2026届高考数学一轮复习讲义——基本不等式

基本不等式 课前学习任务 一、课标解读 1.掌握基本不等式(a,b>0). 2.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题. 3.理解基本不等式在实际问题中的应用. 二、必备知识 1.基本不等式:.也叫均值不等式 (1)基本不等式成立的条件:　　　　　　　.  (2)等号成立的条件:当且仅当　　　　时,等号成立.  (3)其中　　　　称为正数a,b的算术平均数,　　　称为正数a,b的几何平均数.  [教材知识深化] 1.基本不等式可描述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2.可借助平面图形中线段长度的关系直观表示基本不等式: 2.基本不等式的变形及重要不等式 (1)a2+b2≥　　　(a,b∈R),当且仅当a=b时,等号成立.  (2)a+b≥2(a>0,b>0),当且仅当a=b时,等号成立. 当两个正数的积为定值时,用来求它们和的最小值　　 (3)ab≤2(a,b∈R),当且仅当a=b时,等号成立. 当两个实数的和为定值时,用来求它们积的最大值 (4)2≤(a,b∈R),当且仅当a=b时,等号成立. 3.利用基本不等式求最值 已知x>0,y>0. (1)如果积xy等于定值P,那么当　　　时,和x+y有最小值　　　(简记:积定和最小).  (2)如果和x+y等于定值S,那么当　　　时,积xy有最大值　　　(简记:和定积最大).  三、自主诊断 一、基础自测 1.思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”) (1)当且仅当a,b>0时,有≥2. (　　) (2)函数f(x)=sin x+0<x<的最小值为2. (　　) (3)当a>0时,a++2a+的最小值为4. (　　) (4)当a,b>0时,lg a+lg b≤2lg. (　　) 2.(多选题)(人教A版必修第一册49页习题2.2第6题改编)一家货物公司计划租地建造仓库储存货物,经过市场调查了解到下列信息:每月土地占地费y1(单位:万元)与仓库到车站的距离x(单位:km)成反比,每月库存货物费y2(单位:万元)与x成正比;若在距离车站10 km处建仓库,则y1为1万元,y2为4万元,下列结论正确的是(　　) 　　　　　　　　　　　　　 A.y2=0.4x(x>0) B.y1=(x>0) C.y1+y2有最小值4 D.y1-y2无最小值 3.(人教A版必修第一册习题2.2第5题改编)已知x>0,则2-3x-的最大值是　.  4.(人教B版必修第一册2.2.4节练习B第1题改编)已知x∈(-2,5),则y=(2+x)(5-x)的最大值是　　　　,此时x的值为　　　　.  二、连线高考 5.(2021·全国乙,文8)下列函数中最小值为4的是(　　) A.y=x2+2x+4 B.y=|sin x|+ C.y=2x+22-x D.y=ln x+ 6.(2020·天津,14)已知a>0,b>0,且ab=1,则的最小值为　　　　　.  课堂核心考点 考点一 利用基本不等式求最值 考向1　配凑法 1.(1)函数f(x)=x≥有(　　) 　　　　　　　　　　　　　 A.最大值 B.最小值 C.最大值2 D.最小值2 (2)(多选题)已知a>1,则2a+的取值可以是(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 (3)已知0<x<,则x的最大值为　　　　　.  [对点训练1](1)(2024·河北唐山一模)已知函数f(x)=,则f(x)的最小值为(　　) A.0 B.2 C.2 D.3 (2)(2024·山东潍坊模拟)函数y=的值域是　　　　　.  考向2　常数代换法 2.(2024·辽宁沈阳模拟)已知正实数x,y满足=1,则2x+y的最小值为(　　) A.2 B.4 C.8 D.9 变式探究1 本例中,若条件不变,试求xy的最小值为　　　　.  变式探究2 本例中,若将条件改为“x+2y=4xy”,试求2x+y的最小值为　　　　.  变式探究3 若本例条件不变,试求2xy-2x-y的最小值为　　　　.  [对点训练2](2024·河南九师联盟质检)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a+b+c=2,则的最小值为　　　　.  考向3　消元法 3.已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为　　　　.  [对点训练3](2025·河南漯河模拟)设正实数x,y,z满足x2-xy+y2-z=0,则的最大值为 (　　) A.4 B.2 C.3 D.1 考点二 基本不等式的综合应用 4.