5.3.1函数的单调性导学案(1) -2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学导学案聚焦函数单调性与导数的关系，通过具体函数图象导入，引导学生回顾定义法、图像法等旧知，建立导数正负与函数增减的联系，以知识要点表格和衔接教材例题搭建学习支架。 资料突出数形结合与算法思想，通过判断正误、区间求解等题型发展直观想象与数学运算素养，结构清晰的知识要点和典型例题设计，便于教师教学与学生自主探究。

高中数学选择性必修二导学案 第五章 一元函数的导数及其应用 §5.3.1函数的单调性(1) 【导学】 导学目标 1. 通过具体函数图象，发现函数的单调性与导数的正负之间的关系. 2.体会数形结合思想，发展直观想象素养. 3.能根据函数导数的正负判断函数的单调性，体会算法思想，发展数学运算素养. 【重点】能根据函数导数的正负判断函数的单调性； 【难点】体会数形结合思想，发展直观想象素养. 【知识要点】 利用导数研究函数的单调性 在内可导函数，在任意子区间内都不恒等于0. 在上为增函数． 在上为减函数． 判断函数单调性的 方法 （1） 定义法： （2）图像法： （3）性质法:增+增→增，减+减→减， 增→减，复合函数单调性同增异减 （4）导数法 函数h(t)的单调性与的正负有内在联系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f (x)： f ′(x)的正负 f (x)的单调性 f ′(x)＞0 单调递增 f ′(x)＜0 单调递减 导数f (x0)表示函数 f(x)在点(x0, f(x0))处的切线的斜率 用解不等式法求单调区间的步骤： 1.确定函数的定义域； 2.求导函数； 3.解不等式＞0或＜0，并写出解集； 4.根据3的结果确定函数的单调区间. 研究函数图象与其导函数图象之间的关系的着手点 研究一个函数图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素.对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增、在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零、在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致. 含参函数的单调性问题 （1）研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． （2）划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点． 【典型例题】 题型一 利用导数研究函数单调性的理解 【例1-1】判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f (x)在区间(a，b)上都有f ′(x)＜0，则函数f (x)在这个区间上单调递减． (　　) (2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”． (　　) (3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．(　　) (4)判断函数单调性时，在区间内的个别点f ′(x)＝0，不影响函数在此区间的单调性．(　　): 【例1-2】下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 题型二 利用导数判断函数的单调性 【例2-1】（衔接教材P86L1）利用导数判断下列函数的单调性: (1) (2) (3) . 【例2-2】函数f (x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上是(　　) A．增函数　　　　 B．减函数 C．先增后减 D．不确定 【例2-3】求f (x)＝3x2－2ln x函数的单调区间. 【例2-4】（衔接教材P87T2）利用导数讨论二次函数f (x)＝ax2+bx+c的单调区间. 题型三 利用导数的图像判断函数的单调性 【例3-1】（衔接教材P86L2）已知导函数 的下列信息，试画出函数 的图象的大致形状. 当1 < x < 4 时, >0; 当 x > 4 , 或 x < 1时, 0; 当 x = 4, 或 x = 1时, 0. 【例3-2】设函数f (x)的图象如图所示，则导函数f ′(x)的图象可能为(　　) 【例3-3】已知函数y＝f (x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(　　) 【例3-4】已知函数f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数f (x)的单调递增区间是________． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $