5.2.3 简单复合函数的导数（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

5．2．3　简单复合函数的导数 学习目标 素养要求 1．了解复合函数的概念． 2．掌握复合函数的求导法则． 3．能利用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数． 1．通过复合函数概念的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．通过利用复合函数的求导法则求复合函数的导数，提升数学运算、逻辑推理的核心素养． [自主梳理] 知识点一　复合函数 已知y＝(3x＋2)2，y＝sin． [问题1]　这两个函数是复合函数吗？ 答：是复合函数． [问题2]　试说明y＝(3x＋2)2是如何复合的． 答：令u＝g(x)＝3x＋2，y＝f(u)＝u2，则y＝f(u)＝f(g(x))＝(3x＋2)2． ►知识填空 复合函数的概念：对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数_，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))_． 知识点二　复合函数的求导法则 [问题1]　试求y＝(3x＋2)2，f(u)＝u2，g(x)＝3x＋2的导数． 答：y′＝(9x2＋12x＋4)′＝18x＋12，f′(u)＝2u，g′(x)＝3． [问题2]　观察问题1中的导数有何关系． 答：y′＝[f(g(x))]′＝f′(u)·g′(x)． ►知识填空 复合函数的求导法则：对于由函数y＝f(u)，u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x_，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积_． 对于复合函数的求导法则要注意以下三点： (1)yx′＝yu′·ux′也可表示为yx′＝f′(u)·g′(x)； (2)我们把复合函数的这种求导法则称为“链式法则”； (3)法则可以推广到两个以上的中间变量，例如yx′＝yu′·uv′·vx′．　　 [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f′(x)＝2x，则f(x)＝x2．(　　) (2)若f(x)＝ln(3x－1)，则f′(x)＝．(　　) (3)f(x)＝x2cos 2x，则f′(x)＝2xcos 2x＋2x2sin 2x．(　　) 答案：(1)× (2)×　提示：f′(x)＝． (3)×　提示：f′(x)＝2xcos 2x－2x2sin 2x． 2．函数y＝cos (－x)的导数是(　　) A．cos x　　　　　 B．－cos x C．－sin x D．sin x 解析：选C　y′＝－sin (－x)(－x)′＝－sin x． 3．已知函数f(x)＝(2x－1)2的导数为f′(x)，则f′(1)＝(　　) A．1　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：选D　f′(x)＝2(2x－1)×2＝8x－4，则f′(1)＝8×1－4＝4． 4．设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________． 解析：易知y′＝aeax，y′|x＝0＝ae0＝a，故a·＝－1，则a＝2． 答案：2 题型一　复合函数的定义 [例 1]　指出下列函数是怎样复合而成的． (1)y＝(3＋5x)2；(2)y＝log3(x2－2x＋5)；(3)y＝cos 3x． 解：(1)y＝(3＋5x)2是由函数y＝u2，u＝3＋5x复合而成的． (2)y＝log3(x2－2x＋5)是由函数y＝log3u，u＝x2－2x＋5复合而成的． (3)y＝cos 3x是由函数y＝cos u，u＝3x复合而成的． 判断复合函数的方法 判断复合函数的复合关系的一般方法是从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要结构的，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，里层应是关于自变量x的基本函数或关于自变量x的基本函数经过有限次运算而得到的函数．　　 　指出下列函数由哪些函数复合而成． (1)y＝ln ；(2)y＝esin x；(3)y＝cos(x＋1)． 解：(1)y＝ln u，u＝． (2)y＝eu，u＝sin x． (3)y＝cos u，u＝x＋1． 题型二　简单的复合函数求导问题 [例 2]　求下列函数的导数： (1)y＝； (2)y＝esin(ax＋b)； (3)y＝sin2； (4)y＝5log2(2x＋1)． 解： (2)设y＝eu，u＝sin v，v＝ax＋b， 则yx′＝yu′·uv′·vx′＝eu·cos v·a ＝acos (ax＋b)·esin (ax＋b)． (3)设y＝u2，u＝sin v，v＝2x＋， 则yx′＝yu′·uv′·vx′＝2u·cos v·2 ＝4sin vcos v＝2sin 2v＝2sin ． (4)设y＝5log2u，u＝2x＋1， 则y′＝5(log2u)′·(2x＋1)′ ＝＝． 求复合函数导数的步骤 　求下列函数的导数： (1)y＝(2x－1)4； (2)y＝102x＋3； (3)y＝sin4x＋cos4x． 解：(1)令u＝2x－1，则y＝u4， ∴y′x＝y′u·u′x＝4u3·(2x－1)′＝4u3·2 ＝8(2x－1)3． (2)令u＝2x＋3，则y＝10u， ∴y′x＝y′u·u′x＝10u·ln 10·(2x＋3)′ ＝2ln 10·102x＋3． (3)y＝sin4x＋cos4x ＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2x·cos2x ＝1－sin22x ＝1－(1－cos 4x) ＝＋cos 4x． 所以y′＝′＝－sin 4x． 题型三　复合函数导数的应用 [例 3]　(1)曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是(　　) A．　　　　　　　 B．2 C．3 D．0 (2)已知函数f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若直线l与圆C：x2＋y2＝相切，求实数a的值． 解析：(1)选A　设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行． ∵y′＝， ∴y′|x＝x0＝＝2，解得x0＝1， ∴y0＝ln(2x－1)＝0，即切点坐标为(1，0)． ∴切点(1，0)到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝＝， 即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是． (2)∵f(1)＝a，f′(x)＝2ax＋(x<2)， ∴f′(1)＝2a－2， ∴切线l的方程为2(a－1)x－y＋2－a＝0． ∵直线l与圆相切，∴圆心到直线l的距离等于半径，即d＝＝，解得a＝． 解决复合函数求导与导数几何意义综合 问题的方法 正确求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．　　 1．(变条件)若将本例(2)中条件改为“直线l与圆C：x2＋y2＝相交”，则a的取值范围为________． 解析：由例题(2)知，直线l的方程为2(a－1)x－y＋2－a＝0． ∵直线l与圆c：x2＋y2＝相交， ∴圆心到直线l的距离小于半径． 即d＝<．解得a>． 答案： 2．有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为y＝s(t)＝5－．求函数在t＝时的导数，并解释它的实际意义． 解：函数y＝5－可以看作函数f(x)＝5－和x＝φ(t)＝25－9t2的复合函数，其中x是中间变量． 由导数公式表可得f′(x)＝－x－， φ′(t)＝－18t． 再由复合函数求导法则得y′t＝s′(t)＝f′(x)·φ′(t)＝ 将t＝代入s′(t)，得s′＝0．875(m/s)． 它表示当t＝时，梯子上端下滑的速度为0．875 m/s． [课堂小结] 1．求复合函数的导数的3个注意点 (1)分解函数为基本初等函数；(2)求导时分清是对哪个变量求导；(3)计算结果尽量简洁． 2．复合函数求导的步骤 (1)分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系； (2)要弄清每一步求导是哪个变量按什么公式求导，不要混淆； (3)将中间变量代回到自变量(如对x)的函数． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$