专题05 异面直线间的距离三大题型（高效培优专项训练）数学沪教版2020必修第三册

专题05 异面直线间的距离 题型一：异面直线间的距离 题型二：异面直线间的距离应用 题型三：点面距离 题型四：线面距离 题型一：异面直线间的距离 1．如图所示在三棱锥中，侧面底面，底面是边长为1的正三角形，侧面中，，且为棱中点，则直线上任意一点与上任意一点距离的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】若是中点，连接，过作于，由面面、线面垂直的性质找到异面直线、的公垂线，结合异面直线距离的定义及已知求它们的最小距离. 【详解】若是中点，为棱中点，底面是正三角形，连接， 所以，故，    由，则，而侧面底面， 侧面，侧面底面，故面， 又面，则，，面， 所以面，面，则， 过作于，则，又， 所以是异面直线、的公垂线， 故直线上任意一点与上任意一点距离的最小值为长度， 又是边长为1，则，故. 故答案为： 2．如图，已知四棱锥中，为矩形，平面，，异面直线与之间的距离为 . 【答案】 【分析】由条件计算各边长度，将棱锥补成长方体，在长方体找到的公垂线段，求出长度即可. 【详解】因为平面，所以， 所以，所以， 因为 因此我们将四棱锥构建成长方体. 接下来我们寻找异面直线的公垂线 在平面上的投影为，， 易证平面，故得，， 连接，与相交于，则为的中点， 作的中点，连接，则，，， 所以是的公垂线段，即的长度就是异面直线与之间的距离. 且， 故答案为：. 3．正方体中，边长为4，则异面直线与的距离为 ． 【答案】/ 【分析】异面直线与分别在平行平面和平面内，因此求出平行平面和平面的距离即可得，再证明是平行平面和平面的公垂线，然后求得公垂线段的长即可得． 【详解】如图，正方体中，，，是平行四边形， ∴，同理， 分别是上下底面对角线的交点，，分别与交于点，连接相应的线段， 平面，平面，∴平面，同理平面， 又，平面，∴平面平面， 由于与平行且相等，因此是平行四边形，∴，而分别是中点， 因此， 正方体棱长为4，则对角线，， 平面，是在平面内的射影，，平面， ∴，同理，，平面，所以平面，∴平面， ∴平面与平面的距离为， 而平面，平面，且与是异面直线， 所以异面直线与的距离等于平面与平面的距离为， 故答案为：． 4．已知长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1＝，过BD1作平面α分别交棱AA1，CC1于E，F，则四边形BFD1E面积的最小值为 . 【答案】 【分析】法一：过点F作FH⊥BD1交BD1于H，设FH＝h，由求解；法二(射影面积法)：设平面BFD1E与底面ABCD的交线为l，过D1作D1H⊥l交l于H.连接DH，则∠D1HD为二面角D1­l­D的平面角，设为θ，由求解. 【详解】法一：根据题意作图，如图①所示， 过点F作FH⊥BD1交BD1于H，设FH＝h.由题意得BD1＝2. 因为长方体对面平行， 所以截面BFD1E为平行四边形，则， 当h取最小值时四边形BFD1E的面积最小. 易知h的最小值为直线CC1与直线BD1间的距离. 易知当F为CC1的中点时，h取得最小值，hmin＝，. 故四边形BFD1E面积的最小值为. 法二(射影面积法)：设平面BFD1E与底面ABCD的交线为l. 如图②， 过D1作D1H⊥l交l于H.连接DH，则∠D1HD为二面角D1­l­D的平面角，设为θ. 根据射影面积公式,得, 则当cos θ最大时，最小.当cos θ最大时，分析易知DH最长.又DH最长为DB＝，所以cos θ最大值为，因为，所以四边形BFD1E面积的最小值为. 故答案为： 5．如图，正方体的棱长为1，设直线与分别交于点，且，则线段的长为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把异面直线的距离转化为直线到平面的距离，进而转化为点到平面的距离，然后利用等体积法即可求出答案. 【详解】因为直线与分别交于点，且， 则线段的长即为异面直线的距离， 连接，，由条件可知， 又因为平面，平面， 所以平面， 所以异面直线的距离，即为直线到平面的距离， 由平面可知， 直线到平面的距离等于到平面的距离， 设到平面的距离为， 由题意可知平面，所以到平面的距离为的长， 由得，， 由正方体的棱长为1， 可知，， 所以，， 所以，所以， 所以线段的长为. 故选：B.    6．如图，直线为异面直线，直线于于B，且在直线a上，，若直线所成的角为，则点M到直线b的距离是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，设过直线且与平行的平面为，为的公垂线段，在内过点作∥，作于，在内过作于，连接，可证得即为点M到直线b的距离，在中求解即可. 【详解】如图，设过直线且与平行的平面为，为的公垂线段， 在内过点作∥，则与直线成的角， 作于，则平面， 在内过作于，连接， 因为平面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以即为点M到直线b的距离， 在中，，， 则， 所以， 故选：B    7．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.如图，长方体中，，为棱的中点，则异面直线与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过线面平行的判定定理，证明平面，将异面直线与之间的距离转化为点与平面之间的距离，再利用等体积法求解即可. 【详解】 取中点，连接， 由，，，， 则， 四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，则平面， 故异面直线与之间的距离与平面之间的距离点与平面之间的距离， 设点与平面之间的距离为， 由题意可得，, 则 则三棱锥的体积， 又， 则三棱锥的体积， 又，则， 故选：C. 题型二：点面距离 8．在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为 ． 【答案】/ 【分析】连接,交于,根据线面垂直的判定定理可以证明平面,所以的长即为所求.由正方体的棱长为1求出结果即可. 【详解】如图所示,连接,交于, ,,,平面,平面, 平面, 的长即为所求. 正方体的棱长为1, , 即点到平面的距离为. 故答案为:. 9．在直三棱柱中，，，动点在棱上，则点到平面的距离为 ． 【答案】 【分析】由题意可得∥平面，则点到平面的距离等于点平面的距离，然后利用可求得答案. 【详解】因为∥，平面，平面， 所以∥平面， 因为动点在棱上，所以点到平面的距离等于点平面的距离， 设点平面的距离为， 因为平面，平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以，得， 所以点到平面的距离等于. 故答案为; 10．如图，若正三棱柱的底面边长为，对角线的长为，点为的中点，则点到平面的距离为 ． 【答案】/ 【分析】设与交于点O，连接，可证得平面，求点到平面的距离可以转化为求点到平面的距离，然后利用进行计算求解； 【详解】设与交于点，连接， 在正三棱柱中，显然点为的中点，又点为的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面， 所以求点到平面的距离可以转化为求点到平面的距离， 因为，， ， 所以有，所以， 所以， 易得，所以， 设点到平面的距离为， 由，即， 所以有，解得， 即点到平面的距离为. 故答案为： 11．已知二面角的大小为60°，点P，Q分别在，上且，若点到的距离为，点到的距离为，则两点之间的距离为 . 【答案】 【分析】作于，连接，则平面，所以即为二面角的平面角，作于，则在上，作于，则在上，在内求即可. 【详解】如图： 作于，连接，又因为，平面，， 所以平面. 所以即为二面角的平面角，故. 作于，则在上，作于，则在上. 在中，，，，所以； 在中，，，，所以. 由余弦定理：， 所以. 故答案为： 12．如图是棱长均为2的柏拉图多面体，已知该多面体为正八面体，四边形为正方形，、分别为、的中点，则点A到平面的距离为 . 【答案】1 【分析】利用等体积法求点到平面的距离的距离即可. 【详解】连接、.由已知得为的中位线，所以， 为正三角形的中线，所以，又， 所以，所以为直角三角形， 所以. 因为，所以到平面的距离为， 设A到平面的距离为， 因为，所以， 所以，所以. 故答案为：1 13．已知正方体的棱长为1，点O在线段上且，则点O到平面的距离是 . 【答案】/ 【分析】证明出平面，故的长即为点到平面的距离，求出，根据比例关系得到答案. 【详解】如图，设，又正方体棱长为1， 所以，平面，又平面，所以， 因为，平面，所以平面， 的长即为点到平面的距离，所以， 因为点O在线段上，且， 所以点O到平面的距离． 故答案为： 14．将一个直角三角板放置在桌面上方，如图，记直角三角板为，其中，记桌面为平面.若，且与平面所成的角为，则点到平面的距离的最大值为 . 【答案】 【分析】作出辅助线，判断出当四点共面时，点A到的距离最大，进而算出，最后得到答案． 【详解】如图，过作⊥，交于，过A作⊥，交于， 因为在中，,， 则，当四点共面时，点A到的距离最大． 因为⊥，所以是BC与平面所成的角，则，则， 于是，，即A到的最大距离为． 故答案为：． 15．已知球的直径为，，为球面上的两点，点在上，且，平面，若是边长为的等边三角形，则球心到平面的距离为 ． 【答案】 【分析】根据球的截面性质，可得球的半径为，将球心到平面的距离转化为为到平面的距离的2倍，进而根据等体积变换可得. 【详解】因为，为球的直径，所以， 故球心到平面的距离即为到平面的距离的2倍， 如图 设球的半径为，由题意可知， 由，，可得，故 如图， 由题意平面， 则， ，且， 设到平面的距离为，则由可得， ， 得，得， 则球心到平面的距离为， 故答案为： 题型三：线面距离 16．在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，平面，且，若直线平面，直线平面，平面与直线，分别交于点，，则的面积为 ；直线到平面的距离为 . 【答案】 【分析】先通过线面垂直等关系证明相关垂直，进而求出的面积；再利用面面垂直的性质找出直线BD到平面的距离并计算. 【详解】如图，过点作的平行线与直线，分别交于点，，则，， 由平面，可得，由四边形是正方形及，可得， 因为平面，所以平面，所以， 因为，，所以，所以的面积为. 设，则，易得平面平面，平面平面， 过点作，垂足为，则平面，即就是直线到平面的距离，. 故答案为：；. 17．在长方体中，若，则直线到平面的距离是 . 【答案】/ 【分析】根据条件，易得面，从而将线面距转化成点面距，过作于，根据条件可得面，再根据条件，利用几可关系，即可求解. 【详解】易知，又面，面，所以面， 则直线到平面的距离，与点到平面的距离相等， 过作于， 因为面，面，所以， 又，面，所以面， 又，则， 在中，，得到， 所以直线到平面的距离为， 故答案为：. 18．如图所示，在棱长为1的正方体中，则直线到平面的距离为 ．    【答案】 【分析】先作出直线上的点到平面的垂线段，然后求出垂线段的长度即可. 【详解】    连接交于点，则， 在正方体中，因为底面，底面， 所以， 又，平面， 所以平面. 在正方体中，因为，平面，平面， 所以平面， 所以即为直线到平面的距离， 又因为正方体的棱长为1，所以. 故答案为：. 19．如图，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点．则 点 到平面的距离为 ，到平面的距离为 .    【答案】 【分析】取的中点，连接，则为点到平面的距离；先证明平面，则点到平面的距离等于直线到平面的距离；再证明平面平面，然后过点作交直线于点，则为直线到平面的距离，从而可得答案. 【详解】取的中点，连接，则且，又平面， 所以平面，所以为点到平面的距离， 、分别是、的中点，则 又，则， 又平面， 平面，所以平面， 则点到平面的距离等于直线到平面的距离. 由平面，则平面， 又平面，所以平面平面，且平面平面， 则过点作交直线于点，则平面， 即为直线到平面的距离， 由，则， 所以到平面的距离为. 故答案为：；    20．已知四棱锥中，底面为边长为2的正方形，，，则直线到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点M，的中点N，连接，由已知，可得平面平面，平面，则直线到平面的距离为点N到平面的距离，则利用余弦定理求得，进而得，则直线到平面的距离为，可得答案. 【详解】 根据题意，如图， 因为，，则，， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面， 因为底面为边长为2的正方形， 则，平面，平面， 所以平面， 则直线到平面的距离为点N到平面的距离， 即点N到直线的距离， 又， ，， 在中，， 则， 所以点N到直线的距离为. 故选：A． 21．已知棱长为1的正方体中，分别为和的中点，则到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在正方体中，连接，交于，连接，交于，过作于，由已知可证平面，即为到平面的距离，求解即可. 【详解】在正方体中，连接，交于， 连接，交于，过作于， 因为分别为和的中点，所以， 又在正方体中，且， 所以四边形是平行四边形，从而可得， 所以，又因为平面，平面， 所以平面，所以到平面的距离即为点到平面的距离， 由正方形可得， 又由正方体，可得平面，又平面， 所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面， 又平面平面，，所以平面， 所以为点到平面的距离， 在中，可得， 所以， 又易求得， 所以. 故选：C. 22．正四棱柱的底面边长为2，点E，F分别为，的中点，且已知与BF所成角的大小为60°，则直线与平面BCF之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可得，结合题干条件在中求解可得，由可得直线与平面BCF之间的距离即为点与平面BCF之间的距离， 作可证明为点与平面BCF之间的距离，求解即可. 【详解】 取为中点，连接不妨令相交于， 由于点E为的中点，故， 即四边形为平行四边形，故，故与BF所成角的大小与与所成角的大小相等，即， 不妨设，故， 由平面，平面，故，点为中点， 故，又，故为等边三角形，即， 解得，即， 连接，作于， 由于，平面BCF，平面BCF，故 平面BCF， 则直线与平面BCF之间的距离即为点与平面BCF之间的距离， 由平面，平面，故，又平面BCF， 故平面BCF，即为点与平面BCF之间的距离， ， 故，即直线与平面BCF之间的距离为. 故选：C 23．正方体的棱长为2，G为的中点，则直线BD与平面的距离为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图可知，∥，利用平行的性质将BD与平面的距离转化为D与平面的距离，进一步利用等体积法求出D与平面的距离即可. 【详解】 由图易证∥平面，所以BD与平面的距离等于D与平面的距离.设D与平面的距离为h，则.又因为为正方体，所以平面，所以，所以，所以.又正方体的棱长为2，G为的中点，所以，，，所以中边上的高为.所以. 故选：B. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 异面直线间的距离 题型一：异面直线间的距离 题型二：异面直线间的距离应用 题型三：点面距离 题型四：线面距离 题型一：异面直线间的距离 1．如图所示在三棱锥中，侧面底面，底面是边长为1的正三角形，侧面中，，且为棱中点，则直线上任意一点与上任意一点距离的最小值为 ．    2．如图，已知四棱锥中，为矩形，平面，，异面直线与之间的距离为 . 3．正方体中，边长为4，则异面直线与的距离为 ． 4．已知长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1＝，过BD1作平面α分别交棱AA1，CC1于E，F，则四边形BFD1E面积的最小值为 . 5．如图，正方体的棱长为1，设直线与分别交于点，且，则线段的长为（    ）      A． B． C． D． 6．如图，直线为异面直线，直线于于B，且在直线a上，，若直线所成的角为，则点M到直线b的距离是（    ）    A． B． C． D． 7．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.如图，长方体中，，为棱的中点，则异面直线与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 题型二：点面距离 8．在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为 ． 9．在直三棱柱中，，，动点在棱上，则点到平面的距离为 ． 10．如图，若正三棱柱的底面边长为，对角线的长为，点为的中点，则点到平面的距离为 ． 11．已知二面角的大小为60°，点P，Q分别在，上且，若点到的距离为，点到的距离为，则两点之间的距离为 . 12．如图是棱长均为2的柏拉图多面体，已知该多面体为正八面体，四边形为正方形，、分别为、的中点，则点A到平面的距离为 . 13．已知正方体的棱长为1，点O在线段上且，则点O到平面的距离是 . 14．将一个直角三角板放置在桌面上方，如图，记直角三角板为，其中，记桌面为平面.若，且与平面所成的角为，则点到平面的距离的最大值为 . 15．已知球的直径为，，为球面上的两点，点在上，且，平面，若是边长为的等边三角形，则球心到平面的距离为 ． 题型三：线面距离 16．在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，平面，且，若直线平面，直线平面，平面与直线，分别交于点，，则的面积为 ；直线到平面的距离为 . 17．在长方体中，若，则直线到平面的距离是 . 18．如图所示，在棱长为1的正方体中，则直线到平面的距离为 ．    19．如图，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点．则 点 到平面的距离为 ，到平面的距离为 .    20．已知四棱锥中，底面为边长为2的正方形，，，则直线到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 21．已知棱长为1的正方体中，分别为和的中点，则到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 22．正四棱柱的底面边长为2，点E，F分别为，的中点，且已知与BF所成角的大小为60°，则直线与平面BCF之间的距离为（    ） A． B． C． D． 23．正方体的棱长为2，G为的中点，则直线BD与平面的距离为(    ) A． B． C． D． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$