10.5异面直线间的距离（教学课件）数学沪教版2020必修第三册

10.5异面直线间的距离 1 异面直线间的距离 第10章 空间直线与平面 沪教版2020必修第三册·高二 课堂目标 01 理解异面直线公垂线、公垂线段的概念，掌握异面直线间距离的定义及求法，能运用相关知识解决问题。 02 通过生活情景引入、任务驱动，经历概念形成与应用的过程，提升空间想象能力和逻辑推理能力。 03 感受数学与生活的紧密联系，体会数学的应用价值，激发学习数学的兴趣。 情境引入 两根晾衣杆可以看作是空间中的两条直线，属于异面直线。 提问：现在如果要在两根晾衣杆之间挂一根连接绳，使得这根绳的长度最短，应该怎么挂呢？ 双杆式晾衣架 思考：在图中，为一个二面角，在平面上作一直线垂直于棱,垂足为;而在平面上分别作两条直线及垂直于棱,垂足为. 提问：在空间中，是否存在一条直线，与两条异面直线都垂直且相交？ 任务一：认识异面直线公垂线 定义 与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线。 探究活动1： 请小组合作探究，用小棍模拟晾衣杆，尝试寻找与它们都垂直相交的直线，再通过画图进一步探索。 新知初探 思考：在图中，为一个二面角，在平面上作一直线垂直于棱,垂足为;而在平面上分别作两条直线及垂直于棱,垂足为. 提问：公垂线与两条异面直线的交点之间的线段有什么特点？ 任务二：理解异面直线间的距离 由，异面直线所成的角与所成的角是相等的，但及离的距离却不一样.该如何定义两条异面直线的距离呢? 定理 对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交． 可以用线段和来分别表示异面直线之间及异面直线之间的距离呢? 已知：直线是异面直线. 求证：存在唯一的直线与都垂直且相交. 如何验证该定理？ 证明:先证明存在性. 如图10-5-2,在直线上任取一点,过作直线，使得. 设及所确定的平面为,则. 过直线作平面垂直于平面,并相交于直线. 由,有,又因,故. 设与的交点为,在平面上过作直线垂直于. 因为平面垂直于平面,所以直线垂直于平面,从而直线. 这样，直线与异面直线都垂直且相交. 这个存在性的证明方法，称为构造法，即在证明过程中实际上给出了构造公垂线的方法。 再证明唯一性. 如图10-5-3,假设除了,还有一条公垂线,使得,垂足分别为. 因为//,所以, 而与是平面上的两条相交直线.所以 ,所以 从而共面，而这与是异面直线矛盾. 由此定理，任意两条异面直线的公垂线是唯一存在的! 回到晾衣架情景并思考： 如何确定两根晾衣杆这两条异面直线的公垂线段，从而得到最短连接绳的长度，为实际生活提供便利。 公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线段， 两条异面直线的公垂线段的长度就叫做两条异面直线的距离。 如何求两条异面直线之间的距离呢？ 任务三：探究异面直线间距离的求法 探究活动2： 任务要求：小组合作，运用今天所学的公垂线、公垂线段的知识，思考运用什么方法可求出下图中两条异面直线的距离。 求两条异面直线之间的距离是立体几何中比较困难的问题， 其难点主要在于要找两条异面直线的公垂线段. 回顾上述定理的证明过程，如图10-5-2. 因为，异面直线与之间的距离等于公垂线段的长,也等于直线到平面的距离. 所以在求两条异面直线的距离时，可以先过其中一条直线作一个平面平行于另一条直线，从而把线线间的距离转化为线面间的距离． 简单来说： 两条异面直线的距离，等于其中一条直线到过另一条直线且与这条直线平行的平面的距离。 a b a b A B c 即：异面直线的距离可以转化为 ①直线上的任意一点到平面的距离； ②直线上的任意一点到直线的距离. P 典例解析 例1：如图10-5-4，已知正方体棱长为 （1）求异面直线与之间的距离； （2）求异面直线与之间的距离． 解(1)因为⊥，⊥， 所以就是异面直线的公垂线段；从而所求的距离为 (2)因为，而在平面上， 所以 又因为在平面上，故异面直线 之间的距离就等于直线的距离， 即等于点到平面的距离，其值为 总结：本题对于异面直线距离的求解，展示了两种思路：一是找到它们的公垂线段，公垂线段的长度就是距离；二是将异面直线的距离转化为线面距离，再进一步转化为点面距离来求解。 观察观察正方体的棱的垂直关系 例2：如图10-5-5，在空间四边形中，＝＝2,＝4，二面角的平面角等于．求直线与之间的距离． 分析：要求直线之间的距离，可先找的公垂线段。 由于空间四边形中 ，，可考虑取的中点，利用等腰三角形三线合一的性质，得到垂直关系，进而确定公垂线段。 例2：如图10-5-5，在空间四边形中，＝＝2,＝4，二面角的平面角等于．求直线与之间的距离． 1.取的中点，连接＝,, 2.二面角的平面角为，已知其为. 3.又因为平面，所以 在，作,则到的距离: 即为异面直线的公垂线段，也是之间的距离。 4.所以由余弦定理，得 5.由三角形面积公式，得所以=. 1.已知一平面平行于两条异面直线，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是 （ ） 平行；垂直；斜交； 不能确定 分析:根据线面平行的性质，在已知平面内可以作出两条相交直线与已知两条异面直线分别平行，线面垂直的判定定理能得到这个平面与这条直线的位置关系． 解：∵一平面平行于两条异面直线，一直线与两异面直线垂直， ∴线面垂直的判定定理得，这个平面与这条直线的位置关系是垂直． 故选： 点评：本题考查直线与平面的位置关系的判断，考查线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 课堂检测 2.空间四边形四边长为10，对角线，分别是的中点。求证:(1)是的公垂线段；(2)求出异面直的距离。 A B C D E F 是的公垂线意味着什么？ 上面的答案再加上条件：是中点，可以引出一些什么样的结论？ 思考 是的中垂线，是等腰三角形。 课堂检测 思考 A B C D E F 同理： ，∴是、的公垂线段。 (1)证明：连结， ∵四边长都为10. 是对应边上的中线， ,故是等腰三角形. ∵是底边上的中线,∴⊥ 2.空间四边形四边长为10，对角线，分别是的中点。 求证:(1)是的公垂线段。 A B C D E F (2)为中点， ∴ ∴异面直线的距离为 2.空间四边形四边长为10，对角线，分别是的中点。 (2)求出异面直的距离。 1.观察生活中其他异面直线的例子（如教室中不同方向的灯管等），尝试计算它们之间的距离，与同学交流分享。 2.试证明：两条异面直线的公垂线段，是连接两条异面直线所有线段中的最短线段． 课后作业 感谢聆听! $$