4.3.1 第2课时 等比数列的性质及应用（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

第2课时　等比数列的性质及应用 学习目标 素养要求 1．在理解等比数列定义和通项公式的基础上，探索并发现等比数列的性质． 2．理解等比数列的性质并能简单应用． 3．掌握等比数列的性质并能综合应用． 1．通过等比数列性质的学习，培养逻辑推理、数学运算的核心素养． 2．借助等比数列解决实际问题，提升数学建模、数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点　等比数列的性质 1．推广的等比数列的通项公式 {an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1＝am·qn－m(m，n∈N*)． 2．“子数列”性质 对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak＋1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，公比为qk． 3．常用等比数列的性质 (1)如果m＋n＝k＋l(m，n，k，l∈N*)，则有am·an＝ak·al． (2)如果m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，则有am·an＝a． (3)若m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列，则am，an，ap成等比数列． (4)在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列． (5)如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列，，，仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，，|q1|． (6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝ak·an－k＋1＝…． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当q>1时，{an}为递增数列．(　　) (2)当q＝1时，{an}为常数列．(　　) (3){an}是等比数列，若m＋n＝p，则am·an＝ap．(　　) (4)若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相同，则是等比数列．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)× (4)×　提示：反例：1，3，2，6，4，12，…显然满足条件，但不是等比数列． 2．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　) A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列 C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列 答案：D 3．在等比数列{an}中，a4＝6，a8＝18，则a12＝(　　) A．24　　　　　　　　 B．30 C．54 D．108 解析：选C　由a＝a4a12，得a12＝＝54． 4．已知等比数列{an}中，a2＝4，a7＝，则a3a6＋a4a5的值是________． 解析：a3a6＋a4a5＝a2a7＋a2a7＝2a2a7＝2×4×＝． 答案： 题型一　等比数列的性质 [例 1]　(1)在1与100之间插入n个正数，使这n＋2个数成等比数列，则插入的n个数的积为(　　) A．10n　　　　　　 B．n10 C．100n D．n100 (2)在等比数列{an}中，a3＝16，a1a2a3…a10＝265，则a7等于__________． 解析：(1)设这n＋2个数为a1，a2，…，an＋1，an＋2， 则a2·a3·…·an＋1＝(a1an＋2) ＝(100) ＝10n． (2)因为a1a2a3…a10＝(a3a8)5＝265， 所以a3a8＝213， 又因为a3＝16＝24，所以a8＝29． 因为a8＝a3·q5，所以q＝2． 所以a7＝＝256． 答案：(1)A　(2)256 利用等比数列的性质解题的基本思路 (1)充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题． (2)在等比数列的有关运算中，常常涉及次数较高的指数运算，往往是建立关于a1，q的方程组求解，但这样解起来很麻烦．此时，常利用等比数列的性质求解，往往可使问题简单明了． [提醒]　在应用等比数列的性质解题时，需时刻注意等比数列性质成立的前提条件． 　　 1．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝(　　) A．7　　　　　　　　 B．5 C．－5 D．－7 解析：选D　因为数列{an}为等比数列， 所以a5a6＝a4a7＝－8，联立 解得或 所以q3＝－或q3＝－2， 故a1＋a10＝＋a7·q3＝－7． 2．在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝－，则＋＋＋＝________． 解析：因为＋＝，＋＝，由等比数列的性质知a7a10＝a8a9，所以＋＋＋＝＝÷＝－． 答案：－ 题型二　等差、等比数列的综合应用 [例 2]　数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1)． (1)求{an}的通项公式； (2)等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，求Tn． 解：(1)由an＋1＝2Sn＋1，可得an＝2Sn－1＋1(n≥2)， 两式相减，得an＋1－an＝2an， 即an＋1＝3an(n≥2)． 又∵a2＝2S1＋1＝3，∴a2＝3a1． 故{an}是首项为1，公比为3的等比数列， ∴an＝3n－1． (2)设{bn}的公差为d， 由T3＝15，得b1＋b2＋b3＝15，可得b2＝5，故可设b1＝5－d，b3＝5＋d． 又a1＝1，a2＝3，a3＝9， 由题意可得(5－d＋1)(5＋d＋9)＝(5＋3)2． 解得d1＝2，d2＝－10． ∵等比数列{bn}的各项为正， ∴d>0，∴d＝2．Tn＝3n＋×2＝n2＋2n． [反思感悟]　等差数列与等比数列的异同 等差数列 等比数列 不同点 (1)强调每一项与前一项的差； (2)a1和d可以为零； (3)等差中项唯一． (1)强调每一项与前一项的比； (2)a1与q均不为零； (3)等比中项有两个值． 相同点 (1)都强调每一项与前一项的关系； (2)公差与公比都必须是常数； (3)数列都可以由a1，d或a1，q确定． 联系 (1)若{an}为正项等比数列，则{logaan}为等差数列； (2){an}为等差数列，则{ban}为等比数列． 　在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81． (1)求an； (2)设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn． 解：(1)设{an}的首项为a1，公比为q，依题意得 解得因此an＝3n－1． (2)因为bn＝log3an＝n－1， 所以数列{bn}的前n项和Sn＝＝． 题型三　等比数列的实际应用 [例 3]　某工厂2021年1月的生产总值为a万元，计划从2021年2月起，每月生产总值比上一个月增长m%，那么到2022年8月底该厂的生产总值为多少万元？ 解：设从2021年1月开始，第n个月该厂的生产总值是an万元， 则an＋1＝an＋anm%， ∴＝1＋m%． ∴数列{an}是首项a1＝a，公比q＝1＋m%的等比数列． ∴an＝a(1＋m%)n－1． ∴2022年8月底该厂的生产总值为 a20＝a(1＋m%)20－1＝a(1＋m%)19 (万元)． 数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有： (1)构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式解； (2)通过归纳得到结论，再用数列知识求解．　　 　某人买了一辆价值13．5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值． (1)用一个式子表示第n(n∈N*)年这辆车的价值． (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？ 解：(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为a1，a2，a3，…，an， 由题意，得a1＝13．5，a2＝13．5(1－10%)， a3＝13．5(1－10%)2，…． 由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝13．5，公比q＝(1－10%)＝0．9， ∴an＝a1·qn－1＝13．5×0．9n－1． ∴第n年车的价值为an＝13．5×0．9n－1万元． (2)当他用满4年时，车的价值为a5＝13．5×0．95－1≈8．857． ∴用满4年卖掉时，他大概能得到8．857万元． [课堂小结] 1．掌握解决等比数列问题的2种方法 (1)基本量法：利用等比数列的基本量a1，q，先求公比，后求其他量． (2)数列性质：等比数列相邻几项的积成等比数列、与首末项等距离的两项的积相等、等比中项的性质等在解题中经常被用到． 2．解题过程应注意1种思想与1个技巧 (1)转化思想：将非等差、等比数列通过构造转化成等差、等比数列，以便于利用其公式和性质解题． (2)在等比数列的有关运算中，常常涉及次数较高的指数运算，往往是建立关于a1，q的方程组求解，但这样解起来很麻烦．若能避开求a1，q，直接利用等比数列的性质求解，往往可使问题简单明了． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$