4.2.2 第1课时 等差数列的前n项和（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

4．2．2　等差数列的前n项和 第1课时　等差数列的前n项和 学习目标 素养要求 1．了解等差数列前n项和公式的推导过程，掌握等差数列五个量a1，n，d，an，Sn之间的关系． 2．掌握等差数列前n项和公式、性质及其应用． 1．通过对等差数列前n项和的推导，培养逻辑推理、数学运算的核心素养． 2．借助等差数列的前n项和公式及性质的应用，提升数学运算、逻辑推理的核心素养． [自主梳理] 知识点　等差数列的前n项和 [问题]　如图，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根． (1)共有几层？图形的横截面是什么形状？ (2)假设在这堆钢管旁边再倒放上捆扎着的同样的一堆钢管，如图所示，则这样共有多少钢管？ (3)原来有多少根钢管？ (4)能否利用前面问题推导等差数列前n项和公式Sn＝a1＋a2＋…＋an? (5)试用a1，d，n表示Sn． 答：(1)六层，等腰梯形． (2)(4＋9)×6＝78． (3)×78＝39． (4)能．Sn＝a1＋a2＋…＋an， Sn＝an＋an－1＋…＋a1， 相加，得2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1)＝n(a1＋an)， ∴Sn＝． (5)∵an＝a1＋(n－1)d， ∴Sn＝＝na1＋d． ►知识填空 等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 选用 公式 Sn＝ Sn＝na1＋d Sn＝与Sn＝na1＋d均为等差数列前n项和公式，注意灵活选择、应用．当已知a1，an时，多用Sn＝；当已知a1，d时，多用Sn＝na1＋d．　　 [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知等差数列的首项、公差，可求S10．(　　) (2)在等差数列中涉及到a1，d，n，an，Sn五个量，利用方程思想可以“知三求二”．(　　) (3)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sn与an不可能相等．(　　) (4)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于(　　) A．13　　　　 　　　 B．35 C．49 D．63 解析：选C　∵a2＋a6＝a1＋a7＝14， ∴S7＝＝49． 3．已知数列的通项公式an＝－5n＋2，则其前n项和Sn＝________． 解析：∵an＝－5n＋2，∴数列{an}是等差数列， 且a1＝－3，公差d＝－5， ∴Sn＝＝－． 答案：－ 4．在等差数列{an}中，a1＝20，an＝54，Sn＝999，则d＝________，项数n＝________． 解析：由等差数列的通项公式和前n项和公式得解得 答案：　27 题型一　等差数列前n项和的有关计算 [例 1]　在等差数列{an}中， (1)已知a6＝10，S5＝5，求a8； (2)已知a2＋a4＝，求S5． 解：(1)法一：∵a6＝10，S5＝5， ∴解得 ∴a8＝a6＋2d＝16． 法二：∵S6＝S5＋a6＝15， ∴15＝，即3(a1＋10)＝15． ∴a1＝－5，d＝＝3． ∴a8＝a6＋2d＝16． (2)法一：因为a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝， 所以a1＋2d＝． 所以S5＝5a1＋×5×(5－1)d＝5a1＋2×5d ＝5(a1＋2d)＝5×＝24． 法二：a2＋a4＝a1＋a5， 所以a1＋a5＝． 因为Sn＝， 所以S5＝＝×＝24． 等差数列中的基本计算 (1)利用基本量求值 等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． (2)结合等差数列的性质解题 等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用．　　 　在等差数列{an}中： (1)已知a1＝，d＝－，Sm＝－15，求m及am； (2)已知a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求d； (3)已知S5＝24，求a2＋a4． 解：(1)∵Sm＝m·＋·－＝－15， 整理，得m2－7m－60＝0，解得m＝12或m＝－5(舍去)， ∴am＝a12＝＋(12－1)×＝－4． (2)由Sn＝＝＝－1 022， 得n＝4，又由an＝a1＋(n－1)d， 即－512＝1＋(4－1)d， 解得d＝－171． (3)法一：设等差数列的首项为a1，公差为d，则S5＝5a1＋d＝24，得5a1＋10d＝24，a1＋2d＝． ∴a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝2(a1＋2d)＝2×＝． 法二：由S5＝＝24， 得a1＋a5＝． ∴a2＋a4＝a1＋a5＝． 题型二　an与Sn的关系的应用 [例 2]　设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n． (1)求a1及an； (2)判断这个数列是否是等差数列． 