(1)(2025·宁夏银川二模)已知A(3,0),B(-3,0),P是椭圆=1上的任意一点,则|PA|·|PB|的最大值为　　　　.  (2)(2025·安徽蚌埠模拟)已知正数x,y满足x+y=2,若>m2-m恒成立,则实数m的取值范围是　　　　.  [对点训练4](1)(2025·山东青岛一模)记正项等差数列{an}的前n项和为Sn,S20=100,则a10·a11的最大值为(　　) 　　　　　　　　　　　　　 A.9 B.16 C.25 D.50 (2)已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 考点三 利用基本不等式解决实际问题 5.(2024·陕西西安模拟)某火车站准备在某仓库外,利用其一侧原有墙体(这一侧墙体足够长),建造一间高为3 m,底面积为12 m2,且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙,无需建造费用,因此甲工程队给出的报价如下:屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左、右两面新建墙体的报价为每平方米150元,屋顶和地面以及其他报价共计7 200元.设屋子的左、右两面墙的长度均为x m(2≤x≤6). (1)当左、右两面墙的长度为多少米时,甲工程队的报价最低? (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标,其给出的整体报价为元(a>0),若无论左、右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求a的取值范围. [对点训练5]某厂家拟在2024年举行某种产品的促销活动.经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t≥0)万元满足x=4-.如果不搞促销活动,则该产品的年销量只有1万件.已知2024年生产该产品的固定投入为6万元,每生产1万件该产品需要再投入12万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分).求该厂家2024年的年促销费用t投入多少万元时厂家利润最大?最大利润是多少?   答案解析 [知识梳理] 1.(1)a>0,b>0　(2)a=b　(3) 2.(1)2ab 3.(1)x=y　2　(2)x=y　 微思考　提示 不一定.若这两个正数不相等,则这两个正数的积无最大值.即应用基本不等式求最值时,一定要满足“一正、二定、三相等”. [自主诊断]　1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.ACD　解析 设y1=(k1≠0,x>0), 由题意知函数图象过点(10,1),即k1=10,所以y1=(x>0),故B错误; 设y2=k2x(k2≠0,x>0),由题意得函数图象过点(10,4),即4=10k2,解得k2=0.4,所以y2=0.4x(x>0),故A正确; 因为y1+y2=+0.4x≥2=4,当且仅当=0.4x,即x=5时,等号成立,故C正确; 由y1-y2=-0.4x在(0,+∞)上单调递减,故y1-y2无最小值,故D正确. 3.2-4　解析 因为x>0,由基本不等式可得2-3x-=2-3x+≤2-2=2-4,当且仅当3x=,即x=时,等号成立,所以2-3x-的最大值是2-4 4　解析 ∵x∈(-2,5),∴2+x>0,5-x>0,∴y=(2+x)(5-x)≤2=当且仅当2+x=5-x,即x=时,等号成立. 即当x=时,y取得最大值 5.C　解析 A项,y=(x+1)2+3,故ymin=3,故该项不符合题意;B项,设t=|sin x|,则y=t+,t∈(0,1].因为函数y=t+在区间(0,1]上单调递减,所以当t=1时,y取最小值,且ymin=1+=5,该项不符合题意;C项,y=2x+22-x=2x+,设t=2x,则t>0,于是y=t+2=4,当且仅当t=2,即x=1时等号成立.所以该项符合题意.D项,因为当x∈(0,1)时,ln x<0,所以存在x使y<0,故该项不符合题意. 6.4　解析 ∵ab=1,∴b= 令+a=t>0,则原式=2=2=4. 当且仅当t2=16,即t=4时,等号成立,此时+a=4. 研考点·精准突破 考点一 例1　(1)D　(2)BCD　(3)　解析 (1)∵x,∴x-2>0,则=(x-2)+2,当且仅当x-2=,即x=3时,等号成立.故选D. (2)因为a>1,所以2a+=2(a-1)++2≥2+2=6,当且仅当2(a-1)=,即a=2时,等号成立,则2a+的最小值为6,故选BCD. (3)∵0<x<,∴x2>0,1-2x2>0, ∴x,当且仅当2x2=1-2x2,即x=时,等号成立. 