第四章 对数运算与对数函数（复习课件）数学北师大版必修第一册

该高中数学课件系统梳理了对数运算与对数函数的核心知识，涵盖对数定义、运算性质、函数图像与性质、应用及反函数关系，通过单元知识图谱将定义、图像、性质、应用等模块串联，结合考点串讲和题型分类，构建逻辑清晰的知识网络。 其亮点在于采用“考点串讲-题型剖析-针对训练”分层复习模式，如对数运算通过“拆合”思路培养运算能力，反函数对称问题结合图像渗透几何直观，助力学生用数学思维分析问题。这种设计既夯实基础又提升能力，为教师提供系统复习方案，增强教学针对性。

单元复习课件 第四章 对数运算与对数函数 北师大版2019必修第一册·高一 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.理解对数概念及运算性质：准确把握对数的定义，明确对数与指数的相互转化关系，能够熟练阐述对数的基本性质。 2.熟练进行对数运算与化简：能够运用对数的定义、运算性质和法则，对不同底数的对数进行转化，完成对数的求值、化简和恒等式证明等任务。 3.掌握对数函数的图像与性质：理解对数函数的概念，明确其定义域、值域等基本要素，能根据对数函数的解析式确定底数的取值范围对函数的影响。 4.运用对数知识解决实际问题：能够识别生活和生产中涉及对数的实际情境（如人口增长、放射性物质衰变、地震震级计算等），将实际问题转化为数学问题，建立对数函数模型。 单元学习目标 单元知识图谱 单元知识图谱 单元知识图谱 1．对数的概念 (1)对数的定义：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作_____________，其中_______叫做对数的底数，_______叫做真数． 一、对数与对数运算 x＝logaN a N (2)几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为a(a>0，且a≠1) _____________ 常用对数 底数为________ _____________ 自然对数 底数为______ _____________ logaN 10 lg N e ln N 考点串讲 二、对数的性质与运算法则 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①loga1＝______； ②logaa＝______(其中a>0且a≠1)； ③logaab＝________(a>0，a≠1，b∈R)． (2)对数恒等式 alogaN＝__________(其中a>0且a≠1，N>0)． 0 1 b N 考点串讲 二、对数的性质与运算法则 logaM＋logaN logaM－logaN nlogaM 微提点　 对数运算是一种高级运算转化为低级运算 考点串讲 三、对数函数的图象与性质 1．对数函数的定义、图象和性质 定义 函数_________________________叫做对数函数 图象 a＞1 0＜a＜1 y＝logax(a＞0，且a≠1) 考点串讲 三、对数函数的图象与性质 性质 定义域：___________________ 值域：___________________ 当x＝1时，y＝0，即过定点______________ 当0＜x＜1时，y<0； 当x＞1时，_____________ 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，___________ 在(0，＋∞)上为 __________ 在(0，＋∞)上为 __________ (0，＋∞) (－∞，＋∞) (1,0) y＞0 y＜0 增函数 减函数 考点串讲 四、反函数 指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数____________(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线________对称． y＝logax y＝x 考点串讲 题型一、对数运算 换底公式考察 题型剖析 题型一、对数运算 题型剖析 题型一、对数运算 题型剖析 题型一、对数运算 对数运算的一般思路 拆 首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算性质化简合并 合 将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算 题型剖析 题型一、对数运算 变式训练 题型二、对数函数的图象与性质 例2（1）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=ln(x+1), 则函数f(x)的大致图象为(　　) （2）当0<x≤时，<logax，则实数a的取值范围是________ 函数三要素、三大性质，采用排除法 【答案】（1）B   （2） 题型剖析 题型二、对数函数图像及其应用 【解析】(1)因为函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0，且a≠1)在R上是奇函数，所以f(0)＝0，所以k＝2，经检验，k＝2满足题意． 又因为f(x)为减函数，所以0<a<1，则g(x)＝loga|x＋2|(0<a<1)． 所以g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，其大致图象为B. (2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax.当a>1时不满足条件；当0<a<1时，画出两个函数在上的图像可知，，即，则a>.所以a的取值范围为. 题型剖析 题型二、对数函数的图象与性质 题型剖析 题型二、对数函数的图象与性质 题型剖析 题型二、对数函数图像及其应用 应用对数型函数的图象可求解的两类问题 1．对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想． 2．在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． 题型剖析 题型二、对数函数图像及其应用 变式训练 题型三、比较对数值的大小 【例3】已知a=log0.20.3,b=log0.30.2,c=log23,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.a<c<b 化同构，构造函数 题型剖析 题型三、比较对数值的大小 题型剖析 题型三、比较对数值的大小 设m∈(0,1)，若a＝lg m，b＝lg m2，c＝(lg m)2，则( 　　) A．a>b>c 　 B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a 【解析】利用对数函数的性质即得．∵m∈(0,1)，∴a＝lg m<0，b＝lg m2＝2lg m<lg m＝a，c＝(lg m)2>0，∴c>a>b.故选C. 变式训练 题型四、解简单的对数不等式 解对数不等式：形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；形如logax＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式． 题型剖析 题型四、解简单的对数不等式 题型剖析 题型四、解简单的对数不等式 A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1) 分类讨论 a的正负 变式训练 题型五、对数函数性质的综合应用 不等式恒成立问题 单调性， 表示出最值 题型剖析 题型五、对数函数性质的综合应用 题型剖析 题型五、对数函数性质的综合应用 题型剖析 (2024·海南省高三第一次联考) 已知函数f(x)＝3＋log2x，x∈[1,16]，若函数g(x)＝[f(x)]2＋2f(x2)． (1)求函数g(x)的定义域； (2)求函数g(x)的最值． 题型五、对数函数性质的综合应用 变式训练 (2024·海南省高三第一次联考) 已知函数f(x)＝3＋log2x，x∈[1,16]，若函数g(x)＝[f(x)]2＋2f(x2)． (1)求函数g(x)的定义域； (2)求函数g(x)的最值． 题型五、对数函数性质的综合应用 (2)因为x∈[1,4]，所以log2x∈[0,2]．g(x)＝[f(x)]2＋2f(x2) ＝(3＋log2x)2＋6＋2log2x2＝(log2x)2＋10log2x＋15 ＝(log2x＋5)2－10，当log2x＝0时，g(x)min＝15， 当log2x＝2时，g(x)max＝39，即函数g(x)的最大值为39，最小值为15. 变式训练 题型六、反函数对称问题 【例6】若关于x的方程x＋log5x＝4与x＋5x＝4的根分别为m，n，则m＋n的值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 ①考察函数 对称性 ②数形结合 题型剖析 题型六、反函数对称问题 【解析】由题意，可知log5x＝－x＋4,5x＝－x＋4，作出函数y＝log5x，y＝5x，y＝－x＋4的图象(如图)， 针对训练 题型六、反函数对称问题 已知x1是方程x·3x＝4的根，x2是方程x·log3x＝4的根，则x1x2＝________. 变式训练 题型六、反函数对称问题 变式训练 1．函数y＝lg|x－1|的图象是( 　　) 针对训练 2．设a＝log63，b＝log126，c＝log2412，则( 　　) A．b<c<a B．a<c<b C．a<b<c D．c<b<a 针对训练 3.若函数y＝loga(x2－ax＋2)在区间(－∞，1]上为减函数， 则实数a的取值范围是________. 针对训练 4.（多选）已知函数f(x)＝ln(x2＋x＋m)(m∈R)，则(　　) 针对训练 针对训练 针对训练 课堂总结 感谢聆听! (3)对数的换底公式 logbN＝___________(a，b均大于零且不等于1，N>0)． (4)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝________________； ②loga＝______________； ③logaMn＝________(n∈R)． 【例1】(1)计算：＝________. (2)log381－log98·log23－＋lg＋lg＝________. (3)(2024·浙江质检)设log83＝p，log35＝q，则lg 5等于(　　) A．p2＋q2 B．(3p＋2q) C． D．pq 【答案】(1)1 (2)0 （3）C 【解析】　(1)原式＝ ＝ ＝＝＝＝1. (2)原式＝log334－·log32·log23－3＋lg＝4－－3＋＝0. (3)因为log83＝＝＝p， 所以lg 3＝3plg 2. 因为log35＝＝q， 所以lg 5＝qlg 3＝3pqlg 2＝3pq(1－lg 5)， 所以lg 5＝. (2020·全国Ⅰ卷)设alog34＝2，则4－a等于( 　　) A. B． C． D． 【解析】解法一：因为alog34＝2，所以log34a＝2，则有4a＝32＝9，所以4－a＝＝. 解法二：因为alog34＝2，所以－alog3 4＝－2，所以log34－a＝－2，所以4－a＝3－2＝＝. 【探究1】　若将本例(2)中的条件换为“不等式(x－1)2<logax在x∈(1，2)时恒成立”，如何求解？ 【探究2】　若将本例(2)中的条件换为“不等式(x－1)2<logax恰有三个整数解”，如何求解？ 【探究3】　若将本例(2)中的条件换为“已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,2x，x≤0，))且关于x的方程f(x)－a＝0存在两个实根”，如何求解？ 【解析】设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立， 只需f1(x)＝(x－1)2在(1，2)上的图像在f2(x)＝logax图像的下方即可．当0<a<1时，显然不成立； 当a>1时，如图，要使x∈(1，2)时f1(x)＝(x－1)2的图像在f2(x)＝logax的图像下方，只需f1(2)≤f2(2)， 即(2－1)2≤loga2，又即loga2≥1.所以1<a≤2，即实数a的取值范围是(1，2]． 【解析】 不等式logax>(x－1)2恰有三个整数解，画出示意图可知a>1，其整数解集为{2，3，4}， 则应满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(loga4>（4－1）2，,loga5≤（5－1）2，))得eq \r(16,5)≤a<eq \r(9,4).即实数a的取值范围为[eq \r(16,5)，eq \r(9,4))． 【解析】 当x≤0时，0<2x≤1，由图像可知方程f(x)－a＝0有两个实根，即y＝f(x)与y＝a的图像 有两个交点，所以由图像可知0<a≤1.即实数a的取值范围为(0，1]． 已知函数f(x)＝|log3x|，若a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋4b的 取值范围是(　　) A．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C．[5，＋∞) D．(5，＋∞) 【解析】画出f(x)＝|log3x|的图象，如图所示．因为a<b，且f(a)＝f(b)， 所以－log3a＝log3b，故＝b，且0<a<1.令y＝a＋4b，所以y＝a＋. 由对勾函数的性质可知y＝a＋在(0,1)上单调递减， 故y＝a＋>1＋＝5，故a＋4b的取值范围是(5，＋∞)． 【答案】A 【解析】0<a=log0.20.3<1,b=log0.30.2>1,c=log23>1, =log0.30.2·log32= 因为函数f(x)=x2-x=在区间上单调递减,且f(0)=0, 又因为>lg 3>lg 2>0,所以f(lg 3)<f(lg 2)<0,所以<1,即<1. 所以<1,所以b<c,即a<b<c. 例4已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)内单调递增.若实数a满足f(log2a)+f(loa)≤2f(1),则实数a的取值范围是(　　) A.[1,2] B. C. D.(0,2] 【解析】因为loa=-log2a, 所以f(log2a)+f(loa)=f(log2a)+f(-log2a)=2f(log2a), 原不等式变为2f(log2a)≤2f(1),即f(log2a)≤f(1). 又因为f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)内单调递增, 所以|log2a|≤1,即-1≤log2a≤1, 解得a≤2,故选C. 