课时作业(6) 等差数列前n项和的综合应用（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

课时作业(六) [基础达标练] 1．已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为(　　 ) A．11或12　　　　　　 B．12 C．13 D．12或13 解析：选D　∵an＝26－2n， ∴an－an－1＝－2， ∴数列{an}为等差数列． 又a1＝24，d＝－2，∴Sn＝24n＋×(－2)＝－n2＋25n＝－＋． ∵n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn最大． 2．设数列{an}是等差数列，若a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使Sn达到最大值的n是(　　 ) A．18 B．19 C．20 D．21 解析：选C　a1＋a3＋a5＝105＝3a3， ∴a3＝35， a2＋a4＋a6＝99＝3a4， ∴a4＝33，∴d＝＝－2， ∴an＝a3＋(n－3)d＝41－2n， 令an>0，∴41－2n>0，∴n<，∴n≤20． 3．(多选)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6>S7>S5，下列选项中正确的是(　　 ) A．d<0 B．S11>0 C．S12<0 D．数列{Sn}中的最大项为S11 解析：选AB　∵S6>S7，∴a7<0， ∵S7>S5，∴a6＋a7>0， ∴a6>0，∴d<0，A正确． 又S11＝(a1＋a11)＝11a6>0，B正确． S12＝(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，C不正确． {Sn}中最大项为S6，D不正确． 故正确的是A，B． 4．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1＝(　　) A．35 B．32 C．23 D．38 解析：选A　由题意可知，九个儿子的年龄成公差d＝－3的等差数列，且九项之和为207，故S9＝9a1＋d＝9a1－108＝207，解得a1＝35． 5．在数列{an}中，a1＝32，an＋1＝an－4，则当n＝________时，前n项和Sn取最大值，最大值是________． 解析：∵d＝an＋1－an＝－4， ∴an＝－4n＋36． 令an＝－4n＋36≥0，得n≤9， ∴n＝8或9时，Sn最大，且S8＝S9＝144． 答案：8或9　144 6．我国古代数学名著《九章算术》里有问题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：________日相逢？ 解析：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{an}，其中a1＝103，d1＝13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{bn}，其中b1＝97，d2＝－0．5．设第m天相逢，则a1＋a2＋…＋am＋b1＋b2＋…＋bm＝103m＋＋97m＋＝2×1 125，解得m＝9(负值舍去)．即二马需9日相逢． 答案：9 7．已知等差数列{an}中，a3＋a4＝15，a2·a5＝54，公差d<0． (1)求数列{an}的通项公式an； (2)求数列{an}的前n项和Sn的最大值及相应的n的值． 解：(1)∵{an}为等差数列， ∴a2＋a5＝a3＋a4， ∴ 解得(因d<0，舍去)或 ⇒ ∴an＝11－n． (2)∵a1＝10，an＝11－n， ∴Sn＝＝－n2＋n． 又－<0，对称轴为， 故当n＝10或11时，Sn取得最大值，其最大值为55． 8．某工厂用分期付款的方式购买40套机器设备，共需1 150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的第1个月开始算分期付款的第1个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部按期付清后，买这40套机器设备实际花了多少钱？ 解：因为购买设备时已付150万元，所以欠款为1 000万元，依据题意，知其后应分20次付款， 则每次付款的数额顺次构成数列{an}，且a1＝50＋1 000×1%＝60，a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59．5，a3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59，…，an＝50＋[1 000－50(n－1)]×1%＝60－0．5(n－1)(1≤n≤20，n∈N*)， 所以数列{an}是以60为首项，－0．5为公差的等差数列， 所以a10＝60－9×0．5＝55．5， S20＝＝1 105． 所以全部按期付清后，买这40套机器设备实际共花费了1 105＋150＝1 255(万元)． 故分期付款的第10个月应付55．5万元，全部按期付清后，买这40套机器设备实际花了1 255万元． [能力提升练] 9．已知{an}为等差数列，若<－1，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n＝(　　 ) A．11 B．17 C．19 D．21 解析：选C　∵Sn有最大值，∴d<0，则a10>a11，又<－1，∴a11<0<a10，a10＋a11<0，S20＝10(a1＋a20)＝10(a10＋a11)<0，S19＝19a10>0，∴S19为最小正值．故选C． 10．(多选)已知无穷等差数列{an}的公差d∈N*，Sn为其前n项和，且5，23，29是数列{an}中的三项，则下列关于数列{an}的选项中，正确的有(　　 ) A．dmax＝6 B．S3≤2a4 C．数列{sin an}为单调递增数列 D．143一定是数列{an}中的项 解析：选AD　23－5＝18，29－23＝6，d∈N*，因此d是6和18的公约数．d＝1，2，3或6．A正确； 若a1＝5，d＝1，则S3＝5＋6＋7＝18， 而2a4＝2×8＝16＜18，B错误； 若a1＝2，d＝1，则a2＝3，a3＝4， 显然有sin 2＞sin 3＞sin 4，C错误； 因为143－29＝114＝6×19＝kd(k∈N*)， 所以D正确． 11．在等差数列{an}中，a1>0，公差d<0，a5＝3a7，前n项和为Sn，若Sn取得最大值，则n＝________． 解析：在等差数列{an}中，a1>0，公差d<0． ∵a5＝3a7，∴a1＋4d＝3(a1＋6d)， ∴a1＝－7d， ∴Sn＝n(－7d)＋d＝(n2－15n)， ∴n＝7或8时，Sn取得最大值． 答案：7或8 12．在等差数列{an}中，a10<0，a11>0，且a11>|a10|，则满足Sn<0的n的最大值为________． 解析：因为a10<0，a11>0，且a11>|a10|， 所以a11>－a10，a1＋a20＝a10＋a11>0， 所以S20＝>0． 又因为a10＋a10<0， 所以S19＝＝19a10<0， 故满足Sn<0的n的最大值为19． 答案：19 13．已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝2n2－30n． (1)求数列{an}的通项公式an； (2)求Sn的最小值及对应的n值． 解：(1)∵Sn＝2n2－30n， ∴当n＝1时，a1＝S1＝－28． 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－30n)－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32． 又a1＝－28满足此式， ∴an＝4n－32，n∈N*． (2)法一：∵Sn＝2n2－30n＝2－，∴当n＝7或n＝8时，Sn最小，且最小值为S7＝S8＝－112． 法二：∵an＝4n－32，∴a1<a2<…<a7<0，a8＝0，当n≥9时，an>0， ∴当n＝7或8时，Sn最小，且最小值为S7＝S8＝－112． [素养拓展练] 14．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－12n． (1)求证：{an}是等差数列； (2)求数列{|an|}的前n项和Tn． 解：(1)证明：①n＝1时，a1＝S1＝－11； ②n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－12n)－[(n－1)2－12(n－1)]＝2n－13， 而n＝1时a1适合该式． ∴an＝2n－13，n∈N*． ∵an＋1－an＝2，∴{an}为等差数列． (2)∵an＝2n－13，若an>0，则n>， ∴当1≤n≤6时，Tn＝－a1－a2－…－an＝－Sn＝12n－n2， 当n≥7时，Tn＝－a1－a2－…－a6＋(a7＋a8＋…＋an)＝－2(a1＋a2＋…＋a6)＋(a1＋a2＋…＋a6＋a7＋a8＋…＋an)＝－2S6＋Sn＝－2×(－36)＋n2－12n＝n2－12n＋72， 综上所知Tn＝ n∈N*． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$