1.3.2基本不等式学案-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

1.3.1基本不等式 一、知识梳理 1．对于任意实数 和 总是成立的，即 ，移项可得 ，当且仅当 时，等号成立. 2．设 ，取 ，代入 可得 ，当且仅 当 时，等号成立. 3．基本不等式中， 称为 的 , 称为 的 ，基本不等式又称为 ，也可表述为：两个非负实数的 大于或等于它们的 . 4．当 均为正数时，若 （ 为定值），则当且仅当 时， 取得最大值 ；若 （ 为定值），则当且仅当 时， 取得最小值 . 二、基础训练 1.已知，则的最小值为( ) A.16 B.18 C.8 D.20 2.若正数a，b满足，则的最大值为( ) A.5 B.6 C.7 D.9 3.已知实数，则的最小值是( ) A. B. C.6 D.5 4.已知，，则的最小值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 5.已知，，则的最小值为( ). A.9 B.8 C.5 D.4 6.下列条件中，不能使成立的有( ) A. B. C.， D.， 7.（多选）已知，，且，则可能取的值有( ) A.9 B.10 C.11 D.12 8.（多选）已知，且对恒成立，则a的值可能为( ) A. B.2 C. D.3 9.已知m，，，则的最小值为_________. 10.已知a，b都是正实数，若，则的最大值为________________. 三、课后练习 1.已知，，则的最小值为( ) A. B. C.4 D.2 2.已知正数a，b满足，则的最小值为( ) A.9 B.6 C.4 D.3 3.若，则的最小值为( ) A.4 B.6 C.8 D.无最小值 4.已知a，b为正实数，且，则ab的取值范围是( ) A. B. C. D. 5.已知，且，，则的最小值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 6.函数的最小值是( ) A.-1 B.3 C.6 D.12 7.（多选）已知正数x，y满足，则( ) A.的最大值为1 B.的最大值为2 C.的最小值为2 D.的最小值为 8.（多选）若，且，则( ) A. B. C. D. 9.若，则，的最大值为___________________. 10.已知，则的最小值为__________. 答案及解析 一、知识梳理 1． 2． 3．算术平均值；几何平均值；均值不等式；算术平均值；几何平均值 4． 二、基础训练 1.答案：B 解析：因为，所以，又因为，所以（当且仅当，即时，等号成立），故选B. 2.答案：D 解析：由题意得：，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为9. 故选：D. 3.答案：B 解析：因为， 所以， 当且仅当，即， 所以的最小值是. 故选：B. 4.答案：B 解析：，，当且仅当，即，时等号成立，则的最小值为4.故选B. 5.答案：A 解析：因为，，所以，当且仅当时取等号.故选A. 6.答案：B 解析：根据基本不等式的条件知，，故a，b同号.故选B. 7.答案：BCD 解析：因为，，且， 所以 ，当且仅当，即取等号， 故选：BCD. 8.答案：BC 解析：因为，所以.又因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，从而.故选BC. 9.答案：4 解析：因为m，，， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号. 故答案为:4 10.答案： 解析：， 可得：，当且仅当时，取等号， 所以的最大值为， 故答案为：. 三、课后练习 1.答案：D 解析：因为，，所以，当且仅当，且，即，时，取等号，所以的最小值为2.故选：D. 2.答案：A 解析：因正数a，b满足， 则， 当且仅当，即，， 所以当时，取得最小值9. 故选：A. 3.答案：C 解析：若，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为8.故选C. 4.答案：D 解析：因为a，b为正实数，所以，即，所以或，所以（当且仅当时等号成立）或（当且仅当时等号成立）.所以ab的取值范围是，故选D. 5.答案：C 解析：因为，所以， 又因为， 当且仅当时取最小值9， 所以的最小值为5. 故选：C. 6.答案：A 解析：因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为-1.故选A. 7.答案：AD 解析：A选项，正数x，y满足，由基本不等式得， 解得，当且仅当时，等号成立，A正确； B选项，，故， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为2，B错误； C选项，由A选项知，，故， 当且仅当时，等号成立，所以，故的最大值为2，C错误； D选项，由于正数x，y满足， 故， 当且仅当，即，时，等号成立，D正确. 故选：AD. 8.答案：ABD 解析：由，可得，当且仅当时等号成立，故A正确； ， ，， ，故B正确； ，当且仅当时等号成立，故C错误；因为，所以，所以，即，当且仅当时，等号成立，故D正确.故选ABD. 9.答案： 解析：因为，所以， 故，当且仅当， 即时取等号，所以的最大值为. 故答案为：. 10.答案： 解析：因为，所以，，所以，当且仅当即，时，等号成立. 学科网（北京）股份有限公司 $$