设函数f(x)=若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是(　　) 【解析】由题意可得 解得a>1或-1<a<0. 【例5】已知函数f(x)＝log2. (1)若函数f(x)是R上的奇函数，求实数a的值； (2)若函数f(x)的定义域是R，求实数a的取值范围； (3)若函数f(x)在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围． 【解析】(1)若函数f(x)是R上的奇函数，则f(0)＝0， ∴log2(1＋a)＝0，解得a＝0. 当a＝0时，f(x)＝－x是R上的奇函数． ∴a＝0. (2)若函数f(x)的定义域是R，则＋a>0恒成立，即a>－恒成立， 因为－∈(－∞，0)，所以只要a≥0， 则实数a的取值范围是[0，＋∞)． (3)由已知得函数f(x)是减函数，故f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(0)＝log2(1＋a)，最小值是f(1)＝log2. 由题设得log2(1＋a)－log2≥2， 则log2(1＋a)≥log2(4a＋2)． ∴解得－<a≤－. 故实数a的取值范围是. 【解析】(1)函数g(x)＝[f(x)]2＋2f(x2)满足 解得1≤x≤4， 即函数g(x)的定义域为[1,4]． 【答案】B 则A，B两点的横坐标分别为m，n，且A，B关于直线y＝x对称，记AB的中点为C，由可得点C的横坐标为2，因此m＋n＝4. 【解析】　方程x·3x＝4可变形为3x＝，方程x·log3x＝4可变形为log3x＝，所以x1是函数y＝3x与y＝(x>0)的图象的交点的横坐标，x2是函数y＝log3x与y＝(x>0)的图象的交点的横坐标．因为y＝3x与y＝log3x互为反函数，这两个图象关于直线y＝x对称，在函数y＝(x>0)的图象上任取 一点(a，b)，该点关于直线y＝x的对称点的坐标为(b，a)，由b＝，得a＝，则点(b，a)也在函数y＝的图象上，故函数y＝(x>0)的图象关于直线y＝x对称，所以点与点也关于直线y＝x对称(如图)，所以x1＝，故x1x2＝4. [解析]　因为y＝lg|x－1|＝ 当x＝1时，函数无意义，故排除B、D； 又当x＝2或0时，y＝0，所以A项符合题意． 【解析】因为a，b，c都是正数，所以＝log36＝1＋log32， ＝log612＝1＋log62，＝log1224＝1＋log122， 因为log32＝，log62＝，log122＝，且lg 3<lg 6<lg 12， 所以log32>log62>log122，即>>，所以a<b<c.故选C. 【解析】令g(x)＝x2－ax＋2(a>0，且a≠1)． ①当a>1时，由题意知g(x)在(－∞，1]上为减函数， 所以解得2≤a<3； ②当0<a<1时，由题意知g(x)在(－∞，1]上为增函数，显然不成立． 综上所述，实数a的取值范围是[2,3)． A．当m>时，f(x)的定义域为R B．f(x)一定存在最小值 C．f(x)的图象关于直线x＝－对称 D．当m≥1时，f(x)的值域为R 解析　(1)a＝log52<log5＝，b＝log0.50.2>log0.50.25＝2,0.51<0.50.2< 0.50，故<c<1，所以a<c<b. (2)因为f(x)＝log0.5(4x－3)为减函数，所以由f(x)>0可得0<4x－3<1，解得<x<1，所以当f(x)>0时，x的取值范围是为. (3)对于A，若m>，则1－4m<0，所以x2＋x＋m>0恒成立，所以f(x)的定义域为R，故A正确； 对于B，若m＝0，则f(x)＝ln(x2＋x)的定义域为(－∞，－1)∪(0， ＋∞)，值域为R，没有最小值，故B错误； 对于C，因为函数y＝ln为偶函数，其图象关于y轴对称， 所以将该函数的图象向左平移个单位长度即可得到函数f(x)＝ln＝ln(x2＋x＋m)的图象， 此时f(x)图象的对称轴为直线x＝－，故C正确； 对于D，若m≥1，则y＝x2＋x＋m＝2＋m－≥，故f(x)的值域不是R，故D错误． eq \a\vs4\al(2)种关系——指数与对数、指数函数与对数函数的关系 (1)ab＝N⇔logaN＝b(a>0，a≠1，N>0)． (2)指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，应从概念、图像和性质 三个方面理解它们之间的联系与区别． eq \a\vs4\al(2)个注意——解决对数问题应注意两点 (1)在无M>0的条件下，logaMn＝nloga|M|(n∈N*，且n为偶数)． (2)解决与对数函数有关的问题时，务必先研究函数的定义域．对数函数的单调性取决于底数a， 应注意底数的取值范围． eq \a\vs4\al(4)种方法——对数值的大小比较方法 (1)化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法；(3)利用中间量(0或1)；(4)化同真数后利用图像比较. $$