4.3.1等比数列的性质及应用导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

等比数列的性质及应用 【学习目标】 1.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算. 2.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形. 3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题. 【学习重难点】重点：运用等比数列解决简单的实际问题. 难点：等比数列性质应用. 【知识梳理】 一、等比数列的性质 1.等比数列通项公式的推广和变形 . 2.设数列为等比数列，则： （1）若（），则 . （2）当, . （3）若成等差数列，则 成等比数列. （4）如果， 均为等比数列,且公比分别为,那么数列,， ，，仍是等比数列,且公比分别为.（可证明） 二、等比数列的单调性（函数性质）为等比数列 【典例分析】 例1、已知为等比数列, (1)若,求; (2)若,,求; (3)若,,求的值. 变式、（1）在递增的等比数列中, , ,则 _____. （2）在等比数列中, ,,则 _____. 例2、有四个数,前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,第一个数与第四个数的和为,中间的两个数的和为,求这四个数. 例3、数列的前项和记为 ,已知,. 求证:(1) 数列是等比数列； (2) . 例4、从盛满纯酒精的容器里倒出,然后用水注满；再倒出混合溶液,用水注满.这样连续进行,一共倒次,这时容器里有纯酒精多少？(保留位有效数字, ,) 【当堂训练】 1. 如果数列是等比数列，那么下列数列中不一定是等比数列的是（　　） A. B. C. D. 2.已知数列为各项都是正数的等比数列，，则等于 _____. 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $ 等比数列的性质及应用 【学习目标】 1.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算. 2.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形.3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题. 【学习重难点】 重点：运用等比数列解决简单的实际问题. 难点：等比数列性质应用. 【知识梳理】 一、等比数列的性质 1.等比数列通项公式的推广和变形an=amqn-m. 2.设数列｛an｝为等比数列，则： （1）若k+l=m+n（k，l，m，n∈N*），则ak·al=am·an. （2）当m+n=2k(m,n,k∈N*)时,am·an=. （3）若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列. （4）如果 均为等比数列,且公比分别为 ,那么数列 , 仍是等比数列,且公比分别为 .（可证明） 二、等比数列的单调性（函数性质）为等比数列 【典例分析】 例1、已知{an}为等比数列, (1)若a2a4=,求a1a5; (2)若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5; (3)若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值. 解:(1)等比数列{an}中,∵a2a4=, ∴=a1a5=a2a4=,∴a1a5=. (2)由等比中项,化简条件得+2a3a5+=25,即(a3+a5)2=25, ∵an>0,∴a3+a5=5. (3)由等比数列的性质知a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9, ∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2·…·a10)=log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]=log395=10. 变式、（1）在递增的等比数列 中, , ,则 _____. （2）在等比数列 中, ,则 ( ) A. B. C. D. 例2、有四个数,前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,第一个数与第四个数的和为21,中间的两个数的和为18,求这四个数. 解:法一　设前三个数分别为,a,aq(q≠0),则第四个数为2aq-a. 由题意得 解得q=2或q=. 当q=2时,a=6,这四个数为3,6,12,18;当q=时,a=,这四个数为,,,. 法二　设后三个数分别为a-d,a,a+d,则第一个数为,所以这四个数为,a-d,a,a+d. 由题意得 解得或故这四个数为3,6,12,18或,,,. 例3、数列 的前 项和记为 ,已知 . 求证:(1) 数列 是等比数列； (2) . 例4、从盛满 纯酒精的容器里倒出 ,然后用水注满；再倒出 混合溶液,用水注满.这样连续进行,一共倒 5 次,这时容器里有纯酒精多少？(保留 3 位有效数字, , ) 【当堂训练】 1. 如果数列｛an｝是等比数列，那么下列数列中不一定是等比数列的是（　　） A. B. C. D. 答案　D 解析　取等比数列an=，则an+an+1=0，所以｛an+an+1｝不是等比数列，故D错误； 对于其他选项，均满足等比数列通项公式的性质. 2.已知数列｛an｝为各项都是正数的等比数列，=9a1·a9，则等于（　　） A.3 B. C. D. 答案　D 解析　设正项等比数列｛an｝的公比为q， 则an>0，q>0. 由等比数列的性质得=9a1·a9=9， ∴a6=3a5，∴q=3， 则===. 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $