5.3.1函数的单调性导学案(1) -2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用

§5.3.1函数的单调性(1) 【导学】

导学目标

1. 通过具体函数图象，发现函数的单调性与导数的正负之间的关系.

2.体会数形结合思想，发展直观想象素养.

3.能根据函数导数的正负判断函数的单调性，体会算法思想，发展数学运算素养.

【重点】能根据函数导数的正负判断函数的单调性；

【难点】体会数形结合思想，发展直观想象素养.

【知识要点】

利用导数研究函数的单调性	在内可导函数，在任意子区间内都不恒等于0.
	在上为增函数．
	在上为减函数．
判断函数单调性的 方法	（1）定义法：
	（2）图像法：
	（3）性质法:增+增→增，减+减→减， 增→减，复合函数单调性同增异减
	（4）导数法
函数h(t)的单调性与的正负有内在联系	定义在区间(a，b)内的函数y＝f (x)： f ′(x)的正负 f (x)的单调性 f ′(x)＞0 单调递增 f ′(x)＜0 单调递减
导数f (x0)表示函数 f(x)在点(x0, f(x0))处的切线的斜率
用解不等式法求单调区间的步骤：	1.确定函数的定义域；
	2.求导函数；
	3.解不等式＞0或＜0，并写出解集；

	4.根据3的结果确定函数的单调区间.
研究函数图象与其导函数图象之间的关系的着手点	研究一个函数图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素.对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增、在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零、在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.
含参函数的单调性问题	（1）研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
	（2）划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．

【典型例题】

题型一 利用导数研究函数单调性的理解

【例1-1】判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数f (x)在区间(a，b)上都有f ′(x)＜0，则函数f (x)在这个区间上单调递减． (　　)

(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”． (　　)

(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．(　　)

(4)判断函数单调性时，在区间内的个别点f ′(x)＝0，不影响函数在此区间的单调性．(　　):

【例1-2】下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ）

A． B． 

C． D．

 

 

题型二  利用导数判断函数的单调性

【例2-1】（衔接教材P86L1）利用导数判断下列函数的单调性:

(1) 

(2)

(3)  .

 

 

 

【例2-2】函数f (x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上是(　　)