精品解析：黑龙江省鹤岗市第一中学2023-2024学年高三下学期模拟考试（第二次）数学试题

鹤岗市第一中学2023-2024学年高三下学期模拟考试（第二次） 数学试题 出题人：高三 数学 组 总分：150分 一、单选题（每题 5 分，共 40 分） 1. 已知，若，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】将代入，然后转化为一元二次不等式求解可得. 【详解】因为，所以，等价于， 解得. 故选：A 2. 两个单位向量与满足，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量夹角公式，以及向量夹角坐标公式，或者根据向量运算法则求解画图即可. 【详解】法一：， 设与的夹角为，则， 又，； 法二：根据，，取， 设， 与夹角为， 从而， 又，； 法三：利用运算法则，设，，，则，如图 ， 则设向量与夹角为，则， ，，， 又，. 故选：A 3. 南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4个为1，3，7，13，则该数列的第13项为（ ） A. 156 B. 157 C. 158 D. 159 【答案】B 【解析】 【分析】根据二阶等差数列的定义求出数列的通项公式，再利用累加法计算即可求解. 【详解】设该二阶等差数列为，则； 由二阶等差数列的定义可知， 所以数列是以为首项，公差的等差数列，即， 所以 将所有上式累加可得，所以； 即该数列的第13项为. 故选：B 4. 某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ） A. 36种 B. 42种 C. 48种 D. 54种 【答案】C 【解析】 【分析】根据元素分析法即可解出． 【详解】因为节目甲必须排在前两位，节目乙必须排在最后一位， 所以该台晚会节目演出顺序的编排方案共有． 故选：C． 5. 某地生产红茶已有多年，选用本地两个不同品种的茶青生产红茶.根据其种植经验，在正常环境下，甲､乙两个品种的茶青每500克的红茶产量（单位：克）分别为，且，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（ ） A. 的数据较更集中 B. C. 甲种茶青每500克的红茶产量超过的概率大于 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的性质和特点求解. 【详解】对于A，Y的密度曲线更尖锐，即数据更集中，正确； 对于B，因为c与 之间的与密度曲线围成的面积 与密度曲线围成的面积 ， ，正确； 对于C， ， 甲种茶青每500克超过 的概率 ，正确； 对于D，由B知： ，错误； 故选：D. 6. 已知函数（）满足，若函数与图象的交点为，，…，，则（ ） A. 0 B. 2022 C. 4044 D. 1011 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数对称性的定义得到函数关于点对称，函数也关于点对称，从而得到函数与的图象的交点关于点对称，即可求解. 【详解】由可得， 则函数图象上的点关于点的对称点也在的图象上. 又由可知，函数的图象也关于点对称. 因此，函数与的图象的交点关于点对称. 不妨设，与关于点对称， 与关于点对称，…，与关于点对称， 则， 所以, 故选：B. 7. 已知不等式对恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意转化为对任意恒成立，设，求得，令，求得，求得函数的单调性与最值，得到恒成立，得到在上单调递增，得到在上恒成立，设，求得，求得函数的单调性与最值，即可求解. 【详解】当时，，而当时不符合题意， 所以，不等式 对恒成立， 即对任意恒成立，即， 设，则，可得， 令，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以在处取得极小值，且极小值为2， 所以恒成立，在上单调递增，则在上恒成立， 即有恒成立，设，可得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以在处取得极大值，且最大值为，此时， 故的取值范围是. 故选：B. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 8. 函数满足，当时都有，且对任意的，不等式恒成立．则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析得到函数为偶函数，在单调递增，则对任意，不等式恒成立，转化为，恒成立，再转化为，得，恒成立，再分两种情况，得到的范围. 【详解】由题得函数为偶函数，在单调递增， 则对任意的，不等式恒成立， 则不等式，恒成立， 则，恒成立， 得，得，恒成立， 则且，或且，恒成立， 即当时，且， 或且， 又当，有，， 所以， 所以实数a的取值范围是. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：关键函数的奇偶性和单调性将所求转化为，恒成立，是解决本题的关键. 二、多选题（每题 6 分，共 18 分） 9. 已知向量，，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 存在，使得 C. 向量是与共线单位向量 D. 在上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据向量关系依次计算判断即可. 【详解】对A，若，则，则，故A错误； 对B，要使，则，则，因为，所以，故存在，使得，故B正确； 对C，因为，所以，又，所以向量是与共线的单位向量，故C正确； 对D，因为为单位向量，则在上的投影向量为，故D正确. 故选：BCD. 10. 如图所示，平行六面体中，，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理表示出，根据模的计算判断A，根据线面平行的判定定理可判断B，根据空间向量的数量积的运算，可判断C，利用空间向量的数量积的运算求得，判断D. 【详解】设，如图， 则，， 故， 对于A，， ，A正确； 对于B，连接，设，连接， 则由平行六面体可知，,， ∴四边形是平行四边形， 所以，∵平面，平面， ∴平面，故B正确﹔ 对于C， ， 故 ，C正确； 对于D，， 故 故不垂直，故D错误， 故选：． 11. 已知等差数列，前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由数列为等差数列，得再由等差数列通项公式和求和公式对选项逐一分析即可. 【详解】对于A,数列为等差数列，， 数列为递减的等差数列， 故A正确， 对于B, 数列为递减的等差数列， 的最大值为， 故B错， 对于C, 由得 的最小值为,即， 故C正确， 对于D, 故D正确. 故选：ACD 三、填空题（每题 5 分，共 15 分） 12. 在平面直角坐标系中，已知点，将线段绕原点顺时针旋转得到线段，则点B的横坐标为____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数定义可知，射线对应的角满足，再利用任意角的关系和两角差的余弦公式即可得点B的横坐标为. 【详解】易知在单位圆上，记终边在射线上的角为，如下图所示： 根据三角函数定义可知，； 绕原点顺时针旋转得到线段，则终边在射线上的角为， 所以点B的横坐标为. 故答案为： 13. 已知的三个内角A，B，C满足，当最大时，动点P使得AP，AB，PB的长依次成等差数列，此时的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件找到和另两个角的恒等关系，再找到最大时的形状，最利用椭圆定义及性质求解． 【详解】由，利用两角和差的余弦公式展开， 整理得，即． 因为，则， 从而，当仅仅当时，等号成立， 因为，所以当最大时，， 则，为等腰三角形， 不妨设． 以AB为轴，AB中垂线为轴建立直角坐标系，则， 由AP，AB，PB的长依次成等差数列，得|AP|＋|PB|＝2|AB|＝8，8＞|AB|， 则点P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为8的椭圆，其中a＝4，c＝2，b＝， 则椭圆的方程为． 设， 则， 根据二次函数的性质可知， 当时，． 所以的最大值为． 故答案为： 14. 函数的单调递增区间是_____. 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，再利用求复合函数单调区间的方法求解即得. 【详解】依题意，由得：或，即函数的定义域是， 函数在上单调递减，在上单调递增，而在上单调递增， 于是得在是单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 故答案为： 四、解答题 15. 已知数列满足，数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数列的递推公式依次写出，即可发现规律； （2）由（1）可写出数列的表达式，根据裂项求和的方法可求出前n项和． 【小问1详解】 由题意知，，，，，，…，，，从而． 【小问2详解】 由（1），所以． 16. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 （1）求角A； （2）若为锐角三角形，且的面积为S，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理和和差公式整理即可得到，再结合，即可得到； （2）根据和三角形面积公式将整理为，再根据锐角三角形和正弦定理得到的范围，最后用换元法和函数单调性求范围即可. 【小问1详解】 ，所以， 所以， 又，所以， 因，所以． 【小问2详解】 由（1）可知，． 则． 因为锐角三角形，所以，整理得． 因为，所以． 令，则函数在上单调递减，在上单调递增，所以，即， 故的取值范围为. 17. 在长方体中，，点P为棱上任意一点. （1）求证：平面⊥平面； （2）若点E为棱上靠近点C的三等分点，求点P在棱上什么位置时，平面与平面夹角的余弦值为. 【答案】（1）证明见解析 （2）点P为棱上靠近点的第一个六等分点 【解析】 【分析】（1）可证面，结合面面垂直的判定定理可得相应证明； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，设，求出平面与平面的法向量后结合夹角的余弦值可求，故可判断的位置. 【小问1详解】 在长方体中，，故四边形为正方形， ，又面ABCD，面ABCD，.， ，且AC，面， 面，面，平面平面. 【小问2详解】 以D为原点，分别以DA，DC，为x，y，z轴建立空间直角坐标系. 设，，，，. 设点，，则，， 设面一个法向量为， 则即，令，，， 设面的一个法向量为， 则即，取，，，. ， ，或， ，， 点P为棱上靠近点的第一个六等分点时， 面与面夹角的余弦值为. 18. 已知函数和有相同的最大值. （1）求a； （2）证明：存在直线y=b，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由导数确定函数的单调性，得最大值，由最大值相等得参数值 ； （2）设，由（1）确定，结合（1）中所得单调性，利用零点存在定理证明函数存在两个零点，得与的图象有两个交点，同理得与也有两个交点，于是为满足题意有两个交点重合，结合可得出三个交战的横坐标之间的关系，从而证得结论成立. 【小问1详解】 定义域是，的定义域是， 因为， 当时，,, ,, 则在上单调递减，在单调递增，不存在最大值， 在上单调递减，在单调递增，也不存在最大值； 同理知当时，在上单调递增，在单调递减， 在上单调递增，在单调递减， 所以有极大值，即的最大值， 有极大值，即的最大值， 所以，即； 【小问2详解】 由（1）知， 由于时，，时，，因此只有才可能满足题意， 记，且， 由（1）得在上单调递增，在单调递减， 且， 所以存在，使得， 设，则， 设，则， 时，，递减，时，，递增， 所以， 所以，是增函数，时，， ， 又，所以存在，使得， 即此时与有两个交点， 其中一个交点在内，另一个交点在内， 同理与也有两个交点， 其中一个交点在内，另一个交点在内， 若与和共有三个不同的交点， 则其中一个交点为两条曲线和的公共点，记其横坐标为， 令，则， 记与的三个交点的横坐标从左到右依次为， 且满足， 且，即， 又，且， 且在和上分别单调，所以，即， 所以为的等比中项， 所以从左到右的三个交点的横坐标成等比数列. 【点睛】本题考查用导数求函数的最值，用导数研究方程的根的问题，属于难题.对于方程的根的问题，难点在于寻找两个方程的根之间的关系，首先第一步由零点存在定理证明存在两个零点（方程有两个根），其次通过函数式关系找到两个方程的根之间的关系，再根据等比数列的性质证明结论成立. 19. 已知椭圆C：，，为椭圆C的左、右顶点，，为左、右焦点，Q为椭圆C上任意一点. （1）求直线和的斜率之积； （2）直线l交椭圆C于点M，N两点（l不过点），直线与直线的斜率分别是，且，直线和直线交于点. ①探究直线l是否过定点，若过定点求出该点坐标，若不过定点请说明理由； ②证明：为定值，并求出该定值. 【答案】（1）； （2）①是，；②证明见解析，. 【解析】 【分析】（1）根据斜率公式结合条件即得； （2）①设点，直线，联立椭圆方程利用韦达定理结合条件表示出，进而即得；②根据斜率公式结合条件可得，即得；或利用韦达定理法，表示出直线方程结合条件即得. 【小问1详解】 设点，则， 设直线和的斜率为，则 ； 【小问2详解】 ①设点，直线， 联立方程得整理得， ， ， 所以， 即， 因为，所以， 化简整理可得，即， 所以直线l过定点； ②解法一；设直线和直线的斜率为， 由（1）得，由①得， 所以，所以； 解法二：设点，直线， 联立方程得整理得， 所以， 直线， 联立两直线方程可得， 所以； ②解法三：：设点，直线， 联立方程得整理得， ， 联立两直线方程可得，因为. 所以 ， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 鹤岗市第一中学2023-2024学年高三下学期模拟考试（第二次） 数学试题 出题人：高三 数学 组 总分：150分 一、单选题（每题 5 分，共 40 分） 1. 已知，若，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. 两个单位向量与满足，则向量与的夹角为（ ） A B. C. D. 3. 南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4个为1，3，7，13，则该数列的第13项为（ ） A. 156 B. 157 C. 158 D. 159 4. 某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ） A. 36种 B. 42种 C. 48种 D. 54种 5. 某地生产红茶已有多年，选用本地两个不同品种茶青生产红茶.根据其种植经验，在正常环境下，甲､乙两个品种的茶青每500克的红茶产量（单位：克）分别为，且，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（ ） A. 数据较更集中 B. C. 甲种茶青每500克的红茶产量超过的概率大于 D. 6. 已知函数（）满足，若函数与图象的交点为，，…，，则（ ） A. 0 B. 2022 C. 4044 D. 1011 7. 已知不等式对恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 函数满足，当时都有，且对任意的，不等式恒成立．则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题 6 分，共 18 分） 9. 已知向量，，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 存在，使得 C. 向量是与共线的单位向量 D. 在上的投影向量为 10. 如图所示，平行六面体中，，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面 C. D. 11. 已知等差数列，前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 三、填空题（每题 5 分，共 15 分） 12. 在平面直角坐标系中，已知点，将线段绕原点顺时针旋转得到线段，则点B的横坐标为____________. 13. 已知的三个内角A，B，C满足，当最大时，动点P使得AP，AB，PB的长依次成等差数列，此时的最大值为______． 14. 函数的单调递增区间是_____. 四、解答题 15. 已知数列满足，数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）求数列前n项和． 16. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 （1）求角A； （2）若为锐角三角形，且面积为S，求的取值范围． 17. 在长方体中，，点P为棱上任意一点. （1）求证：平面⊥平面； （2）若点E为棱上靠近点C的三等分点，求点P在棱上什么位置时，平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知函数和有相同的最大值. （1）求a； （2）证明：存在直线y=b，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列. 19. 已知椭圆C：，，为椭圆C的左、右顶点，，为左、右焦点，Q为椭圆C上任意一点. （1）求直线和的斜率之积； （2）直线l交椭圆C于点M，N两点（l不过点），直线与直线的斜率分别是，且，直线和直线交于点. ①探究直线l是否过定点，若过定点求出该点坐标，若不过定点请说明理由； ②证明：为定值，并求出该定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$