解：(1)因为Sn＝2n2－30n， 所以当n＝1时， a1＝S1＝2×12－30×1＝－28， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32． 经验证当n＝1时上式成立， 所以an＝4n－32． (2)由an＝4n－32，得an－1＝4(n－1)－32(n≥2)， 所以an－an－1＝4n－32－[4(n－1)－32]＝4(常数)， 所以数列{an}是等差数列． 利用Sn判断{an}是否为等差数列 如果数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn，那么数列{an}成等差数列．　　 1．(变条件)将本例的条件“Sn＝2n2－30n”改为“Sn＝2n2－30n＋1”，其他条件不变，求an并判断数列{an}是否是等差数列． 解：因为Sn＝2n2－30n＋1， 所以当n＝1时， a1＝S1＝2×12－30×1＋1＝－27， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝2n2－30n＋1－[2(n－1)2－30(n－1)＋1]＝4n－32． 经验证当n＝1时上式不成立， 所以an＝所以数列{an}不是等差数列． 2．已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Sn＝a＋n－4． (1)求证：数列{an}为等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 解：(1)证明：当n＝1时，有2a1＝a＋1－4，即a－2a1－3＝0，因为an>0，解得a1＝3． 当n≥2时，有2Sn－1＝a＋n－5， 又2Sn＝a＋n－4，两式相减得2an＝a－a＋1， 即a－2an＋1＝a，即(an－1)2＝a， 所以an－1＝an－1或an－1＝－an－1． 若an－1＝－an－1，则an＋an－1＝1，而a1＝3，所以a2＝－2，这与数列{an}的各项均为正数矛盾， 所以an－1＝an－1，即an－an－1＝1(n≥2)，因此数列{an}为等差数列． (2)由(1)知a1＝3，d＝1，所以数列{an}的通项公式为an＝3＋(n－1)×1＝n＋2，即an＝n＋2． 题型三　等差数列前n项和的性质 [例 3]　 (1)已知等差数列前3项的和为30，前6项的和为100，则它的前9项的和为(　　) A．130　　　　　　 B．170 C．210 D．260 (2)已知等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列的前10项和为__________． 解析：(1)利用等差数列的性质，知S3，S6－S3，S9－S6成等差数列． 所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)， 即30＋(S9－100)＝2(100－30)，解得S9＝210． (2)因为an＝2n＋1，所以a1＝3， 所以Sn＝＝n2＋2n， 所以＝n＋2， 所以是公差为1，首项为3的等差数列， 所以数列的前10项和为3×10＋×1＝75． 答案：(1)C　(2)75 等差数列前n项和的常用性质 (1)等差数列的连续n项的和仍成等差数列，即Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是等差数列，且公差为n2d． (2)数列是等差数列，公差为数列{an}的公差的． (3)若{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别为Sn与S′n，则＝． (4)关于等差数列{an}奇数项与偶数项的性质： 若项数为2n，则S偶－S奇＝nd， ＝； 若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an， S奇＝nan，S奇－S偶＝an，＝．　　 1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝________． 解析：数列{an}为等差数列，则S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)．因为S3＝9，S6－S3＝27，所以S9－S6＝45，所以a7＋a8＋a9＝S9－S6＝45． 答案：45 2．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Sn′，如果＝(n∈N*)，则的值是(　　) A．　　　　　　　　 B． C． D． 解析：选C　由等差数列前n项和的性质，得＝＝＝＝＝＝． [课堂小结] 1．与等差数列前n项和公式有关的计算 等差数列前n项和公式Sn＝、Sn＝na1＋d中，含有5个基本量a1，an，n，d，Sn，在这5个量中利用方程的思想方法可以“知三求二”． 2．利用等差数列前n项和公式求Sn 当已知首项、末项和项数时，用前一个公式较为简便；当已知首项、公差和项数时，用后一个公式较好． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$