精品解析：2025年广东省中山市纪雅学校中考数学三模试卷

2025年广东省中山市纪雅学校中考数学三模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数，理解倒数的概念是解题的关键．倒数的定义是乘积为1的两个数互为倒数，根据倒数的定义回答即可． 【详解】解：∵ 一个数 的倒数为 ， ∴ 的倒数为 ＝ ， 故选 ：B 2. 是由幻方量化创立的人工智能公司推出的一系列模型．它采用了混合专家架构．比如总参数达亿，但每个输入只激活亿参数，让模型处理复杂任务时又快又灵活．将亿用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示一个较大的数，用科学记数法表示一个数就是把这个数写成的形式，其中，其中的指数与小数点移动的方向与位数有关，本题中首先把亿展开，可得：，用科学记数法表示，需要把小数点向左移动位，所以为． 【详解】解：． 故选：B． 3. 已知直线，一块含角的直角三角板如图所示放置，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、对顶角相等，熟练掌握各知识点是解题关键．如图，作，而，可得，再利用平行线的性质解答即可； 【详解】解：如图，作，而， ∴， ∴，， ，, ， ， 故选：C． 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用完全平方公式，积的乘方法则，同底数幂乘法法则，合并同类项法则逐项判断即可． 【详解】解：与不是同类项，无法合并，则A不符合题意， ，则B符合题意， ，则C不符合题意， ，则D不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了合并同类项、积的乘方、完全平方公式、同底数幂相乘等内容，据此相关运算法则进行逐项分析，即可作答． 5. 实数a，b定义新运算“*”如下：，例如，则方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程没有实数根”是解题的关键．根据运算“”的定义将方程转化为一般式，由根的判别式，即可得出该方程有两个相等的实数根． 【详解】解：由题可得：方程化为， 即， ∵， ∴方程没有实数根， 故选D． 6. 如图，内接于，点是弧的中点，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，根据题意可得，则，据此求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补即可求出答案． 【详解】解：∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7. 若点，，都在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，通过代入纵坐标求横坐标来比较大小，关键是准确计算． 把点、、的纵坐标分别代入反比例函数，求出对应的横坐标，再比较大小． 【详解】解：当时，， 解得； 当时，， 解得； 当时，， 解得； ∵， ∴． 8. 在某校举行的“国学经典诵读”比赛中，七位评委给某班的评分去掉一个最高分和一个最低分后得到的五个有效评分分别为：，，，， (单位：分)，则这五个有效评分的中位数与众数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中位数和众数的定义，根据中位数和众数的定义求解即可． 【详解】解：将数据从小到大排列可得：，，，，， 这五个有效评分的中位数与众数分别是，， 故选：D． 9. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，首先求出P点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式的解集即可． 【详解】解：把代入得：， 解得， 根据图象可得的解集为， 故选：C． 10. 已知二次函数的图象顶点坐标为，与x轴其中一个交点的坐标为，则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 当时，y的值随x值的增大而减小 C. 若，是抛物线上不同的两点，则 D. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查二次函数的性质，结合顶点坐标与，可求出抛物线的解析式，再对所给选项依次进行判断即可解决问题． 【详解】解：设抛物线解析式为， 将代入，得：， 解得， 抛物线解析式为， 图象的开口向下，故A选项错误； 抛物线的对称轴为直线，图象的开口向下， 当时，y的值随x值的增大而减小，故B选项错误； 若，是抛物线上不同的两点， 则，故C选项错误； 令， 则图象的开口向下，顶点坐标为，在x轴上方， 的图象与x轴有两个交点， 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故选项D正确； 故选D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 9的算术平方根是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据一个正数的算术平方根就是其正的平方根即可得出． 【详解】∵， ∴9算术平方根为3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键． 12. 方程组的解为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法求解即可，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴方程组的解为：． 13. 若分式有意义，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式，二次根式有意义的条件，掌握分式，二次根式有意义的条件列式是关键． 根据分式，二次根式有意义的条件列式得，由此即可求解． 【详解】解：， 解得，， 故答案为： ． 14. 如图，点A、B、C在圆O上，，直线，，点O在上．若圆O的半径为3，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形面积的计算，三角形的面积，解直角三角形，过C作于H，由平行线的性质推出，由等腰三角形的性质得到，求出，由，得到，求出的面积，扇形的面积，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：过C作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积， ∵扇形的面积， ∴阴影部分的面积扇形的面积的面积． 故答案为：． 15. 