5.3.1 函数的单调性（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

5．3　导数在研究函数中的应用 5．3．1　函数的单调性 学习目标 素养要求 1．理解导数与函数的单调性的关系． 2．掌握利用导数判断函数单调性的方法． 3．会用导数求函数的单调区间． 1．通过函数的单调性与其导数正负关系的学习，培养逻辑推理、直观想象的核心素养． 2．借助利用导数研究函数的单调性问题，提升数学运算、逻辑推理的核心素养． [自主梳理] 知识点　函数的单调性与导数 已知函数y1＝x，y2＝x2，y3＝的图象如下图所示． [问题1]　试结合图象指出以上三个函数的单调性． 答：函数y1＝x在R上为增函数；y2＝x2在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数；y3＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数． [问题2]　判断它们的导数在其单调区间上的正、负． 答：y1′＝1在R上为正；y2′＝2x在(－∞，0)上为负，在(0，＋∞)上为正；y3′＝－在_(－∞，0)及(0，＋∞)上均为负． [问题3]　结合问题1、问题2，探讨函数的单调性与其导函数正负有什么关系． 答：当f′(x)>0时，f(x)为增函数；当f′(x)<0时，f(x)为减函数． ►知识填空 1．在区间(a，b)内函数f(x)的导数与单调性有如下关系： 导数 函数的单调性 f′(x)>0 单调递增_ f′(x)<0 单调递减 f′(x)＝0 常函数 2．导数绝对值的大小与函数图象的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化的较慢，函数图象就比较“平缓”． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．(　　) (2)若函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f′(x)>0．(　　) (3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．函数f(x)＝x－sin x在(－∞，＋∞)上是(　　) A．增函数　　　　　 B．减函数 C．先增后减 D．不确定 解析：选A　∵f(x)＝x－sin x，∴f′(x)＝1－cos x≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， ∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数． 3．函数f(x)＝ex－x的单调递增区间为________． 解析：∵f(x)＝ex－x，∴f′(x)＝ex－1． 由f′(x)＞0得ex－1＞0，即x＞0． ∴f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)． 答案：(0，＋∞) 4．函数f(x)＝x3－x2－3x＋2的单调增区间是______． 解析：f′(x)＝x2－2x－3，令f′(x)>0，解得x<－1或x>3，故f(x)的单调增区间是(－∞，－1)，(3，＋∞)． 答案：(－∞，－1)，(3，＋∞) 题型一　单调性与导数的关系 [例 1]　(1) (多选)函数y＝f(x)的图象如图所示，下列选项中正确的是(　　) A．函数y＝f(x)的定义域是[－1，5] B．函数y＝f(x)的值域是(－∞，0]∪[2，4] C．函数y＝f(x)在定义域内是增函数 D．函数y＝f(x)在定义域内的导数 f′(x)>0 (2)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为(　　) 解析：(1)由图象可知，函数的定义域为[－1，5]，值域为(－∞，0]∪[2，4]，故A、B正确，选A、B． (2)由函数的图象可知：当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D． 答案：(1)AB　(2)D 研究函数与导函数图象之间关系的方法 函数图象的单调性可以通过导数的正负来分析判断，即符号为正，图象上升；符号为负，图象下降．看导函数图象时，主要是看图象在x轴上方还是下方，即关心导数值的正负，而不是其单调性．解决问题时，一定要分清是函数图象还是其导函数图象．　　 　在同一坐标系中作出三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)及其导函数的图象，下列一定不正确的序号是(　　) A．①②　　 B．①③　　　 C．③④　　　 D．①④ 解析：选C　当f′(x)>0时，y＝f(x)是递增的；当f′(x)<0时，y＝f(x)是递减的．故可得①②中函数图象的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的；而③中导函数为负的区间内相应的函数不减少，故错误；④中导函数为负的区间内相应的函数不减少，故错误． 题型二　利用导数求函数的单调区间 [例 2]　求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x2－ln x； (2)f(x)＝． 解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)． f′(x)＝2x－＝． 因为x>0，所以x＋1>0， 令f′(x)>0，解得x>，所以函数f(x)的单调递增区间为； 令f′(x)<0，解得x<，又x∈(0，＋∞)， 所以函数f(x)的单调递减区间为． (2)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪ (2，＋∞)． f′(x)＝＝． 因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以ex>0，(x－2)2>0． 令f′(x)>0，解得x>3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)； 令f′(x)<0，解得x<3，又x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2，3)． 求函数y＝f(x)单调区间的步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域． (2)求导数y′＝f′(x)． (3)解不等式f′(x)>0，函数在解集所表示的定义域内为增函数． (4)解不等式f′(x)<0，函数在解集所表示的定义域内为减函数． [提醒]　如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开． 　　 1．(变条件)若将函数变为f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的单调区间． 解：f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a． 若a≤0，则f′(x)＞0， 所以f(x)在(－∞， ＋∞)上单调递增． 若a＞0，则当x∈(－∞，ln a)时， f′(x)＜0； 当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)＞0． 所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减， 在(ln a，＋∞)上单调递增． 综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a＞0时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增． 2．求函数f(x)＝x＋(a≠0)的单调区间． 解：f(x)＝x＋的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)， f′(x)＝1－．当a>0时， 令f′(x)＝1－>0，解得x>或x<－； 令f′(x)＝1－<0，解得－<x<0或0<x<． 当a<0时，f′(x)＝1－>0恒成立， 所以当a>0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)，单调递减区间为(－，0)和(0，)； 当a<0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)． 题型三　利用导数确定参数的取值范围 [例 3]　已知关于x的函数f(x)＝x3－ax＋b． (1)若函数f(x)在(1，＋∞)内是增函数，求a的取值范围； (2)若函数f(x)的一个单调递增区间为(1，＋∞)，求a的值． 解：f′(x)＝3x2－a． (1)若函数f(x)＝x3－ax＋b在区间(1，＋∞)内是增函数． 则f′(x)＝3x2－a≥0在x∈(1，＋∞)时恒成立， 即a≤3x2在x∈(1，＋∞)时恒成立， 则a≤(3x2)min． 因为x>1，所以3x2>3． 所以a≤3，即a的取值范围是(－∞，3]． (2)令f′(x)>0，得x2>． 若a≤0，则x2>恒成立，即f′(x)>0恒成立， 此时，函数f(x)＝x3－ax＋b在R上是增函数，与题意不符． 若a>0，令f′(x)>0，得x>或x<－． 因为(1，＋∞)是函数的一个单调递增区间， 所以＝1，即a＝3． 已知f(x)在区间(a，b)上的单调性， 求参数范围的方法 (1)利用集合的包含关系：f(x)在(a，b)上单调递增(减)，则区间(a，b)是相应单调区间的子集； (2)利用不等式的恒成立原理：f(x)在(a，b)上单调递增(减)，则f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立．　　 1．已知函数f(x)＝在上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是(　　) A．　　　　 B．(－∞，3) C． D．(－∞，) 解析：选A　易得f′(x)＝＋x－b＝． 根据题意，得f′(x)>0在上有解． 令h(x)＝2x2－2bx＋1， 因为h(0)＝1>0， 所以只需h(2)>0或h>0， 解得b<，故选A． 2．已知函数f(x)＝x3－ax－1为单调递增函数，求实数a的取值范围． 解：由已知得f′(x)＝3x2－a， 因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数， 所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a≤3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a≤0． 又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0， 即f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0． [课堂小结] 1．求函数f(x)的单调区间时，先确定函数的定义域，在定义域内通过解f′(x)>0或f′(x)<0得到两个单调性相同的区间，不能用并集符号连接． 2．已知函数f(x)在某个区间上的单调性求参数的取值范围时，可转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立问题，并注意验证等号成立时是否符合题意． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$