章末检测卷2 直线和圆的方程（Word练习）-【金榜题名】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（人教版）

章末检测卷(二)　直线和圆的方程 (时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知直线l过点M(1，－2)，倾斜角为30°，则直线l的方程为(　　) A．x＋y－2－1＝0 B．x＋y＋2－1＝0 C．x－y－2－1＝0 D．x－y＋2－1＝0 解析：选C　因为直线l的倾斜角为30°，所以直线l的斜率k＝tan 30°＝.由点斜式方程，得直线l的方程为y＋2＝(x－1)，即x－y－2－1＝0. 2．已知点M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，若直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，则点N的坐标是(　　) A．(－2，－3)　　　 B．(2,1) C．(2,3) D．(－2，－1) 解析：选C　利用排除法，由N在直线x－y＋1＝0上，排除A，B，由kMN＝2，排除D．故选C． 3．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是(　　) A．1或3 B．3或5 C．5或 7 D．3或7 解析：选B　当k＝4时，两直线显然不平行；当k≠4时，由两直线平行，斜率相等，得－＝，解得k＝3或5. 4．设点A为圆C：(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆C的切线，且|PA|＝1，则点P的轨迹方程是(　　) A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x－1)2＋y2＝2 C．y2＝2x D．y2＝－2x 解析：选B　由题意知，圆心C(1,0)到点P的距离为.所以点P在以(1,0)为圆心，为半径的圆上．所以点P的轨迹方程是(x－1)2＋y2＝2.故选B． 5．已知直线x＝2及x＝4与函数y＝log2x图象的交点分别为A，B，与函数y＝lg x图象的交点分别为C，D，则直线AB与CD(　　) A．平行 B．垂直 C．不确定 D．相交 解析：选D　易知A(2,1)，B(4,2)，原点O(0，0)． ∴kOA＝kOB＝.∴直线AB过原点．同理，C(2，lg 2)，D(4，2lg 2)，kOC＝kOD＝≠.∴直线CD过原点，且与AB相交． 6．已知过点(0,1)的直线与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　) A．2 B．2 C．3 D．2 解析：选B　由当圆心到直线距离最大时，弦长最短，易知当圆心与定点G(0,1)的连线与直线AB垂直时，圆心到直线AB的距离取得最大值，即d＝|OG|＝1.此时弦长最短，即≥ ＝⇒|AB|＝2.故选B． 7．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(1,0)，B(0,2)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为(　　) A．4x＋2y＋3＝0 B．2x－4y＋3＝0 C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋3＝0 解析：选B　因为AC＝BC，所以欧拉线为AB的中垂线．又A(1,0)，B(0,2)，故AB的中点为，kAB＝－2.故AB的中垂线方程为y－1＝， 即2x－4y＋3＝0. 8．(2023·新高考Ⅰ卷)若过点与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝(　　 ) A．1 B． C． D． 解析：选B　因为x2＋y2－4x－1＝0， 即2＋y2＝5， 所以圆心C的坐标为，半径r＝. 如图，过点P作圆C的切线，切点为A，B， 因为＝＝2， 所以＝＝. 所以sin∠APC＝＝，cos∠APC＝＝. 则sin∠APB＝sin 2∠APC＝2sin∠APCcos∠APC＝2××＝， cos∠APB＝cos 2∠APC＝cos2∠APC－sin2∠APC＝2－2＝－<0， 即∠APB为钝角． 所以sin α＝sin＝sin∠APB＝. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．与直线2x＋y＋1＝0平行且距离等于的直线方程为(　　) A．2x＋y＝0 B．2x＋y－2＝0 C．2x－y＝0 D．2x＋y＋2＝0 解析：选AD　设与直线2x＋y＋1＝0平行的直线方程为2x＋y＋C＝0，由两平行线间的距离公式，得＝.所以|C－1|＝1.所以C＝0或C＝2.所以所求直线的方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0. 10．若实数x，y满足x2＋y2＋2x＝0，则下列关于的判断正确的是(　　) A．的最大值为 B．的最小值为－ C．的最大值为 D．的最小值为－ 解析：选CD　由x2＋y2＋2x＝0，得(x＋1)2＋y2＝1.此方程表示以(－1,0)为圆心、1为半径的圆.表示圆上的点(x，y)与点(1,0)连线的斜率．设过点P(1,0)的直线为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，则当圆心到直线的距离d＝r时，有＝1，即3k2＝1.解得k＝±.所以∈，即的最大值为，最小值为－. 11．已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　　) A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 解析：选ABD　圆心C(0,0)到直线l的距离d＝ . 若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以d＝＝|r|，则直线l与圆C相切，故A正确； 若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2＜r2，所以d＝＞|r|，则直线l与圆C相离，故B正确； 若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2＞r2，所以d＝＜|r|，则直线l与圆C相交，故C错误； 若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0，即a2＋b2＝r2，所以d＝＝|r|，直线l与圆C相切，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．圆x2＋y2＝1上的点到直线3x＋4y－25＝0的距离的最大值为________． 解析：圆心到直线的距离为＝＝5，再加上圆x2＋y2＝1的半径，得5＋1＝6，即为所求的最大值． 答案：6 13．过点P(3,0)作一直线l，使它被两直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0所截的线段AB以P为中点，则此直线l的方程是______________． 解析：法一：当直线l的斜率不存在时，可得直线l的方程为l：x＝3，不满足题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－3)． 将此方程分别与l1，l2的方程联立， 得， 解得xA＝和xB＝. ∵P(3,0)是线段AB的中点， ∴xA＋xB＝6， 即＋＝6.解得k＝8. 故直线l的方程为y＝8(x－3)， 即8x－y－24＝0. 法二：设直线l1上的点A的坐标为(x1，y1)． ∵P(3,0)是线段AB的中点， 则直线l2上的点B的坐标为(6－x1，－y1)． ∴解得 ∴点A的坐标为. 由两点式可得直线l的方程为8x－y－24＝0. 答案：8x－y－24＝0 14．(2022·全国乙卷)过四点(0,0)，(4,0)，(－1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为____________________． 解析：设点A(0,0)，B(4,0)，C(－1,1)，D(4，2)，圆过其中三点共有四种情况，解题办法是两条中垂线的交点为圆心，圆心到任一点的距离为半径． (1)若圆过A，B，C三点，则圆心在直线x＝2上．设圆心坐标为(2，a)，则4＋a2＝9＋(a－1)2⇒a＝3，r＝＝. 所以圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝13. (2)若圆过A，B，D三点，同(1)设圆心坐标为(2，a)， 则4＋a2＝4＋(a－2)2⇒a＝1，r＝＝. 所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5. (3)若圆过A，C，D三点，则线段AC的中垂线方程为y＝x＋1，线段AD的中垂线方程为y＝－2x＋5. 联立得⇒r＝ ＝. 所以圆的方程为2＋2＝. (4)若圆过B，C，D三点，则线段BD的中垂线方程为y＝1，线段BC中垂线方程为y＝5x－7. 联立得⇒r＝＝. 所以圆的方程为2＋(y－1)2＝. 答案： (x－2)2＋(y－3)2＝13或(x－2)2＋(y－1)2＝5或2＋2＝或2＋(y－1)2＝(写出一个即可) 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知圆x2＋y2－4x＋4y＋8－k＝0关于x－y－2＝0对称的圆是圆C，且圆C与直线3x＋4y－40＝0相切，求实数k的值． 解：圆方程可化为(x－2)2＋(y＋2)2＝k，∴k＞0. 设圆心(2，－2)关于直线x－y－2＝0对称的对称点为(a，b)． 则 解得 ∴圆C方程为x2＋y2＝k. 又圆C与直线3x＋4y－40＝0相切， 所以＝8＝.解得k＝64. 故实数k的值为64. 16．(15分)已知圆C：(x－1)2＋y2＝9内有一点P(2,2)，过点P作直线l交圆C于A，B两点． (1)当l经过圆心C时，求直线l的方程； (2)当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程． 解：(1)由题意知，圆C的圆心为C(1,0)．因为直线l过点P，C，所以直线l的斜率为2. 所以直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0. (2)当弦AB被点P平分时，l⊥PC，所以直线l的方程为y－2＝－ (x－2)，即x＋2y－6＝0. 17．(15分)已知△ABC的顶点A(0,1)，AB边上的中线CD所在直线的方程为2x－2y－1＝0，AC边上的高BH所在直线的方程为y＝0. (1)求△ABC的顶点B，C的坐标； (2)若圆M经过A，B且与直线x－y＋3＝0相切于点P(－3,0)，求圆M的方程． 解：(1)因为AC边上的高BH所在直线的方程为y＝0， 所以AC：x＝0. 又CD：2x－2y－1＝0，所以C点坐标为. 设B(b,0)，则AB的中点D的坐标为. 代入方程2x－2y－1＝0，解得b＝2. 所以B的坐标为(2,0)． (2)由A(0,1)，B(2,0)，可得圆M的弦AB的中垂线方程为4x－2y－3＝0.① 由圆M与x－y＋3＝0相切，切点为(－3,0)，可得圆心所在的直线方程为x＋y＋3＝0.② 联立①②，可得M. 所以半径|AM|＝ ＝. 所以圆M的方程为x2＋y2＋x＋5y－6＝0. 18．(17分)已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝1，直线l的方程为2x－y＝0，点P在直线l上，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别为A，B． (1)若∠APB＝60°，求点P的坐标； (2)求证经过A，P，C(其中点C为圆C的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标． 解：(1)由题意，可得圆C的圆心坐标为(0,4)，|PC|＝2. 设P(a,2a)，则|PC|＝＝2. 解得a＝2或a＝. 所以点P的坐标为(2,4)或. (2)证明：设P(b,2b)．过点A，P，C的圆即是以PC为直径的圆，其方程为x(x－b)＋(y－4)(y－2b)＝0. 整理得x2＋y2－bx－4y－2by＋8b＝0， 即(x2＋y2－4y)－b(x＋2y－8)＝0. 由 解得 或 所以该圆必经过定点(0,4)和. 19．(17分)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的方程是＋＝1(a，b>0)． (1)当a＝1，b＝2时，求曲线C围成的区域的面积； (2)若直线l：x＋y＝1与曲线C交于x轴上方的两点M，N，且OM⊥ON，求点到直线l距离的最小值． 解：(1)当a＝1，b＝2时，曲线C的方程是|x|＋＝1. 所以当x＝0时，y＝±2，当y＝0时，x＝±1， 当x>0，y>0时，方程等价于＋＝1， 当x<0，y>0时，方程等价于＋＝1， 当x<0，y<0时，方程等价于＋＝1， 当x>0，y<0时，方程等价于＋＝1， 所以曲线C围成的区域为菱形，其面积为×2×4＝4. (2)当x>0，y>0时，有＋＝1. 与直线x＋y＝1联立，可得M； 当x<0，y>0时，有＋＝1， 与直线x＋y＝1联立，可得N. 由OM⊥ON，可得kOM·kON＝－1， 即有·＝－1， 可化为＝－＋2. 所以点到直线l的距离d＝＝ ＝. 由题意，可得a－ab<0，a－b<0，ab－b<0，即a<ab<b. 所以0<a<1，b>1. 所以当＝，即b＝2时，点到直线l的距离取得最小值，为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$