如图，已知四边形是边长为6的正方形，为延长线上一点，以为边，在直线上方作正方形，连接，取的中点，连接．若，则_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质和勾股定理，连接，根据正方形的性质得出，求出，根据勾股定理得出，再根据勾股定理得出． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴ ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先对绝对值、立方根以及0次幂逐项化简求解，然后进行实数的混合运算即可． 【详解】解：原式 【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握绝对值的化简、立方根以及0次幂的求解是解题的关键． 17. 如图，在中，，点D在边上，且． （1）请用无刻度的直尺和圆规过点D作的平行线，交于点E(保留作图痕迹，不写作法)． （2）求线段的长． 【答案】（1） 解：作图如图所示． （2）16 【解析】 【分析】本题考查尺规作图法作出和已知角相等的角，平行线的判定，相似三角形的判定与性质，掌握作图方法是关键． （1）利用同位角相等，两直线平行，在点D处作一个角等于即可； （2）由（1）知，证明，得到，根据，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 18. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图1，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．在如图2的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为． （1）求点到墙面的距离； （2）当太阳光线与地面的夹角为时，量得影长为米，求遮阳篷靠墙端离地高的长．（结果精确到米；参考数据：，，） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． （1）作，在中，根据三角函数，求出的长，即可求解， （2）作，依次求出，,的长，在中，根据三角函数，求出的长，即可求解， 【小问1详解】 解：过点A作，垂足为F， 在中，（米）， ∴（米）， ∴点A到墙面的距离约为米； 【小问2详解】 解：过点A作，垂足为G， 由题意得：，（米）， ∵（米）， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 在中， ∴（米）， ∴（米）． 19. 某企业为开启网络直播带货的新篇章，计划购买A，B两种型号直播设备．已知A型设备价格是B型设备价格的倍，用4800元购买A型设备的数量比用3000元购买B型设备的数量多5台． （1）求A，B型设备单价分别是多少元； （2）该企业计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半，设购买A型设备a台，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出最少购买费用． 【答案】（1）A型设备的单价为240元，B型设备的单价为200元； （2），最小购买费用为12800元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设B型设备的单价为x元，A型设备的单价为元，根据用4800元购买A型设备的数量比用3000元购买B型设备的数量多5台列出方程求解即可； （2）根据A型设备数量不少于B型设备数量的一半列出不等式求出a的取值范围，再列出w关于a的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设B型设备的单价为x元，A型设备的单价为元； 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：A型设备的单价为240元，B型设备的单价为200元； 【小问2详解】 解：∵，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半， ∴， ∴， 由题意得，， ∵， ∴w随a增大而增大， ∴当时，w有最小值，最小值为， ∴，最小购买费用为12800元． 20. 习总书记说：“青山绿水就是金山银山”，环境保护日益受到重视．某校为了培养学生的环保意识，结合社团活动开设了一系列环保课程．根据对不同环保课程的报名数据绘制了下面两幅不完整的统计图． （1）该校报名参与环保课程的学生一共有 名，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，请求出“绿色出行”对应的圆心角度数； （3）为了进一步提升学生水资源保护的意识，学校从参与“水资源保护”课程的同学中随机抽选了名同学（两男两女）参加知识竞赛，若要把这名同学随机分成甲，乙两个小组，每组人，请用列表法或画树状图的方式求出甲小组中恰好是一男一女的概率． 【答案】（1）， 补全条形统计图如下： （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． （1）用选择“水资源保护”的人数除以扇形统计图中“水资源保护”的百分比可得本次调查的学生人数；分别求出选择“节能减排”和“植树造林”的人数，补全条形统计图即可； （2）用乘以“绿色出行”的人数所占的百分比，即可得出答案； （3）列表可得出所有等可能的结果数以及水资源保护小达人中恰好是一男一女的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：该校报名参与环保课程的学生一共有（名）， 故答案为：， 参与“节能减排”课程的人数：（名）， 参与“植树造林”课程的人数：（名）； 【小问2详解】 “绿色出行”对应的圆心角度数为； 【小问3详解】 列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2） 男2 （男2，男1） （男2，女1） （男2，女2） 女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，女2） 女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1） 共有种等可能的结果，其中参与“水资源保护”课程中恰好是一男一女的结果有种，参与“水资源保护”课程中恰好是一男一女的概率为． 21. 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“比中项妙点”． 