需证：， 因为，只需证：且与均大于1， 又因为在上单调递增， 只需证：，即证：， 令， 可得， 所以在上单调递增，且， 所以成立，所以D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 11. 已知正方体的棱长为2，点M，N分别为棱的中点，点P为四边形（含边界）内一动点，且，则（ ） A. 平面 B. 点P的轨迹长度为 C. 存在点P，使得平面 D. 点P到平面距离的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用线线平行的性质可判定A，利用空间轨迹结合弧长公式可判定B，建立空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系及点面距离可判定C、D. 【详解】对于A，在正方体中易知， 又平面，平面，所以平面，即A正确； 对于B，因为点P为四边形（含边界）内一动点，且，， 则，所以P点轨迹为以为圆心，为半径的圆与正方形相交的部分， 所以点P的轨迹长度为，故B正确； 对于C，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 若存在点P，使得面，则， 解之得，显然不满足同角三角函数的平方关系， 即不存在点P，使得面，故C错误； 对于D，设平面的一个法向量为，则， 取，即， 则点P到平面的距离， 显然时取得最大值，故D正确. 故选：ABD 【点睛】思路点睛：对于B，利用定点定距离结合空间轨迹即可解决，对于C、D因为动点不方便利用几何法处理，可以利用空间直角坐标系，由空间向量研究空间位置关系及点面距离计算即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设随机变量，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据超几何分布的分布列计算公式求解. 【详解】由，得. 故答案为: 13. 某人上楼梯，每步上1阶的概率为，每步上2阶的概率为，设该人从第1阶台阶出发，到达第3阶台阶的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先分①②两种方法，再由独立事件的乘法公式计算即可. 【详解】到达第3台阶的方法有两种： 第一种： 每步上一个台阶，上两步，则概率为；第二种： 只上一步且上两个台阶，则概率为， 所以到达第3阶台阶的概率为， 故答案为：. 14. 已知函数(R).若在区间上有且只有一个极值点，则实数的取值范围为______ 【答案】 【解析】 【分析】求导，令，再求导，分类讨论和时的正负，从而确定是否有极值点以及极值点的个数. 【详解】由， 令，则. 因为，所以， 当时，， 所以在上为减函数，所以，. 则在上为减函数，在上无极值点，矛盾. 当时，令得， 令得， 所以在上为增函数，在上为减函数， 注意到，当无限趋于正无穷大时，无限趋于负无穷大， 则使. 当时，，，则在上单调递增； 当时，，，则在上单调递减. 因此，在区间上恰有一个极值点， 所以的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设，函数． （1）当时，求过点且与曲线相切的直线方程： （2）是函数的两个极值点，证明：为定值． 【答案】（1） （2）证明：依题意，，令，得． 0 0 极大值 极小值 不妨设，则． 所以为定值． 【解析】 【分析】（1）设出切点坐标，求出该点的导数值，从而表达出切线方程，再代入切线经过的已知点，从而求出切点横坐标，从而求出切线方程. （2）先求出函数的极值点（用参数a表示），再代入的计算式即可证出结果. 【小问1详解】 当时，，则导数． 设切点为，则， 所以切线方程为． 又切线过点，则， 整理得，，解得． 所以过点且与曲线相切的直线方程为． 【小问2详解】 略 16. 某学校有 、 两个餐厅，经统计发现，学生在第一天就餐时会随机地选择一个餐厅用餐．此后，如果某同学某天去 餐厅，那么该同学下一天还去 餐厅的概率为；如果某同学某天去 餐厅，那么该同学下一天去 餐厅的概率为． （1）记甲、乙、丙3位同学中第2天选择 餐厅的人数为，求随机变量的分布列和期望； （2）甲同学第几天去 餐厅就餐的可能性最大？并说明理由． 【答案】（1）分布列： 0 1 2 3 数学期望为 （2）甲同学第2天去 餐厅就餐的可能性最大，理由： 设甲同学第 天去 餐厅的概率为，则， 当 时，， ，又， 是以为首项，为公比的等比数列， ，， 当 是奇数时，； 当 是偶数时，，则． 所以甲同学第2天去 餐厅就餐的可能性最大． 【解析】 【分析】（1）首先求出任意一位同学第 天选择去 餐厅就餐的概率，依题意可得，根据二项分布的概率公式求出分布列，从而求出数学期望； （2）设甲同学第 天去 餐厅的概率为，则，，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，求出的通项，再求出的最大值即可. 【小问1详解】 设一位同学第 天选择去 餐厅就餐的概率为 ，则． 则，所以，， ，， 故的分布列如下表所示． 0 1 2 3 则的期望为. 【小问2详解】 略 17. 已知函数，其中． （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）当时，若且，比较与的大小，并说明理由 【答案】（1） （2），理由： 当时，， 且， 下面证明， 即证明，等价于证明：， 设，所证即为：， 等价于证明：， 设函数． 在上单调递增，而， ，所证不等式成立． 【解析】 【分析】（1）对函数求导，利用函数单调性与导数的关系，建立不等式求解即可； （2）由，得，要证明，只需证明，两边同时取对数整理得，构造函数，利用导数的性质证明即可. 【小问1详解】 ， 在上单调递增，在上恒成立且满足的点不连续． 当时，．由在上单调递减可知， 当时，，， 综上，的取值范围为 【小问2详解】 略 18. 如图，四棱锥中，底面，，，. （1）若，证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，求； （3）当，时，四棱锥的外接球表面积与（2）中四棱锥的外接球表面积相等么？若相等，请求出四棱锥的外接球表面积；若不相等，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理和判定定理可得平面，平面，然后利用线面垂直的性质定理和线面平行的判定定理即可证明； （2）根据面面垂直的性质可先求二面角的平面角，根据两个二面角的平面角相等，即可根据对称求解； （3）根据底面四边形的外接圆半径不变，即可求解两种情况下的表面积不变，进而由表面积公式即可求解. 【小问1详解】 在四棱锥中，底面，底面， 故，又，平面，故平面， 又，，，，故， 底面，底面， 故，平面，故平面， 因此，同时注意到平面，平面，则平面. 【小问2详解】 如图： 过点B作，垂足为，过作于点，连接， 由于底面，平面，故平面底面， 且两平面的交线为,平面，故平面， 平面，则， 又，平面， 故平面，平面，故， 所以是二面角的平面角， ，故， 因此， 在 中，， 故二面角的正弦值为， 当，二面角的正弦值也是，则点D为点B关于直线的对称点，此时. 【小问3详解】 第（2）问的情况下，由（2）可知三角形与全等，故均为直角三角形，且均为斜边， 因此底面四边形的外接圆半径为， 在第（3）问下：即，条件下时， 由和（1）知：， 又，因此三角形与均为直角三角形，且均为斜边， 因此底面四边形的外接圆半径为， 由于两种情况下，四边形的外接圆半径相等，又平面，故其外接球的半径一定相等，因此四棱锥的外接球表面积在两种情况下是相等的. 且球半径为，表面积为. 19. 已知函数，为的导数 （1）讨论的单调性； （2）若是的极大值点，求的取值范围； （3）若，证明：． 【答案】（1） 当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. （2） （3） 要证， 只要证， 只要证，， 因为，则， 所以只要证对任意，有， 只要证对任意，有（※）， 因为由（2）知：当时，若，则， 所以，即①， 令函数，则， 所以当时，所以在单调递增； 则，即， 由①②得， 所以（※）成立， 所以成立. 【解析】 【分析】（1）令，求出导函数，再分和两种情况讨论，分别求出函数的单调区间； （2）结合（1）分、、、四种情况讨论，判断的单调性，即可确定极值点，从而得解； （3）利用分析法可得只需证，，只需证对任意，有，结合（2）只需证明，构造函数，利用导数证明即可. 【小问1详解】 由题知， 令，则， 当时，在区间单调递增， 当时，令，解得， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 综上所述，当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 【小问2详解】 当时，， 由（1）知，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 所以是函数的极小值点，不符合题意； 当时，，且， 由（1）知，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 所以是函数的极小值点，不符合题意； 当时，，则当时，在上单调递增， 所以无极值点，不合题意； 当时，，且； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 所以是函数的极大值点，符合题意； 综上所述，的取值范围是. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $