课时作业(4) 等差数列的性质（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

课时作业(四) [基础达标练] 1．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于(　　 ) A．4　　　　　　　　　　 B．5 C．6 D．7 解析：选C　由等差数列性质得a2＋a8＝2a5＝12，所以a5＝6． 2．在等差数列{an}中，a2 018＝log27，a2 022＝log2，则a2 020＝(　　) A．0 B．7 C．1 D．49 解析：选A　a2 020＝(a2 018＋a2 022)＝＝log21＝0． 3．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题；“今有五人分六钱，令前三人所得与后二人等，各人所得均增，问各得几何？”其意思是：“已知A，B，C，D，E五人个分重量为6钱(‘钱’是古代的一种重量单位)的物品，A，B，C三人所得钱数之和与D，E二人所得钱数之和相同，且A，B，C，D，E每人所得钱数依次成递增等差数列，问五个人各分得多少钱的物品？”在这个问题中，C分得物品的钱数是(　　) A． B． C． D． 解析：选C　设5个人分得的物品的钱数为等差数列中的项a1，a2，a3，a4，a5，则a1＋a2＋a3＝a4＋a5，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝6＝5a3，a3＝． 4．(多选)若{an}是等差数列，下列数列中仍为等差数列的是(　　 ) A．{|an|} B．{an＋1－an} C．{pan＋q}(p，q为常数) D．{2an＋n} 解析：选BCD　数列－1，1，3是等差数列，取绝对值后：1，1，3不是等差数列，A不成立．若{an}是等差数列，利用等差数列的定义，{an＋1－an}为常数列，故是等差数列，B成立．若{an}的公差为d，则(pan＋q)－(pan－1＋q)＝p(an－an－1)＝pd为常数，故{pan＋q}是等差数列，C成立．(2an＋n)－(2an－1＋n－1)＝2(an－an－1)＋1＝2d＋1，故{2an＋n}是等差数列，D成立．故选B、C、D． 5．已知等差数列{an}中，a2＝3，a6＝11，则a12＝________． 解析：设等差数列{an}的公差为d，则a6－a2＝4d＝11－3＝8，d＝2，所以a12＝a6＋6d＝11＋6×2＝23． 答案：23 6．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________． 解析：设这三个数为a－d，a，a＋d， 则 解得或 所以这三个数为－1，3，7或7，3，－1． 所以这三个数的积为－21． 答案：－21 7．已知首项为a1，公差d为正整数的等差数列{an}满足下列两个条件：①a3＋a5＋a7＝93；②满足an>100的n的最小值是15．试求公差d和首项a1的值． 解：因为a3＋a5＋a7＝93，所以3a5＝93，所以a5＝31， 所以an＝a5＋(n－5)d>100， 所以n>＋5． 因为n的最小值是15，所以14≤＋5<15，所以6<d≤7， 又d为正整数，所以d＝7，a1＝a5－4d＝3． 8．某产品按质量分10个档次，生产最低档次的产品的利润是8元/件，每提高一个档次，利润每件增加2元，同时每提高一个档次，产量减少3件，在相同的时间内，最低档次的产品可生产60件． 试问：在相同的时间内，应选择生产第几档次的产品可获得最大利润？(设最低档次为第1档次) 解：设在相同的时间内，从低到高每档产品的产量分别为a1，a2，…a10， 每件产品的利润分别为b1，b2，…，b10， 则{an}，{bn}均为等差数列，且a1＝60， d1＝－3，b1＝8，d2＝2， 则an＝60－3(n－1)＝－3n＋63， bn＝8＋2(n－1)＝2n＋6， 所以利润f(n)＝anbn＝(－3n＋63)(2n＋6)＝－6n2＋108n＋378＝－6(n－9)2＋864． 显然，当n＝9时，f(n)max＝f(9)＝864． 即在相同的时间内生产第9档次的产品可以获得最大利润． [能力提升练] 9．若{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则a3＋a6＋a9等于(　　 ) A．39 B．20 C．19．5 D．33 解析：选D　由等差数列的性质，得a1＋a4＋a7＝3a4＝45， a2＋a5＋a8＝3a5＝39， a3＋a6＋a9＝3a6． 又3a5×2＝3a4＋3a6， 解得3a6＝33，即a3＋a6＋a9＝33． 10．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为(　　 ) A．1升 B．升 C．升 D．升 解析：选B　设所构成的等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则有 即解得 则a5＝a1＋4d＝，故第5节的容积为升． 11．在等差数列{an}中，a1＋2a8＋a15＝96，则2a9－a10＝____________． 解析：∵a1＋2a8＋a15＝4a8＝96， ∴a8＝24， ∴2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24． 答案：24 12．在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…2a10)＝________． 解析：在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，所以a1＋a10＝a2＋a9＝a3＋a8＝a4＋a7＝a5＋a6＝4，所以a1＋a2＋…＋a10＝(a1＋a10)＋(a2＋a9)＋(a3＋a8)＋(a4＋a7)＋(a5＋a6)＝5(a5＋a6)＝20，则log2(2a1·2a2·…2a10＝log22a1＋a2＋…＋a10 ＝a1＋a2＋…＋a10＝20． 答案：20 13．两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，那么它们共有多少相同的项？ 解：设已知的两数列的所有相同的项构成的新数列为{cn}，c1＝11， 又等差数列5，8，11，…的通项公式为an＝3n＋2， 等差数列3，7，11，…的通项公式为bn＝4n－1． 所以数列{cn}为等差数列，而已知的两个数列的公差分别为3和4，所以{cn}的公差d＝3×4＝12，① 所以cn＝11＋(n－1)×12＝12n－1． 又a100＝302，b100＝399，cn＝12n－1≤302，② 得n≤25，可见已知两数列共有25个相同的项． [素养拓展练] 14．下表是一个“等差数阵”： 4 7 () () () … a1j … 7 12 () () () … a2j … () () () () () … a3j … () () () () () … a4j … … … … … … … … … ai1 ai2 ai3 ai4 ai5 … aij … … … … … … … … … 其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数． (1)写出a45的值； (2)写出aij的计算公式，以及2 023这个数在“等差数阵”中所在的一个位置． 解：(1)a45表示数阵中第4行第5列的数．先看第1行，由题意4，7，…，a15，…成等差数列，公差d＝7－4＝3，则a15＝4＋(5－1)×3＝16． 再看第2行，同理可得a25＝27． 最后看第5列，由题意a15，a25，…，a45成等差数列， ∴a45＝a15＋3d＝16＋3×(27－16)＝49． (2)该“等差数阵”的第1行是首项为4，公差为3的等差数列a1j＝4＋3(j－1)； 第2行是首项为7，公差为5的等差数列a2j＝7＋5(j－1)； 第i行是首项为4＋3(i－1)，公差为2i＋1的等差数列， ∴aij＝4＋3(i－1)＋(2i＋1)(j－1) ＝2ij＋i＋j＝j(2i＋1)＋i． 要求2 023在该“等差数阵”中的位置，也就是要找正整数i，j，使得j(2i＋1)＋i＝2 023， ∴j＝． 又∵j∈N*，∴当i＝1时，得j＝674． ∴2 023在“等差数阵”中的一个位置是第1行第674列． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$