如图1，中，点D是边上一点，连接，若，则称点D是中边上的“比中项妙点”． （1）①在中，，于点D，则点D ______填“是”或“不是”中边上的“比中项妙点”； ②如图2，的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出边上的一个“比中项妙点”点的中点除外 （2）如图3，平行四边形中，点E为边上一点，连接交对角线于点F，点F恰好是中边上的“比中项妙点”． ①求证：点F也是中边上的“比中项妙点”； ②连接并延长交于点G，若点F是中边上的“比中项妙点”，且，求的值． 【答案】（1）①是； ②解：如图2中，点M即为所求； （2） ①证明：∵点F恰好是中边上的“比中项妙点”， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F也是中边上的“比中项妙点”； ② 【解析】 【分析】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质． （1）①证明，推出可得结论； ②取格点J，连接交于点M，点M即为所求，此时，则，得到推出； （2）①先根据点F恰好是中边上的“比中项妙点”，推出，再根据平行四边形的性质得，则，进而推出即可； ②首先证明，再证明即可． 【小问1详解】 ①解：如图， 在中，，于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点D是中边上的“比中项妙点”． 故答案为：是； ②略 【小问2详解】 ①略 ②解：如图3中， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点F是中边上的“比中项妙点”， ∴点F是中边上的“比中项妙点”（同①证明）， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 抛物线C1：交y轴于点M，且与抛物线C2关于y轴对称． （1）求点M的坐标及抛物线C2的解析式； （2）已知抛物线C1经过点(m，n)，将点(m，n)向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的点恰好落在抛物线C2上，求m，n的值； （3）如图，点A在抛物线C1上横坐标为．点B与点A关于y轴对称，且过点B的直线l1与抛物线C2有且仅有一个交点，平移直线l1与抛物线C2交于C，D两点，直线CM，DM与x轴分别交于H，E两点，设点H横坐标为h，点E横坐标为e，试求h和e之间的等量关系式． 【答案】（1）M（0，5）；； （2）m=-2，n=-3； （3）e+h=0 【解析】 【分析】（1）将x=0代入求出点M的坐标，将（-x，y）代入求出C2的函数关系式； （2）先求出点(m，n)平移后的点的坐标，再分别将这两点代入两个二次函数关系中，再求出m，n的值； （3）设直线l1的函数关系式为y=kx+b，求出它与二次函数只有一个交点时的关系式，再设平移直线l1后的函数关系式为：y=6x-31+t，再与二次函数联立方程组，运用根与系数关系解决． 【小问1详解】 解：在函数中，令x=0，得y=5， ∴M（0，5）， ∵抛物线C1：与抛物线C2关于y轴对称． ∴将（-x，y）代入得：， ∴抛物线C2的解析式为：； 【小问2详解】 ∵将点(m，n)向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到点的坐标为（m+3，n+3）,且点(m，n)在C1上，（m+3，n+3）在C2上， ∴， ∴， 解得：m=-2，n=4-12+5=-3， ∴m=-2，n=-3； 【小问3详解】 ∵点A在抛物线C1上横坐标为， ∴将x=-6代入得：y=5， ∴A（-6，5）， ∵点B与点A关于y轴对称， ∴B（6，5）， 设直线l1的函数关系式为y=kx+b，将B（6，5）代入得， 6k+b=5,得：b=5-6k， ∴直线l1的函数关系式为y=kx+5-6k， ∵直线l1与抛物线C2有且仅有一个交点， ∴即中△=0， ∴ 解得：k=6， ∴直线l1的函数关系式为y=6x-31， 设平移直线l1后的函数关系式为：y=6x-31+t， ∵C，D两点在直线l1上， ∴设， ∵直线CH过M（0，5）， ∴设直线CH函数关系式为y=px+5，将代入得： ， ∵直线CH过M（0，5）， ∴设直线MD函数关系式为y=qx+5，将代入得： ， ∵平移直线l1与抛物线C2交于C，D两点， ∴，整理得：， ∴， ∴p+q=， 将代入得： p+q=， ∴直线CH与直线DM关于y轴对称， ∴点H与点E关于y轴对称， ∴e+h=0． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合运用，涉及到一次函数的性质、二次函数的解析式和性质、一次函数的平移及一次函数与二次函数的交点等知识点，其中要注意用待定系数法来确定函数关系式． 23. 在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动 【操作判断】 操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图②，在边上选一点E，沿折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕； 操作三：如图③，在边上选一点F，沿折叠，使边与边重合，得到折痕把正方形纸片展平，得图④，折痕与的交点分别为G、H． 根据以上操作，得________． 【探究证明】 （1）如图⑤，连接，试判断的形状并证明； （2）如图⑥，连接，过点G作的垂线，分别交于点P、Q、M．求证：． 【深入研究】 若，请求出的值（用含k的代数式表示）． 【答案】[操作判断]45； [探究证明]（1）如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形； （2）如图， 由翻折得，， ∵四边形是正方形， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； [深入研究] 【解析】 【分析】[操作判断] 根据正方形的性质以及折叠的性质即可求解； [探究证明]（1）先证明，再证明，则，继而得到，因此，，即是等腰直角三角形；（2）由翻折得，，由，得到，故，因此，而由，得到，则，因此； [深入研究] 连接，先证明，则，由，设，则，而， 则，可得，，，那么，故． 【详解】[操作判断] 解：如图， 由题意得，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：45； [探究证明] 解：（1）略 （2）略 [深入研究] 解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵是对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴, ∵， ∴设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形背景下的折叠问题，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定，解直角三角形，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年广东省中山市纪雅学校中考数学三模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 是由幻方量化创立的人工智能公司推出的一系列模型．