对点训练1　(1)C　(2)-　解析 (1)由已知得x>2,所以f(x)=2,当且仅当,即x=4时,等号成立,则f(x)的最小值为2 (2)易知该函数的定义域是R. 当x=0时,y=0. 当x≠0时,y= 若x>0,则x+2=4,当且仅当x=,即x=2时,等号成立,此时y=,即0<y 若x<0,则x+=-(-x)+-≤-2=-4,当且仅当-x=-,即x=-2时,等号成立,此时y==-,即-y<0. 综上所述,函数的值域为-. 例2　C　解析 由已知得2x+y=(2x+y)=4+4+2=8,当且仅当时,等号成立,又=1,所以x=2,y=4,此时2x+y的最小值为8,故选C. 变式探究1　8　解析 由=1,得=1,即xy=2x+y,因此xy=2x+y=(2x+y)=4+4+2=8,当且仅当时,等号成立,又=1,所以x=2,y=4,此时xy的最小值为8. 变式探究2　　解析 由x+2y=4xy,得=4,因此2x+y=(2x+y)=5+5+2=,当且仅当,即x=y=时,等号成立,故2x+y的最小值为 变式探究3　8　解析 2xy-2x-y=2xy·1-(2x+y)=2xy·-(2x+y)=2y+4x-2x-y=2x+y,而(2x+y)·1=(2x+y)=4+4+2=8,当且仅当,即x=2,y=4时,等号成立,故2xy-2x-y的最小值为8. 对点训练2　　解析 因为a+b+c=2, 所以·[(a+b)+c]=5+5+2=,当且仅当,即a+b=2c,即a+b=,c=时,等号成立,故的最小值为 例3　6　解析 (方法一　换元消元法)由已知得x+3y=9-xy,因为x>0,y>0,所以x+3y≥2,所以3xy≤2,当且仅当x=3y,即x=3,y=1时,等号成立,因为x+3y+xy=9,所以xy=9-(x+3y),所以27-3(x+3y)≤2,即(x+3y)2+12(x+3y)-108≥0. 令x+3y=t,则t>0,且t2+12t-108≥0,得t≥6, 即x+3y的最小值为6. (方法二　代入消元法)由x+3y+xy=9,得x=,因为x>0,y>0,所以9-3y>0,即0<y<3. 所以x+3y=+3y==3(1+y)+-6≥2-6=12-6=6, 当且仅当3(1+y)=,即y=1,x=3时,等号成立. 所以x+3y的最小值为6. 对点训练3　D　解析 因为正实数x,y,z满足x2-xy+y2-z=0,则z=x2+y2-xy,所以=1,当且仅当(x>0,y>0),即x=y时,等号成立,此时z>0成立,故的最大值为1. 考点二 例4　(1)25　(2)(-1,2)　解析 (1)由已知可得A(3,0),B(-3,0)为椭圆=1的焦点,根据椭圆定义知|PA|+|PB|=10,所以|PA|·|PB|≤2=25,当且仅当|PA|=|PB|=5时,等号成立,故|PA|·|PB|的最大值为25. (2)因为x>0,y>0且x+y=2,所以(x+y)=2+2+2=2,当且仅当x=y=1时,等号成立. 因为不等式>m2-m恒成立, 所以m2-m<2,解得-1<m<2. 对点训练4　(1)C　(2)B　解析 (1)∵S20=20=100, ∴a1+a20=10,∴a10+a11=a1+a20=10. 又∵a10>0,a11>0,∴a10·a11≤2=25, 当且仅当a10=a11=5时,等号成立,∴a10·a11的最大值为25. (2)若题中不等式恒成立,则只要(x+y)的最小值大于等于9即可,∵x>0,y>0,a>0, ∴(x+y)=1++a≥1+a+2=1+a+2,当且仅当,即y=x时,等号成立, ∴a+2+1≥9, 2或-4(舍去),即a≥4, ∴正实数a的最小值为4. 考点三 例5　解 (1)设甲工程队的报价为y元,y=7 200+3x·150×2+3400=900x++7 200,由2≤x≤6,则y≥2+7 200=14 400, 当且仅当900x=,即x=4时,等号成立,所以当左、右两面墙的长度为4米时,甲工程队的报价最低. (2)由题意可知,不等式900x++7 200>当x∈[2,6]时恒成立,化简不等式可得>a. 设f(x)== =x+1++6,由x∈[2,6],则f(x)≥2+6=12,当且仅当x+1=,即x=2时,等号成立. 所以0<a<12,即a的取值范围是(0,12). 对点训练5　解 由题意将该厂家2024年该产品的利润y表示为年促销费用t的函数为y=1.5(6+12x)-(6+12x)-t=3+6x-t=3+64--t=27--t(t≥0),所以y=27--t=27.5-+(t+0.5)≤27.5-2=21.5,当且仅当=t+0.5,即t=2.5时,等号成立.所以该厂家2024年的年促销费用投入2.5万元时,厂家利润最大,最大利润是21.5万元. 学科网（北京）股份有限公司 $$