4.2.2 第2课时 等差数列前n项和的综合应用（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

第2课时　等差数列前n项和的综合应用 学习目标 素养要求 1．能利用等差数列的前n项和解决实际问题． 2．会求等差数列前n项和的最值． 1．通过利用等差数列的前n项和解决实际问题，培养数学建模的核心素养． 2．通过求等差数列前n项和的最值，提升数学运算、逻辑推理的核心素养． [自主梳理] 知识点　等差数列前n项和Sn的最值 [问题]　我们已经知道当公差d≠0时，等差数列前n项和是关于n的二次函数Sn＝n2＋n，类比二次函数的最值情况，等差数列的Sn何时有最大值？何时有最小值？ 答：由二次函数的性质可以得出：当a1<0，d>0时，Sn一般先减后增，有最小值；当a1>0，d<0时，Sn一般先增后减，有最大值；且n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值． ►知识填空 (1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值． (2)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值． 特别地，若a1>0，d>0，则S1_是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数．(　　) (2)若数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则{an}不是等差数列．(　　) (3)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sp＝Sq(p，q∈N*)，则Sn在n＝(p＋q)处取得最大值或最小值．(　　) 答案：(1)×　(2)√ (3)×　提示：当(p＋q)是正整数，即p＋q是偶数时结论才成立． 2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于(　　) A．6　　　　 　　　 B．7 C．8 D．9 解析：选A　由a4＋a6＝2a5＝－6， 解得a5＝－3， 又a1＝－11，所以a5＝a1＋4d＝－11＋4d＝－3， 解得d＝2， 则an＝－11＋2(n－1)＝2n－13， 所以Sn＝＝n2－12n＝(n－6)2－36， 所以当n＝6时，Sn取最小值． 3．数列{an}中，an＝2n－49，当数列{an}的前n项和Sn取得最小值时，n＝________． 解析：由an＝2n－49知{an}是等差数列，an>0⇒n>，∴n＝24． 答案：24 4．设an＝14－3n，则数列{an}的前n项和Sn有最______(填“大”或“小”)值为________． 解析：因为an＝14－3n，所以a1＝11，公差d＝an－an－1＝－3，所以Sn有最大值． 由得n＝4，则其最大值为S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝11＋8＋5＋2＝26． 答案：大　26 题型一　等差数列前n项和的实际应用 [例 1]　在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈．请问： (1)第9圈共有多少块石板？ (2)前9圈一共有多少块石板？ 解：(1)设从第1圈到第9圈石板数所成数列为{an}， 由题意可知{an}是等差数列，其中a1＝9，d＝9，n＝9． 由等差数列的通项公式，得第9圈有石板a9＝9＋(9－1)×9＝81(块)． (2)由等差数列前n项和公式，得前9圈一共有石板S9＝9a1＋d＝9×9＋×9＝405(块)． 解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点 (1)解答数列实际应用问题的基本步骤：①审题，即仔细阅读材料，认真理解题意；②建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题；③判型，即判断该数列是否为等差数列；④求解，即求出该问题的数学解；⑤还原，即将所求结果还原到实际问题中． (2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题．　　 　某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？ 解：从第一辆车投入工作算起，各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25．由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－． 25辆翻斗车完成的工作量为：a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480．∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线． 题型二　等差数列前n项和的最值问题 [例 2]　在等差数列{an}中，若a1＝25，且S9＝S17，求Sn的最大值． 解：法一：∵S9＝S17，a1＝25， ∴9×25＋d＝17×25＋d， 解得d＝－2． ∴Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n ＝－(n－13)2＋169． ∴当n＝13时，Sn有最大值，即S13＝169． 法二：同法一，求出公差d＝－2． ∴an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27． ∵a1＝25>0， ∴ 解得 ∴当n＝13时，Sn有最大值． S13＝25×13＋×(－2)＝169，因此Sn的最大值为169． 法三：∵S9＝S17，∴a10＋a11＋…＋a17＝0． 由等差数列的性质得a13＋a14＝0． ∵a1>0，∴d<0．∴a13>0，a14<0． ∴当n＝13时，Sn有最大值． S13＝25×13＋×(－2)＝169． 因此Sn的最大值为169． 法四：设Sn＝An2＋Bn． ∵S9＝S17， ∴二次函数对称轴为n＝＝13，且开口方向向下， ∴当n＝13时，Sn取得最大值． 由法一知d＝－2，∴S13＝25×13＋×(－2)＝169． 因此Sn的最大值为169． 求等差数列前n项和Sn的最大(小)值的常用方法 (1)通项法 若a1>0，d<0，则Sn必有最大值，其n可用不等式组来确定； 若a1<0，d>0，则Sn必有最小值，其n可用不等式组来确定． (2)二次函数法 在等差数列{an}中，由于Sn＝na1＋d＝n2＋n，则可用求二次函数最值的方法来求前n项和Sn的最值，其中，n值可由n∈N*及二次函数图象的对称性来确定．　　 　已知等差数列{an}中，a1＝－3，11a5＝5a8－13． (1)求公差d的值； (2)求数列{an}的前n项和Sn的最小值． 解：(1)由11a5＝5a8－13，得11(a1＋4d)＝5(a1＋7d)－13． ∵a1＝－3，∴d＝． (2)法一：Sn＝－3n＋×＝n2－n＝－， 由于n∈N*，所以当n＝6时，Sn取最小值，S6＝－． 法二：an＝a1＋(n－1)d＝－3＋(n－1)×． 令an≤0，得n≤， ∴a1<a2<…<a6<0<a7<…． ∴Sn的最小值为S6＝6a1＋＝6×(－3)＋15×＝－． 题型三　已知等差数列{an}，求数列{|an|}的前n项和问题 [例 3]　已知{an}为等差数列，an＝10－3n，求数列{|an|}的前n项和． 解：由于an有正也有负，当an≥0时， |an|＝an； 当an<0时，|an|＝－an．当an＝10－3n≥0时，n≤．设数列{|an|}的前n项和为Sn， 则有Sn＝ ＝ ＝ 求数列{|an|}的前n项和实际上是求数列{an}前n项的绝对值之和．由绝对值的意义，我们必须分清这个数列的哪些项是负数，哪些项是非负数，然后再分段求前n项各项的绝对值之和．　　 　已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－5n＋2，则数列{|an|}的前10项和为(　　) A．56　　　　　　 B．58 C．62 D．60 解析：选D　因为Sn＝n2－5n＋2，所以当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2－5n＋7，两式相减可得an＝2n－6，当n＝1时，a1＝S1＝－2, 不满足上式，故an＝则数列{an}从第二项开始成等差数列，且前2项为负数，第3项为0，其余各项为正数，所以数列{|an|}的前10项和为－a1－a2＋a3＋…＋a10＝4＋＝60． [课堂小结] 1．熟记等差数列前n项和公式． 2．掌握2种求Sn最大(小)值的方法． (1)通项公式法； (2)函数性质法． 3．注意求Sn最大(小)值的1个易错点 由于n取正整数，所以Sn不一定是在顶点处取得最值，而可能是在离顶点最近的横坐标取整数的点处取得最值． 4．明确{|an|}求和中的易错点：正负交界处判断出错 由于数列{|an|}的前n项和的求法与n的大小有关，所以需要由不等式组或找出满足条件的临界值n，再写成分段函数形式． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$