它采用了混合专家架构．比如总参数达亿，但每个输入只激活亿参数，让模型处理复杂任务时又快又灵活．将亿用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线，一块含角的直角三角板如图所示放置，，则（　　） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 实数a，b定义新运算“*”如下：，例如，则方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 6. 如图，内接于，点是弧的中点，，则（　　） A. B. C. D. 7. 若点，，都在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 在某校举行的“国学经典诵读”比赛中，七位评委给某班的评分去掉一个最高分和一个最低分后得到的五个有效评分分别为：，，，， (单位：分)，则这五个有效评分的中位数与众数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象顶点坐标为，与x轴其中一个交点的坐标为，则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 当时，y的值随x值的增大而减小 C. 若，是抛物线上不同的两点，则 D. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 9的算术平方根是_____． 12. 方程组的解为___________． 13. 若分式有意义，则的取值范围是___________． 14. 如图，点A、B、C在圆O上，，直线，，点O在上．若圆O的半径为3，则图中阴影部分的面积是______． 15. 如图，已知四边形是边长为6的正方形，为延长线上一点，以为边，在直线上方作正方形，连接，取的中点，连接．若，则_____ ． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 17. 如图，在中，，点D在边上，且． （1）请用无刻度的直尺和圆规过点D作的平行线，交于点E(保留作图痕迹，不写作法)． （2）求线段的长． 18. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图1，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．在如图2的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为． （1）求点到墙面的距离； （2）当太阳光线与地面的夹角为时，量得影长为米，求遮阳篷靠墙端离地高的长．（结果精确到米；参考数据：，，） 19. 某企业为开启网络直播带货的新篇章，计划购买A，B两种型号直播设备．已知A型设备价格是B型设备价格的倍，用4800元购买A型设备的数量比用3000元购买B型设备的数量多5台． （1）求A，B型设备单价分别是多少元； （2）该企业计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半，设购买A型设备a台，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出最少购买费用． 20. 习总书记说：“青山绿水就是金山银山”，环境保护日益受到重视．某校为了培养学生的环保意识，结合社团活动开设了一系列环保课程．根据对不同环保课程的报名数据绘制了下面两幅不完整的统计图． （1）该校报名参与环保课程的学生一共有 名，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，请求出“绿色出行”对应的圆心角度数； （3）为了进一步提升学生水资源保护的意识，学校从参与“水资源保护”课程的同学中随机抽选了名同学（两男两女）参加知识竞赛，若要把这名同学随机分成甲，乙两个小组，每组人，请用列表法或画树状图的方式求出甲小组中恰好是一男一女的概率． 21. 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“比中项妙点”． 如图1，中，点D是边上一点，连接，若，则称点D是中边上的“比中项妙点”． （1）①在中，，于点D，则点D ______填“是”或“不是”中边上的“比中项妙点”； ②如图2，的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出边上的一个“比中项妙点”点的中点除外 （2）如图3，平行四边形中，点E为边上一点，连接交对角线于点F，点F恰好是中边上的“比中项妙点”． ①求证：点F也是中边上的“比中项妙点”； ②连接并延长交于点G，若点F是中边上的“比中项妙点”，且，求的值． 22. 抛物线C1：交y轴于点M，且与抛物线C2关于y轴对称． （1）求点M的坐标及抛物线C2的解析式； （2）已知抛物线C1经过点(m，n)，将点(m，n)向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的点恰好落在抛物线C2上，求m，n的值； （3）如图，点A在抛物线C1上横坐标为．点B与点A关于y轴对称，且过点B的直线l1与抛物线C2有且仅有一个交点，平移直线l1与抛物线C2交于C，D两点，直线CM，DM与x轴分别交于H，E两点，设点H横坐标为h，点E横坐标为e，试求h和e之间的等量关系式． 23. 在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动 【操作判断】 操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图②，在边上选一点E，沿折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕； 操作三：如图③，在边上选一点F，沿折叠，使边与边重合，得到折痕把正方形纸片展平，得图④，折痕与的交点分别为G、H． 根据以上操作，得________． 【探究证明】 （1）如图⑤，连接，试判断的形状并证明； （2）如图⑥，连接，过点G作的垂线，分别交于点P、Q、M．求证：． 【深入研究】 若，请求出的值（用含k的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $