第5章 一次函数（复习讲义）数学苏科版2024八年级上册

第五章 一次函数（复习讲义） 1. 知道函数的概念及其三种表示方法； 2. 理解正比例函数、一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式；会利用待定系数法确定一次函数的表达式；知道一次函数的图象是一条直线，会选取两个适当的点画一次函数的图象；能根据一次函数的图象和函数表达式探索并理解一次函数的性质；进一步理解正比例函数和一次函数的关系； 3. 能运用一次函数解决简单的实际问题；通过经历“问题情境-建立模型-求解验证”的数学活动过程；初步学会从数学的角度发现问题，提出问题，综合运用数学知识，解决简单实际问题，增强应用意识，提高实践能力； 4. 理解一次函数与二元一次方程（组）的关系；能够根据一次函数的图象求解二元一次方程组的近似解；能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式；在运用二元一次方程组的图象解法的过程中，体会其中隐含的数形结合思想。 知识点 重点归纳 常见易错点 常量与变量 常量：在一个变化过程中，数值保持不变的量叫作常量。 根据问题分析 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫作变量。 函数的概念和表示方法 函数的概念： 一个变化过程中有两个变量，x和y，如果对于x的每一个确定的值y都有唯一的值与它对应，那么称y是x的函数，x是自变量。自变量根据实际问题的需要，一般都有自己的取值范围。 简单说就是一个x只能求出一个y； 方法1：表达式法 方法2：表格法 方法3：图象法 函数的表示方法各有优缺点，根据问题选择合适的方法。 函数的图象 1. 函数图象：把自变量的取值作为横坐标，对应的函数值作为纵坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点，这些点组成的图形叫做函数图象。 2. 函数图象上的点与函数表达式的关系： 函数图象上的点的坐标一定满足函数表达式。满足函数表达式的有序实数对表示的点一定在该函数图象上。 函数图象的概念，知道即可，不需要过深理解。 正比例函数 一次函数的概念 1. 正比例函数： 一般地，形如（）的函数，叫做正比例函数。 正比例函数是一次函数的特殊情况。 2. 一次函数： 一般地，形如（）的函数，叫做一次函数。 待定系数法 1.先设含有未知系数的函数表达式，再根据条件求出这些未知系数的值，从而确定函数表达式的方法叫做待定系数法。 该方法非常重要 2.用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： （1）设表达式； （2）根据已知条件得到的方程组； （3）解方程组，求出的值； （4）写出函数的表达式。 该方法也适用于以后学的其他函数，只不过设的函数形式不同。 画函数图象的方法 列表描点连线 列表主要找与坐标轴的交点或其他特殊点 正比例函数图象和性质 k的符号 函数图象 图象的位置 性质 的正负决定了函数图象的走向趋势 k>0 经过第一、三象限 y随x增大而增大 k <0 经过第二、四象限 y随x增大而减小 一次函数的图象和性质 函数 图象 经过象限 函数性质 的正负决定了函数图象的变化趋势； 的正负决定了函数图象与纵轴的交点位置。 y=kx+b k>0 b>0 一、二、三 y随x增大而增大 k>0 b<0 一、三、四 y=kx+b k<0 b>0 一、二、四 y随x增大而减小 k<0 b<0 二、三、四 一次函数与三个“一次”的关系 1．一次函数与一元一次方程的关系 直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标就是对应方程kx+b=0的解． 注意坐标与解的写法不同 2．一次函数与一元一次不等式的关系 一元一次不等式的解集从的图象上可以看出是图象位于横轴上方的部分，所以其解集是；的解集是。 从函数角度和不等式角度充分理解二者关系非常重要，利用数形结合和分类讨论思想是解决此类问题的关键。 3．一次函数与二元一次方程组的关系 从数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值； 从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标： 一般地，一次函数与一次函数交点的坐标就是对应方程组的解。 牢记：交点的坐标“就是”对应方程组的解，只是它们写的格式不同。 注意三点： 1.二者写得格式不同： 交点坐标： 方程组的解： 2.一定要注意对应二字； 3.二者数值上相等。 一次函数 实际应用 用一次函数解决实际问题的一般步骤为： （1）设定实际问题中的自变量与因变量； （2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式； （3）确定自变量的取值范围； （4）利用函数性质解决问题； （5）检验所求解是否符合实际意义； （6）答案． 根据题目中的问题判断函数类型后再设函数关系式 题型一 函数的概念 【例1】下列图象中，表示是的函数的是（   ） A．B．C． D． 【变式1-1】下列各图中，变量y是变量x的函数是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】下列图象中，不能表示y是x的函数的是（   ） A．B．C． D． 题型二 函数的表示方法 【例2】“乡村振兴”是党的十九大作出的重大决策部署．为了推动农业耕种现代化，甲市有某型号智能农业耕种机器12台，现决定支援给A村和B村．已知从甲市调运一台机器到A村、B村的运费分别为400元和600元．设甲市运往A村的机器为x台，则总运费y关于x的关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】某文具店老板购进一批荧光笔，销量（支）与销售额（元）的关系如下表所示： 销量支 1 2 3 4 5 … 销售额元 3 6 9 12 15 … A． B． C． D． 【变式2-2】下面四幅图象均表示变量之间的关系．按图象从左到右的顺序，选择与之相近的情境，正确的顺序是（   ） 篮球运动员投篮时，投出去的篮球高度与时间的关系 小明妈妈去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果数量的关系 一面在升降台上冉冉上升的旗子，它的离地高度与时间的关系 周末，小明从家骑行到图书馆，看了一段时间书后，按原速度原路返回，小明离家的距离与时间的关系 A． B． C． D． 题型三 函数自变量的取值范围 【例3】已知等腰三角形周长为16，则底边长y关于腰长x的函数解析式为 （x为自变量）；自变量的取值范围 ； 【变式3-1】汽车开始行驶时，油箱中有油40升，如果每小时耗油6升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间x（小时）的关系式为 ． 【变式3-2】在函数中，自变量x的取值范围是 ． 题型四 根据一次函数的概念求参数 【例4】若是关于x的一次函数，则k的值为 ． 【变式4-1】如果是一次函数，那么m的值是 ． 【变式4-2】若函数是一次函数，则k的值是 ． 题型五 根据一次函数的解析式判断图象经过的象限 【例5】一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【变式5-1】一次函数的图象所经过的象限是（ ） A．一、二、三 B．二、三、四 C．一、二、四 D．一、三、四 【变式5-2】一次函数的自变量和函数值的部分对应值如表所示： 则这个函数的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型六 一次函数的增减性问题 【例6】若一次函数的函数值随的增大而减小，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知点，在一次函数的图象上，当时，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】若点，在一次函数（m是常数）的图象上，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 题型七 一次函数图象平移问题 【例7】把直线向右平移1个单位长度后，其直线的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】在平面直角坐标系中，把直线沿轴向下平移2个单位长度后，得到直线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向下平移2个单位后，得到一个正比例函数图象，则该一次函数图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型八 一次函数的性质综合判断问题 【例8】对于一次函数的相关性质，下列描述错误的是（    ） A．函数图象经过第一、二、四象限 B．函数图象与x轴的交点坐标为 C．y随x的增大而减小 D．函数图象与坐标轴围成的三角形面积为 【变式8-1】关于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．图象与轴的交点是 B．图象与坐标轴形成的三角形的面积为36 C．图象不经过第二象限 D．点和都在该函数图象上，若，则 【变式8-2】对于函数，下列结论正确的是（   ） A．它的图象必经过点 B．它的图象经过第一、二、三象限 C．当时， D．y的值随x的增大而增大 题型九 一次函数与一次方程关系问题 【例9】如图，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，若，，则关于x的方程的解为 ． 【变式9-1】一次函数（为常数，）的图象如图所示，则关于的方程的解是 ． 【变式9-2】已知一次函数的图象经过点和点，那么关于x的方程的解为 ． 题型十 一次函数与一次不等式的关系问题 【例10】如图，一次函数的图象经过，则当时，x的取值范围是 ． 【变式10-1】如图，一次函数与（k，b是不为0的常数）的图象交于点，则关于的不等式组的解集是 ． 【变式10-2】如图，一次函数和与x轴的交点分别为和．则关于x的不等式组的解集是 ． 题型十一 一次函数与方程组的关系问题 【例11】如图，一次函数为常数且与正比例函数为常数且的图象交于点，则关于的方程的解是 ． 【变式11-1】如图，直线（k是常数，且）与直线相交于点P，已知点P的纵坐标为1，则关于x，y的方程组的解为 ． 【变式11-2】如图，直线：与直线：交于点，则关于，的方程组的解是 题型十二 一次函数与面积问题 【例12】如图，直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，两条直线相交于点． (1)求p的值，并且直接写出关于x，y的二元一次方程组的解； (2)判断直线是否也过点M？并说明理由． (3)若直线与x轴交于点，求直线的关系式和的面积． 【变式12-1】已知一次函数的图象经过，两点，如图所示． (1)求这个函数的表达式； (2)求这条直线与坐标轴围成的的面积． 【变式12-2】在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点C，直线与y轴交于点A，与直线交于点B，设点B的横坐标为． (1)如图，若． ①求直线、直线与y轴所围成的的面积； ②根据图象直接写出的解集． (2)若，求整数k的值． 题型十三 一次函数与实际应用问题之利润问题 【例13】年月，某次大型羽毛球比赛在荆州圆满落幕，荆州作为“羽毛球之乡”已培养出谌龙、王祉怡等多位世界冠军，各中小学也在大力发展羽毛球运动，某体育用品商店抓住商机，计划购进，两种型号羽毛球拍共副进行销售，其中购进型号球拍不超过副，它们的进价和售价如表所示．已知购进副型球拍和副型球拍共需花费元，购进副型球拍和副型球拍共需花费元． 商品 进价 售价 型球拍元副 型球拍元副 (1)求，的值； (2)该商店根据以往的销售经验，决定购进型球拍数不少于型球拍数的一半．设购进型球拍副，售完这批体育用品共获利元． 求关于的函数解析式，并写出的取值范围； 如何购货才能使这批体育用品全部售完时，获利最大？试求出最大利润． 【变式13-1】剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息浓厚．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进3套甲种剪纸和2套乙种剪纸共需230元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元． (1)求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元？ (2)设购进甲种剪纸装饰x套（），购买甲、乙两种剪纸装饰共花费y元，求y与x之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，若甲种剪纸的售价为65元/套，乙种剪纸的售价为50元/套．该商家计划购进甲种剪纸不超过40套，要使这批剪纸装饰全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 【变式13-2】为了让学生体验农耕劳动，某校计划购买A，B两种型号的劳动工具，已知购买20个A型劳动工具，40个B型劳动工具共需要1100元；B型劳动工具的单价比A型劳动工具多5元． (1)分别求A、B两种型号劳动工具的单价； (2)在实际购买时，A型劳动工具的价格不变；B型劳动工具享受优惠；若超过40个，则超出部分可享8折．设购买x（）个B型劳动工具需要花费y元，求y与x之间的函数关系式； (3)在（2）的前提下，若该校计划购买A、B两种型号的劳动工具共100个，且B型劳动工具不少于A型劳动工具的1.2倍．请你求出最省钱的购买方案及所需费用． 题型十四 一次函数与实际应用问题之行程问题 【例14】快、慢两车分别从相距180千米的甲、乙两地同时出发，沿同一路线匀速行驶，相向而行，快车到达乙地停留一段时间后，按原路原速返回甲地．慢车到达甲地比快车到达甲地早小时，慢车速度是快车速度的一半，快、慢两车到达甲地后停止行驶，两车距各自出发地的路程（千米）与所用时间（小时）的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： (1)请直接写出快、慢两车的速度； (2)求快车返回过程中（千米）与（小时）的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (3)两车出发后经过多长时间相距90千米的路程？直接写出答案． 【变式14-1】某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午8：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴车从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学．上午9：00，军车在离营地的地方追上大巴车并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和学校师生同时到达基地．军车和大巴车离营地的路程s（单位：）与所用时间t（单位：）之间的函数关系如图2所示． (1)军车的速度为______，图2中的值为______． (2)求大巴车离营地的路程s与所用时间t之间的函数解析式．（并写出t的取值范围） (3)部队官兵在仓库领取研学物资期间，求大巴车离仓库的路程（单位：）的取值范围． 【变式14-2】随着人工智能的发展，智能机器人警察已经陆续出现．图1是机器人警官安安和麦克，他们从街头A处出发，准备前往相距450米的B处（A，B在同一直线上）巡逻，安安警官比麦克警官先出发，且速度保持不变，麦克警官出发一段时间后将速度提高到原来的2倍、已知安安警官、麦克警官行走的路程（米），（米）与安安警官行走的时间（秒）之间的函数关系图象如图2所示． (1)如图2，折线①表示___________警官行走的路程与时间的函数图象（填“安安”或“表克”）； (2)求麦克警官提速后的速度，并求m，n的值； (3)求折线①中线段所在直线的函数解析式； (4)请直接写出安安警官和麦克警官之间的距离不超过120米的时长． 题型十五 一次函数与几何综合问题 【例15】如图，直线l与x轴、y轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，，点为y轴上一个动点． (1)求点C坐标； (2)求直线的函数表达式； (3)当与面积相等时，求实数a的值． 【变式15-1】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点，，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． (1)的长为______，点D的坐标是______． (2)求点C的坐标； (3)点M是y轴上一动点，若，求出点M的坐标； (4)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式15-2】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在轴正半轴上的点C处，直线交于点E． (1)求的长； (2)求直线的解析式； (3)y轴上是否存在一点P，使得，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 基础巩固通关测 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列图形中的曲线不能表示是的函数的是（　　） A．B．C． D． 2．下列四个选项中，说法不正确的是（    ） A．在匀速运动公式中，s是t的函数，v是常量 B．入射光线照射到平面镜上，如果入射角的角度为，反射角的角度为，那么是的函数 C．在圆的周长公式中，2是常量，，r，C均为变量 D．一种金属，其质量是体积的函数 3．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，t表示时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（    ） A．B．C． D． 4．下列函数中，是的正比例函数的是（　　） A． B． C． D． 5．若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 6．点在正比例函数的图象上，则k的值为（   ） A． B．15 C． D． 7．对于一次函数的相关性质，下列描述错误的是（    ） A．函数图象经过第一、二、四象限 B．函数图象与x轴的交点坐标为 C．y随x的增大而减小 D．函数图象与坐标轴围成的三角形面积为 8．已知点和点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D． 9．在平面直角坐标系内，一次函数（为常数）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（   ） A．当时， B．方程的解是 C．当时， D．不等式的解集是 10．在测浮力的实验中，小明将一块受重力为的长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里，弹簧测力计的示数拉力与石块下降的高度之间的关系如图所示，温馨提示：当石块位于水面上方时，；当石块入水后，，则以下说法正确的是（   ） A．当石块下降时，此时石块在水里 B．当时，拉力与之间的函数表达式为 C．当时，此时石块完全浸入水中 D．当时，此时石块所受浮力不变 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11．正比例函数的图象经过点，则 ． 12．在平面直角坐标系中，直线与坐标轴围成的三角形的面积是 ． 13．已知直线l与直线平行，且经过点，直线l的函数表达式为 ． 14．点都在函数的图象上，若，则 （填“<”“>”或“=”） 15．点，在一次函数的图象上，当时，，则的取值范围是 ． 16．若直线经过点，则 （填“”或“”）． 17．已知方程3x＋9＝0的解是，则函数y＝3x＋9与x轴的交点坐标是 ． 18．如图，已知一次函数的图象分别与轴交于两点，若，则关于的不等式的解集为 ． 第18题 第19题 19．如图，若一次函数的图象经过两点，则不等式的解集为 ． 20．元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载了一个劣马先行的问题，其中良马与劣马行走路程单位：里关于行走时间（单位：日）的函数图象如图所示，则良马的速度比劣马的速度快 里/日． 三、解答题（本大题共5小题，共40分） 21．（本题8分）已知一次函数的图象过点与 (1)求这个一次函数的解析式； (2)若是该函数图象上的两个点，试判断与的数量关系，并说明理由． 22．（本题8分）如图，已知，，点C在y轴正半轴上，． (1)求点C的坐标． (2)求直线的解析式． 23．（本题8分）一次函数和的图象交于点C，如图所示，且，． (1)不等式的解集是______； (2)若不等式的解集是． ①求点C的坐标； ②写出不等式组时x的取值范围． 24．（本题8分）如图，直线l与x轴、y轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，，点为y轴上一个动点． (1)求点C坐标； (2)求直线的函数表达式； (3)当与面积相等时，求实数a的值． 25．（本题8分）电影《哪吒之魔童闹海》以传统神话故事为蓝本，在哪吒这一角色身上，淋漓尽致地展现了中国人勇敢无畏的精神力量，这也是中国传统文化旺盛生命力的缩影．同时，该影片还带动了周边文创商品的热销，某商家现购进哪吒、敖丙两种摆件用于销售，已知购进一个哪吒摆件比购进一个敖丙摆件多5元，购进3个哪吒摆件和2个敖丙摆件共需90元． (1)求这两种摆件购进时的单价分别为多少元？ (2)由于销售火爆，商家计划购进这两种摆件共100个，设哪吒摆件购进x个，购进两种摆件共花费y元，求y与x之间的函数关系式． (3)在（2）的条件下，若哪吒摆件的售价为30元/个，敖丙摆件的售价为20元/个，该商家计划购进这两种摆件所花的总费用不超过1900元，且敖丙摆件购进的个数不超过哪吒摆件个数的，要使这两种摆件全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 能力提升进阶练 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列图象中，不能表示是的函数的是（    ） A．B．C． D． 2．在中，它的底边是，底边上的高是，则三角形面积，当为定值时，在此式中（    ） A．，是变量，，是常量 B．，，是变量，是常量 C．，是变量，，是常量 D．是变量，，，是常量 3．小明将一根长为20cm的铁丝制作成一个长方形，则这个长方形的长（）与宽（）之间的数量关系为（　　） A． B． C． D． 4．已知一次函数，下列结论错误的是（　　） A．函数图象经过第一、二、四象限 B．函数图象经过点 C．函数图象可由直线向下平移个单位长度得到 D．若点，在此函数图象上，则 5．直线经过第一、二、四象限，则直线的图象只能是图中的（　　） A．B． C． D． 6．设，关于x的一次函数，当时y的最大值是（   ） A． B． C．k D． 7．如图，一次函数（为常数，且）与正比例函数（k为常数，且）的图象交于点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 第7题 第8题 8．一辆轿车和一辆货车同时从甲地出发驶往乙地，轿车到达乙地后立即以另一速度返回甲地，货车到达乙地后停止，货车、轿车离甲地的距离（千米）与轿车所用时间（小时）的关系如图所示，则下列结论错误的是（    ）． A．甲、乙两地相距90千米 B．轿车返回的速度为每小时90千米 C．两车在出发小时后相遇 D．货车到达乙地时，轿车离乙地18千米 9．如图，直线分别与x轴、y轴交于点A，B，点C在线段上，线段沿翻折，点O落在边上的点D处，以下结论：①；②直线的函数表达式为；③点D的坐标为．其中正确的结论是（  ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 第9题 第10题 10．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，过点作轴，交直线于点；过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点；过点作，交轴于点；…；按此作法进行下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11．请你写出一个符合下面两个条件的函数：（1）函数图象是一条经过原点的直线；（2）因变量y随自变量x的增大而减小．这个函数的表达式可以是 ． 12．一次函数的图象经过点，则该函数经过第 象限． 13．已知与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C，D分别是，中点，点P为上动点，当周长最小时，点P的坐标为 ． 第13题 第15题 14．在平面直角坐标系中，点是函数的图象上的一点，将函数的图象向左平移4个单位长度，平移后，点的对应点为点，若点，关于轴对称，则点的坐标为 ． 15．一次函数与的图象如图所示，则下列结论：①；②；③的值每增加，的值增加；④．其中正确的是 ． 16．已知点和点是图象上的两个点，则与 的大小关系 ． 17．一次函数中变量与的部分对应值如下表所示． ．．． ．．． ．．． ．．． 给出下面四个结论： ①； ②一次函数的图象不经过第三象限； ③关于的方程的解是； ④关于的不等式的解集是； 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 18．如图，在一次自行车越野赛中，甲、乙两名选手所走的路程（千米）随时间（分钟）变化的图象（全程）分别用图中的实线（）与虚线（）表示，那么，在本次比赛过程中，乙领先甲时的的取值范围是 ． 第18题 第19题 19．如图，在平面直角坐标系中，点 在轴正半轴上，点在轴正半轴上，，若直线与线段有公共点，则 的取值范围是 ． 20．如图，已知一次函数的图象与y轴，x轴分别交于点A、B． （1）若点在函数图象上，则 ； （2）若，则点B的坐标为 ； （3）一次函数的图象与正比例函数的图象交于点．点P在x轴上，当为直角三角形时，点P的坐标为 ． 三、解答题（本大题共5小题，共40分） 21．（本题8分）已知函数和． (1)在同一个平面直角坐标系中画出这两个函数的图象； (2)根据图象，写出它们的交点坐标：_______； (3)求两直线与轴围成的三角形面积．_______ 22．（本题8分）已知一次函数的图象过，两点，且与轴交于点． (1)求此一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)已知点在轴上，若使的值最小，求点的坐标． 23．（本题8分）如图1，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯．甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度（单位：）与下行时间（单位：）之间具有函数关系，乙离一楼地面的高度（单位：）与下行时间（单位：）的函数关系如图2所示． (1)求关于的函数解析式 (2)请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面． (3)在到达一楼地面之前是否存在某一时刻两人竖直高度相差1米，若存在求出此时的下行时间，若不存在请说明理由． 24．（本题8分）某环保品牌主营有机棉T恤（T恤）和再生涤纶短裤（短裤），短裤利润每条60元，T恤利润每件58元，利润售价成本． (1)若一次性购进这两种商品共800件/条，设购进T恤件，且．总利润元需不低于20000元． ①写出与函数关系式； ②写出获利最大的方案； (2)因局部变革，在这两种商品售价维持稳定不变、短裤成本价维持稳定不变的情况下，T恤成本价每件下降元（），若准备一次性购进这两种商品共600件/条（其中购进T恤件数不少于300件不多于500件），总利润最小值不低于35600元，求值． 25．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点，，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． (1)的长为______，点D的坐标是______． (2)求点C的坐标； (3)点M是y轴上一动点，若，求出点M的坐标； (4)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 一次函数（复习讲义） 1. 知道函数的概念及其三种表示方法； 2. 理解正比例函数、一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式；会利用待定系数法确定一次函数的表达式；知道一次函数的图象是一条直线，会选取两个适当的点画一次函数的图象；能根据一次函数的图象和函数表达式探索并理解一次函数的性质；进一步理解正比例函数和一次函数的关系； 3. 能运用一次函数解决简单的实际问题；通过经历“问题情境-建立模型-求解验证”的数学活动过程；初步学会从数学的角度发现问题，提出问题，综合运用数学知识，解决简单实际问题，增强应用意识，提高实践能力； 4. 理解一次函数与二元一次方程（组）的关系；能够根据一次函数的图象求解二元一次方程组的近似解；能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式；在运用二元一次方程组的图象解法的过程中，体会其中隐含的数形结合思想。 知识点 重点归纳 常见易错点 常量与变量 常量：在一个变化过程中，数值保持不变的量叫作常量。 根据问题分析 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫作变量。 函数的概念和表示方法 函数的概念： 一个变化过程中有两个变量，x和y，如果对于x的每一个确定的值y都有唯一的值与它对应，那么称y是x的函数，x是自变量。自变量根据实际问题的需要，一般都有自己的取值范围。 简单说就是一个x只能求出一个y； 方法1：表达式法 方法2：表格法 方法3：图象法 函数的表示方法各有优缺点，根据问题选择合适的方法。 函数的图象 1. 函数图象：把自变量的取值作为横坐标，对应的函数值作为纵坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点，这些点组成的图形叫做函数图象。 2. 函数图象上的点与函数表达式的关系： 函数图象上的点的坐标一定满足函数表达式。满足函数表达式的有序实数对表示的点一定在该函数图象上。 函数图象的概念，知道即可，不需要过深理解。 正比例函数 一次函数的概念 1. 正比例函数： 一般地，形如（）的函数，叫做正比例函数。 正比例函数是一次函数的特殊情况。 2. 一次函数： 一般地，形如（）的函数，叫做一次函数。 待定系数法 1.先设含有未知系数的函数表达式，再根据条件求出这些未知系数的值，从而确定函数表达式的方法叫做待定系数法。 该方法非常重要 2.用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： （1）设表达式； （2）根据已知条件得到的方程组； （3）解方程组，求出的值； （4）写出函数的表达式。 该方法也适用于以后学的其他函数，只不过设的函数形式不同。 画函数图象的方法 列表描点连线 列表主要找与坐标轴的交点或其他特殊点 正比例函数图象和性质 k的符号 函数图象 图象的位置 性质 的正负决定了函数图象的走向趋势 k>0 经过第一、三象限 y随x增大而增大 k <0 经过第二、四象限 y随x增大而减小 一次函数的图象和性质 函数 图象 经过象限 函数性质 的正负决定了函数图象的变化趋势； 的正负决定了函数图象与纵轴的交点位置。 y=kx+b k>0 b>0 一、二、三 y随x增大而增大 k>0 b<0 一、三、四 y=kx+b k<0 b>0 一、二、四 y随x增大而减小 k<0 b<0 二、三、四 一次函数与三个“一次”的关系 1．一次函数与一元一次方程的关系 直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标就是对应方程kx+b=0的解． 注意坐标与解的写法不同 2．一次函数与一元一次不等式的关系 一元一次不等式的解集从的图象上可以看出是图象位于横轴上方的部分，所以其解集是；的解集是。 从函数角度和不等式角度充分理解二者关系非常重要，利用数形结合和分类讨论思想是解决此类问题的关键。 3．一次函数与二元一次方程组的关系 从数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值； 从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标： 一般地，一次函数与一次函数交点的坐标就是对应方程组的解。 牢记：交点的坐标“就是”对应方程组的解，只是它们写的格式不同。 注意三点： 1.二者写得格式不同： 交点坐标： 方程组的解： 2.一定要注意对应二字； 3.二者数值上相等。 一次函数 实际应用 用一次函数解决实际问题的一般步骤为： （1）设定实际问题中的自变量与因变量； （2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式； （3）确定自变量的取值范围； （4）利用函数性质解决问题； （5）检验所求解是否符合实际意义； （6）答案． 根据题目中的问题判断函数类型后再设函数关系式 题型一 函数的概念 【例1】下列图象中，表示是的函数的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【知识点】函数的概念、函数图象识别 【分析】本题考查函数的概念，设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，据此进行判断即可． 【详解】解：A、选项中图象，对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么y不是x的函数，不符合题意， B、选项中图象，对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么y不是x的函数，不符合题意， C、选项中图象，对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么y不是x的函数，不符合题意， D、选项中图象，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么y是x的函数，符合题意， 故选：D． 【变式1-1】下列各图中，变量y是变量x的函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数的概念、函数图象识别 【分析】本题考查了函数的意义，函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．根据函数的意义即可求出答案． 【详解】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以只有A正确． 故选：A． 【变式1-2】下列图象中，不能表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数的概念、函数图象识别 【分析】本题主要考查了函数的定义，在一个变化过程中，有两个变量，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则称是的函数，其中叫函数的自变量，根据定义判断即可． 【详解】解：A 、不满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，故 A符合题意； B 、满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，故 B不符合题意； C 、满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，故 C不符合题意； D 、满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，故 D不符合题意； 故选：A 题型二 函数的表示方法 【例2】“乡村振兴”是党的十九大作出的重大决策部署．为了推动农业耕种现代化，甲市有某型号智能农业耕种机器12台，现决定支援给A村和B村．已知从甲市调运一台机器到A村、B村的运费分别为400元和600元．设甲市运往A村的机器为x台，则总运费y关于x的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数解析式 【分析】本题考查的是列函数关系式，根据题意，总运费由运往A村和B村的费用组成。设运往A村的机器为x台，则运往B村的机器为台；分别计算两部分的运费并求和，化简后即可得到总运费y关于x的关系式. 【详解】解：运往A村的机器为x台，运费为400元/台，故A村运费为元， 运往B村的机器为台，运费为600元/台，故B村运费为元， ∴总运费y为两部分之和，即：； 故选：D. 【变式2-1】某文具店老板购进一批荧光笔，销量（支）与销售额（元）的关系如下表所示： 销量支 1 2 3 4 5 … 销售额元 3 6 9 12 15 … A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数解析式 【分析】此题考查的是函数的表示方法，观察表格中的数据发现：销售额是销售数量的 3 倍，据此列出函数关系式； 【详解】解：表格中的数据发现：销售额是销售数量的 3 倍， ∴销售额与销量的函数关系式为， 故选：A． 【变式2-2】下面四幅图象均表示变量之间的关系．按图象从左到右的顺序，选择与之相近的情境，正确的顺序是（   ） 篮球运动员投篮时，投出去的篮球高度与时间的关系 小明妈妈去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果数量的关系 一面在升降台上冉冉上升的旗子，它的离地高度与时间的关系 周末，小明从家骑行到图书馆，看了一段时间书后，按原速度原路返回，小明离家的距离与时间的关系 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查了函数图象的问题，先理解函数图象的横纵坐标表示的量，再根据实际情况来判断函数图象，充分理解两个量之间的函数关系是解题的关键． 【详解】解：第一个图符合：篮球运动员投篮时，投出去的篮球高度与时间的关系； 第二个图符合：一面在升降台上冉冉上升的旗子，它的离地高度与时间的关系； 第三个图符合：周末，小明从家骑行到图书馆，看了一段时间书后，按原速度原路返回，小明离家的距离与时间的关系； 第四个图符合：小明妈妈去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果数量的关系； 故选：． 题型三 函数自变量的取值范围 【例3】已知等腰三角形周长为16，则底边长y关于腰长x的函数解析式为 （x为自变量）；自变量的取值范围 ； 【答案】 【知识点】用关系式表示变量间的关系、三角形三边关系的应用、求自变量的取值范围 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的取值范围，三角形三边关系； 根据周长等于三边之和可得出y和x的关系式，再由三角形的三边关系可得出x的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， 解得：， 故答案为：；． 【变式3-1】汽车开始行驶时，油箱中有油40升，如果每小时耗油6升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间x（小时）的关系式为 ． 【答案】 【知识点】求自变量的取值范围、函数解析式 【分析】本题考查了函数关系式，找准等量关系是解题关键．根据油箱内余油量油箱中原来的油量每小时耗油量行驶时间，列出函数关系式即可得，再求出行驶时间的取值范围，由此即可得． 【详解】解：由题意得：， 当时，，解得， 则油箱内余油量（升）与行驶时间（小时）的关系式为， 故答案为：． 【变式3-2】在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求自变量的取值范围 【分析】根据分母不等于0列出不等式，求解即可． 【详解】解：根据题意得：， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，根据分母不等于0列出不等式是解题的关键． 题型四 根据一次函数的概念求参数 【例4】若是关于x的一次函数，则k的值为 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查根据一次函数的定义求出参数的值，根据一次函数的定义，得到，，进而求出的值即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴； 故答案为：． 【变式4-1】如果是一次函数，那么m的值是 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】此题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键； 形如的函数叫做一次函数．据此进行解答即可． 【详解】解：∵是一次函数， ∴ ， 解得：， 故答案为：． 【变式4-2】若函数是一次函数，则k的值是 ． 【答案】2 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查了一次函数的定义，解题的关键是掌握一般地，形如，、是常数）的函数，叫做一次函数． 根据一次函数的定义得到且，然后求解即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得． 故答案为：2． 题型五 根据一次函数的解析式判断图象经过的象限 【例5】一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】A 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查的是一次函数的性质，对于一次函数，当时，图象从左下向右上延伸，必过第一、三象限；当时，图象与y轴交于正半轴，必过第一、二象限，结合和的符号即可判断图象经过的象限． 【详解】解：∵一次函数中，，， ∴函数图象经过第一、二、三象限． 故选：A． 【变式5-1】一次函数的图象所经过的象限是（ ） A．一、二、三 B．二、三、四 C．一、二、四 D．一、三、四 【答案】D 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，由解析式可得，，进而即可判断求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：一次函数， ∴，， ∴一次函数图象经过一、三、四象限。 故选：． 【变式5-2】一次函数的自变量和函数值的部分对应值如表所示： 则这个函数的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式；根据表格中的对应值求出一次函数的解析式，再根据和的符号判断图象所经过的象限． 【详解】解：当时，，代入得． 取点代入解析式，得，解得． 因此，函数解析式为． ∵， ∴图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：D． 题型六 一次函数的增减性问题 【例6】若一次函数的函数值随的增大而减小，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数的性质，解题关键在于掌握其性质．根据比例系数小于0时，一次函数的函数值y随x的增大而减小列出不等式求解即可． 【详解】解：一次函数中，函数值y随x的增大而减小， 解得： 因此，k的取值范围是， 故选：A． 【变式6-1】已知点，在一次函数的图象上，当时，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查一次函数的图象性质：当，随增大而减小，由时，，可知随增大而减小，则比例系数，从而求出的取值范围． 【详解】解：当时，，随的增大而减小， ，得． 故选：B． 【变式6-2】若点，在一次函数（m是常数）的图象上，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：函数图象上的点的坐标满足一次函数解析式；根据一次函数的解析式，求出两点的横坐标并相减，即可判断与的大小关系． 【详解】解：将点代入，得：， ∴； 将点代入，得：， ∴； ∴， 因此，； 故选：A． 题型七 一次函数图象平移问题 【例7】把直线向右平移1个单位长度后，其直线的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题考查一次函数水平平移的规律，需根据“左加右减”的原则对自变量x进行变换． 【详解】解：把直线向右平移1个单位长度后，其直线的函数解析式为， 故选：B． 【变式7-1】在平面直角坐标系中，把直线沿轴向下平移2个单位长度后，得到直线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题考查了一次函数图象的平移．熟练掌握一次函数图象平移规律：上加下减是解题的关键． 根据上加下减进行求解作答即可． 【详解】解：∵把直线沿轴向下平移2个单位长度后， ∴得到直线的函数表达式为， 即：， 故选：B． 【变式7-2】在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向下平移2个单位后，得到一个正比例函数图象，则该一次函数图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】求一次函数解析式、正比例函数的性质、一次函数图象平移问题 【分析】本题考查了一次函数的性质及图象、正比例函数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．将一次函数向下平移2个单位后得到正比例函数，可知平移后的常数项为0，从而求出的值，将再代入原函数解析式，分析其经过的象限即可． 【详解】将一次函数的图象向下平移2个单位后，得到的函数为：， ∵得到的函数为正比例函数， ∴， 解得：， ∴一次函数为， ∴该一次函数图象不经过第三象限， 故选：C． 题型八 一次函数的性质综合判断问题 【例8】对于一次函数的相关性质，下列描述错误的是（    ） A．函数图象经过第一、二、四象限 B．函数图象与x轴的交点坐标为 C．y随x的增大而减小 D．函数图象与坐标轴围成的三角形面积为 【答案】B 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、判断一次函数的增减性、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据一次函数的性质逐项分析即可，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵一次函数中，，， ∴函数图象经过第一、二、四象限，y随x的增大而减小，故正确； 当时，，当时，，解得， ∴函数图象与x轴的交点坐标为，函数图象与轴的交点坐标为，故B错误； 函数图象与坐标轴围成的三角形面积为，故D正确； 故选：B． 【变式8-1】关于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．图象与轴的交点是 B．图象与坐标轴形成的三角形的面积为36 C．图象不经过第二象限 D．点和都在该函数图象上，若，则 【答案】D 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、判断一次函数的增减性、根据一次函数解析式判断其经过的象限、比较一次函数值的大小 【分析】本题主要考查一次函数的图象及其性质及一次函数图象上点的坐标特征等知识点，掌握一次函数的性质及函数图象与坐标轴交点的求法是解题的关键． 令，即可确定图象与轴的交点是；令，图象与轴的交点是，便可求出图象与坐标轴形成的三角形的面积，根据一次函数性质即可判断C、D选项． 【详解】解：A．令，则，即，图象与轴的交点是，故本选项不符合题意； B．令，则，图象与轴的交点是，则图象与坐标轴形成的三角形的面积为，故本选项不符合题意； C．一次函数，，，则图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故本选项不符合题意； D．若，则，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式8-2】对于函数，下列结论正确的是（   ） A．它的图象必经过点 B．它的图象经过第一、二、三象限 C．当时， D．y的值随x的增大而增大 【答案】C 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、判断一次函数的增减性 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数（，为常数，）中和对函数图象和性质的影响是解题的关键．分别根据一次函数上点的坐标特征、一次函数图象所在象限、函数值的变化情况以及函数值的求解方法，对选项逐一进行判断． 【详解】解：选项A，当时，， 图象不经过点，该选项错误． 选项B，在一次函数中，，， 图象经过第二、三、四象限，该选项错误． 选项C，解不等式，移项可得，两边同时乘以，不等号变向，得， 当时，，该选项正确． 选项D，在一次函数中，， 函数值随的增大而减小，该选项错误． 故选：． 题型九 一次函数与一次方程关系问题 【例9】如图，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，若，，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数的性质，方程的解就是一次函数图象与x轴的交点的横坐标是解题的关键． 利用函数图象，函数值为0，则于x的方程的解为． 【详解】解：∵一次函数的图象与x轴相交于点， ∴关于x的方程的解为． 故答案为：． 【变式9-1】一次函数（为常数，）的图象如图所示，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，方程的解即为一次函数的函数值为时对应自变量的值，利用数形结合的思维解答是解题的关键． 【详解】解：由图象知，当时，， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 【变式9-2】已知一次函数的图象经过点和点，那么关于x的方程的解为 ． 【答案】 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】此题主要考查一次函数与一元一次方程的内在联系．由的图象与轴的交点的横坐标即可得到答案． 【详解】解：函数的图象经过，即当时，， ∴关于的方程的解为． 故答案为：． 题型十 一次函数与一次不等式的关系问题 【例10】如图，一次函数的图象经过，则当时，x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】观察函数图象，即可得出：当时， 本题考查了一次函数的图象，观察函数图象，找出时x的取值范围是解题的关键． 【详解】解：观察图形，可知：当时， 故答案为： 【变式10-1】如图，一次函数与（k，b是不为0的常数）的图象交于点，则关于的不等式组的解集是 ． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式（组）的关系及应用．利用一次函数图象上点的坐标特征求交点横坐标；根据一次函数的图象位置关系确定不等式的解集；以及综合两个不等式的解集得到不等式组的解集，体现了“数形结合”的思想，即通过函数图象直观解决不等式问题． 首先通过把交点坐标代入已知一次函数求出交点的横坐标，然后根据函数图象的位置关系确定不等式组的解集． 【详解】解：因为点在的图象上， 所以将代入中，得到． ． 解不等式，解得． 从图象上看，表示的图象在图象上方的部分， 表示的图象在x轴上方的部分． 已知交点， 所以的解集就是的图象在图象上方， 且的图象在x轴上方对应的x的取值范围，即． 故答案为：． 【变式10-2】如图，一次函数和与x轴的交点分别为和．则关于x的不等式组的解集是 ． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】利用函数图象，写出两个函数图象在x轴上所对应的自变量的范围，然后根据不等式组解集的表示方法求解． 本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集． 【详解】解：一次函数和与x轴的交点分别为和 当时，；当时，， 关于x的不等式组的解集是 故答案为： 题型十一 一次函数与方程组的关系问题 【例11】如图，一次函数为常数且与正比例函数为常数且的图象交于点，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题考查了一次函数的交点问题． 根据交点作答即可． 【详解】解：一次函数为常数且与正比例函数（为常数且的图象交于点， 关于的方程的解是， 即关于的方程的解是． 故答案为：． 【变式11-1】如图，直线（k是常数，且）与直线相交于点P，已知点P的纵坐标为1，则关于x，y的方程组的解为 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的解，根据两条直线的交点的横纵坐标即为由两条直线的解析式组成的方程组的解，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，解得：， ∴， ∴直线（是常数，且）与直线的交点坐标为：； ∴关于，的方程组，即的解为：， 故答案为：． 【变式11-2】如图，直线：与直线：交于点，则关于，的方程组的解是 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查了根据两直线的交点求二元一次方程组的解，求一次函数的函数值，首先利用得到点坐标，再根据两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案． 【详解】解：∵直线经过点， ∴， ∴， ∴关于x，y的方程组的解为：， 故答案为：． 题型十二 一次函数与面积问题 【例12】如图，直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，两条直线相交于点． (1)求p的值，并且直接写出关于x，y的二元一次方程组的解； (2)判断直线是否也过点M？并说明理由． (3)若直线与x轴交于点，求直线的关系式和的面积． 【答案】(1)1， (2)直线经过点M，理由见解析 (3)，16 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、求直线围成的图形面积、求一次函数自变量或函数值、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组、一次函数图象上点的坐标特征、求函数解析式、三角形的面积等知识点，掌握函数图象经过的点必能满足解析式是解题的关键． （1）把代入可得p的值，然后根据二元一次方程组的解为对应直线交点的坐标作答即可； （2）把点M的坐标代入，得到m、n的关系；然后把点P的坐标代入，并结合m、n的关系即可解答； （3）先运用待定系数法求得m、n的值即可确定函数解析式，再求出A点坐标，然后运用三角形的面积求解即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴，解得：； ∴两条直线相交于点， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为：． （2）解：直线经过点M，理由如下： ∵在直线上， ∴． 当时，， ∴直线经过点M． （3）解：∵，， ∴，解得：， ∴； ∵直线与x轴交于点A， ∴， ∵， ∴， ∴的面积． 【变式12-1】已知一次函数的图象经过，两点，如图所示． (1)求这个函数的表达式； (2)求这条直线与坐标轴围成的的面积． 【答案】(1) (2)1 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求直线围成的图形面积 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，求一次函数，则需要两组，的值． （1）利用待定系数法求一次函数解析式； （2）先求出点C坐标，然后根据三角形面积公式计算． 【详解】（1）解：设一次函数表达式为， 将，分别代入，解得， 该函数表达式为； （2）解：在中，令，由得， ， ， ， ， ． 【变式12-2】在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点C，直线与y轴交于点A，与直线交于点B，设点B的横坐标为． (1)如图，若． ①求直线、直线与y轴所围成的的面积； ②根据图象直接写出的解集． (2)若，求整数k的值． 【答案】(1)①面积为；②； (2)或6 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、两直线的交点与二元一次方程组的解、求直线围成的图形面积 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图形与坐标的性质，两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同． （1）①先用待定系数法求的解析式，再求出点的坐标，最后用三角形面积公式求解即可； ②直接观察图象，找出直线在直线的下面的部分，写出部分对应的自变量的取值范围； （2）先求交点坐标，再根据建立关于的不等式组，求解即可． 【详解】（1）①当时，， ∴． 将代入，得． 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴的面积为：； ②当时，直线在直线的下面，即， ∴的解集为； （2）， 解得 ， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴整数k的值为5、6． 题型十三 一次函数与实际应用问题之利润问题 【例13】年月，某次大型羽毛球比赛在荆州圆满落幕，荆州作为“羽毛球之乡”已培养出谌龙、王祉怡等多位世界冠军，各中小学也在大力发展羽毛球运动，某体育用品商店抓住商机，计划购进，两种型号羽毛球拍共副进行销售，其中购进型号球拍不超过副，它们的进价和售价如表所示．已知购进副型球拍和副型球拍共需花费元，购进副型球拍和副型球拍共需花费元． 商品 进价 售价 型球拍元副 型球拍元副 (1)求，的值； (2)该商店根据以往的销售经验，决定购进型球拍数不少于型球拍数的一半．设购进型球拍副，售完这批体育用品共获利元． 求关于的函数解析式，并写出的取值范围； 如何购货才能使这批体育用品全部售完时，获利最大？试求出最大利润． 【答案】(1)50；65 (2)①取整数；②购进型球拍副、型球拍副时，获利最大，最大利润元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，正确列出二元一次方程组、求出一次函数解析式是解此题的关键． （1）根据“购进副型球拍和副型球拍共需花费元，购进副型球拍和副型球拍共需花费元”列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）①由题意即可得出关于的函数关系式，根据“购进型球拍数不少于型球拍数的一半”列出不等式，求出的取值范围即可； ②根据一次函数的性质求解即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得， ，； （2）解：①由题意得， 整理得：， 由条件可知， 购进型球拍数不少于型球拍数的一半， ， 解得：， 则的取值范围为：， 关于的函数关系式为 取整数； ②由中，，可得随的增大而减小， ，取整数， 当时，， 答：购进型球拍副、型球拍副时，获利最大，最大利润元． 【变式13-1】剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息浓厚．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进3套甲种剪纸和2套乙种剪纸共需230元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元． (1)求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元？ (2)设购进甲种剪纸装饰x套（），购买甲、乙两种剪纸装饰共花费y元，求y与x之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，若甲种剪纸的售价为65元/套，乙种剪纸的售价为50元/套．该商家计划购进甲种剪纸不超过40套，要使这批剪纸装饰全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 【答案】(1)甲种剪纸装饰套装单价为50元，乙种剪纸装饰套装单价为40元 (2) (3)购进甲种剪纸40套，乙种剪纸20套时，所获利润最大，最大利润为800元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式 【分析】本题考查一次函数的应用，二元一次方程组的应用，熟练掌握一次函数图象性质是解题的关键． （1）设则甲种剪纸装饰套装单价为元，乙种剪纸装饰套装单价为元，根据购进3套甲种剪纸和2套乙种剪纸共需230元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元，列方程组，解方程组即可； （2）购进甲种剪纸套，则购进乙种剪纸套，总费用y元为甲乙种剪纸装饰套装费用的和列出一次函数即可； （3）设甲、乙两种剪纸装饰获得的利润为元，甲种剪纸装饰套装利润为元，乙种剪纸装饰套装利润为元，则，即，在结合商家计划购进甲种剪纸不超过40套根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设则甲种剪纸装饰套装单价为元，乙种剪纸装饰套装单价为元， 根据题意，得， 解得， 答：甲种剪纸装饰套装单价为50元，乙种剪纸装饰套装单价为40元． （2）解：由题可知，购进甲种剪纸套，则购进乙种剪纸套， 根据题意，得， 即， ∴与之间的函数关系式为． （3）解：设甲、乙两种剪纸装饰获得的利润为元， 根据题意，得 ， 即， ∵， ∴随的增大而增大， ∵，且为整数， ∴当时，取最大值，（元）， 此时套， 答：购进甲种剪纸40套，乙种剪纸20套时，所获利润最大，最大利润为800元． 【变式13-2】为了让学生体验农耕劳动，某校计划购买A，B两种型号的劳动工具，已知购买20个A型劳动工具，40个B型劳动工具共需要1100元；B型劳动工具的单价比A型劳动工具多5元． (1)分别求A、B两种型号劳动工具的单价； (2)在实际购买时，A型劳动工具的价格不变；B型劳动工具享受优惠；若超过40个，则超出部分可享8折．设购买x（）个B型劳动工具需要花费y元，求y与x之间的函数关系式； (3)在（2）的前提下，若该校计划购买A、B两种型号的劳动工具共100个，且B型劳动工具不少于A型劳动工具的1.2倍．请你求出最省钱的购买方案及所需费用． 【答案】(1)A型劳动工具的单价为15元，B型劳动工具的单价为20元 (2)当时，，当时， (3)最省钱的购买方案是购买B型劳动工具55个，A型劳动工具45个，此方案共需花费1715元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、求一次函数解析式、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式的应用，求一次函数的解析式，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设A型劳动工具的单价为m元，B型劳动工具的单价为n元，再根据题意列出方程组，再解出，即可作答． （2）结合在实际购买时，A型劳动工具的价格不变；B型劳动工具享受优惠；若超过40个，则超出部分可享8折，得出当时，；当时，，即可作答． （3）由题意可得：，得出a的最小值为55，设所需费用为w元，，结合一次函数的性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：设A型劳动工具的单价为m元，B型劳动工具的单价为n元， 根据题意得：， 解得， 答：A型劳动工具的单价为15元，B型劳动工具的单价为20元． （2）解：依题意，当时，； 当时，． （3）解：设购买B型劳动工具a个，则购买A型劳动工具个， 由题意可得：， 解得：， a为整数， ∴a的最小值为55， 设所需费用为w元，， ∵ ∴随着的增大而增大 当时，w最小，最小值为（元） ∴最省钱的购买方案是购买B型劳动工具55个，A型劳动工具45个，此方案共需花费1715元． 题型十四 一次函数与实际应用问题之行程问题 【例14】快、慢两车分别从相距180千米的甲、乙两地同时出发，沿同一路线匀速行驶，相向而行，快车到达乙地停留一段时间后，按原路原速返回甲地．慢车到达甲地比快车到达甲地早小时，慢车速度是快车速度的一半，快、慢两车到达甲地后停止行驶，两车距各自出发地的路程（千米）与所用时间（小时）的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： (1)请直接写出快、慢两车的速度； (2)求快车返回过程中（千米）与（小时）的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (3)两车出发后经过多长时间相距90千米的路程？直接写出答案． 【答案】(1)快车速度为千米/小时，慢车速度为千米/小时． (2)，自变量的取值范围是． (3)两车出发后经过小时或小时或小时时，相距90千米的路程． 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用)、行程问题(一元一次方程的应用)、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了一次函数的应用以及行程问题中的相遇和追及问题，熟练掌握一次函数的性质和行程问题的基本公式是解题的关键． （1）先求出慢车行完全程所用时间，根据时间 = 路程÷速度，求得慢车速度，从而求得快车速度． （2）先求出快车从甲地到乙地的时间，从而确定点的坐标．然后利用待定系数法求快车返回过程中与的函数关系式． （3）分三种情况讨论两车相距千米的情况：两车相向而行时，还未相遇，路程和为千米．两车相遇后，快车还未返回甲地前，路程和为千米．快车从乙地返回甲地时，两车相距千米． 【详解】（1）解：∵慢车到达甲地的时间为（小时）， ∴慢车的速度为（千米/小时）， 快车速度为（千米/小时）， 答：快车速度为千米/小时，慢车速度为千米/小时． （2）解：快车从甲地到乙地的时间为（小时）， ∴快车中途停了（小时） ∴点的坐标为即． 设快车返回过程中与的函数关系式为， 将和代入，得 解得，， ∴函数关系式为，自变量的取值范围是． （3）解：情况一：两车相向而行，还未相遇，， 解得（小时）． 情况二：两车相遇后，快车还未返回甲地前，， 解得（小时）． 情况三：快车从乙地返回甲地时，， 解得（小时）． ∴两车出发后经过小时或小时或小时时，相距90千米的路程． 【变式14-1】某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午8：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴车从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学．上午9：00，军车在离营地的地方追上大巴车并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和学校师生同时到达基地．军车和大巴车离营地的路程s（单位：）与所用时间t（单位：）之间的函数关系如图2所示． (1)军车的速度为______，图2中的值为______． (2)求大巴车离营地的路程s与所用时间t之间的函数解析式．（并写出t的取值范围） (3)部队官兵在仓库领取研学物资期间，求大巴车离仓库的路程（单位：）的取值范围． 【答案】(1)80，1.25 (2) (3) 【知识点】求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查一次函数的应用． （1）结合函数图象可求出军车和大巴车的速度，再根据时间路程速度可求的值； （2）根据大巴车的速度为，结合函数图象可得大巴车离营地的路程与所用时间之间的函数表达式； （3）分别求出部队官兵在仓库领取物资的开始时间和结束时间，进而得对应的的取值，再结合函数图象可得路程的取值范围． 【详解】（1）解：军车的速度为， 大巴车的速度为， ∴， 故答案为：80，1.25； （2）解：由（1）知大巴车的速度为， ∴， 当时，解得， ∴大巴车离营地的路程与所用时间之间的函数表达式； （3）解：由（2）可知，, 部队官兵在仓库领取物资的开始时间为：， 此时， ∵部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地， ∴， 解得， 即部队官兵在仓库领取物资的结束时间为， 此时， 结合图象可知，． 【变式14-2】随着人工智能的发展，智能机器人警察已经陆续出现．图1是机器人警官安安和麦克，他们从街头A处出发，准备前往相距450米的B处（A，B在同一直线上）巡逻，安安警官比麦克警官先出发，且速度保持不变，麦克警官出发一段时间后将速度提高到原来的2倍、已知安安警官、麦克警官行走的路程（米），（米）与安安警官行走的时间（秒）之间的函数关系图象如图2所示． (1)如图2，折线①表示___________警官行走的路程与时间的函数图象（填“安安”或“表克”）； (2)求麦克警官提速后的速度，并求m，n的值； (3)求折线①中线段所在直线的函数解析式； (4)请直接写出安安警官和麦克警官之间的距离不超过120米的时长． 【答案】(1)麦克 (2)； (3) (4)（秒） 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，一次函数的应用，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意结合图象分析即可得解； （2）先求出麦克提速前速度，从而即可得出提速后速度，计算得出段经过的时间，即可得解； （3）利用待定系数法计算即可得解； （4）由题意得线段所在直线的函数解析式为，再分情况列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：折线①表示麦克警官行走的路程与时间的函数图象； （2）解：由题意可得：麦克提速前速度为（米／秒）， 提速后速度为（米／秒）． 段经过的时间为（秒）， ； 安安警官的速度为（米／秒）， ； （3）解：由题意得点，点． 设线段所在直线的函数解析式为， 将点E，F的坐标分别代入函数解析式中可得：， 解得， 即线段所在直线的函数解析式为； （4）解：安安警官和麦克警官之间的距离不超过120米的时长为36秒． 由题意得线段所在直线的函数解析式为， 当时，，当时，． 当安安警官出发，而麦克警官未出发，安安在麦克前方120米时，， 解得； 当安安警官在麦克警官前方120米时，， 解得； 当安安警官在麦克警官后方120米时，， 解得； 当麦克警官到达处，安安警官距处120米时，， 解得． 安安警官和麦克警官之间的距离不超过120米的时长为（秒）． 题型十五 一次函数与几何综合问题 【例15】如图，直线l与x轴、y轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，，点为y轴上一个动点． (1)求点C坐标； (2)求直线的函数表达式； (3)当与面积相等时，求实数a的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义 【分析】（1）过点C作轴，根据等腰直角三角形的性质证明，推出，进而求出，即可得到点C的坐标； （2）由（1）知点C的坐标，利用待定系数法即可求解； （3）利用勾股定理求出，即可求出的面积为，由题意可得，根据，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点C作轴， ∵为等腰直角三角形，且， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点、点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， 设直线的函数表达式为：， 则，解得， ∴直线的函数表达式； （3）解：∵为等腰直角三角形，且，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∵与面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴或． 【点睛】本题考查图形与坐标、一次函数与几何综合、勾股定理、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 【变式15-1】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点，，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． (1)的长为______，点D的坐标是______． (2)求点C的坐标； (3)点M是y轴上一动点，若，求出点M的坐标； (4)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5， (2) (3)为或 (4)第一象限内存在点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【知识点】一次函数与几何综合、全等三角形综合问题、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（1）根据勾股定理可得，根据轴对称的性质可得，则可得，进而可得； （2）设，则，在中,根据勾股定理列方程求出x的值，即可得C点的坐标． （3）设，则，根据列方程求出m的值，即可得到点M的坐标； （4）分三种情况讨论：①当，；②当，；③当，，根据全等三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ，， ， ∵将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． ， ． 故答案为：5，． （2）解：，则， 在中, ， ∴， 解得， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ， ， ， ∴， 解得，． ∴M点的坐标为或． （4）解：存在，理由如下： ①当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点P作轴于G点, 则， ∵， ∴， 又∵ ， 在和中， ， ， ，， ． ∴P点的坐标为． ②当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点P作轴于H点， 同理得， ，， ∴P点的坐标为． ③当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点P作轴于点M，轴于点N， 则， ∴， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 设点P的坐标为，， 则，，， 解得：， ∴点P的坐标为． 综上可知，第一象限内存在点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，绝对值方程，作辅助线构造全等三角形，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 【变式15-2】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在轴正半轴上的点C处，直线交于点E． (1)求的长； (2)求直线的解析式； (3)y轴上是否存在一点P，使得，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5 (2)直线的解析式为 (3)或 【知识点】用勾股定理解三角形、一次函数与几何综合、求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法的应用，一次函数的图象和性质，勾股定理；，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在直线中，分别令，确定B、A坐标，得到，再运用勾股定理计算即可； （2）根据折叠的性质确定的长，得到点C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （3）设，根据列方程求出a的值即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴点B的坐标为； 当时，即， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴， ∴； （2）解：由翻折得：， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为； （3）解：设， ∵，，，，且， ∴， 解得：或12， ∴点P坐标为或． 基础巩固通关测 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列图形中的曲线不能表示是的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数的概念 【分析】本题主要考查了函数的概念，熟练掌握函数的自变量与函数的关系是解题的关键． 设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，据此即可解答． 【详解】解：A．中图象，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么是的函数，不符合题意； B．中图象，对于的每一个确定的值，不一定有唯一的值与其对应，那么不是的函数，符合题意； C．中图象，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么是的函数，不符合题意； D．中图象，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么是的函数，不符合题意． 故选：B． 2．下列四个选项中，说法不正确的是（    ） A．在匀速运动公式中，s是t的函数，v是常量 B．入射光线照射到平面镜上，如果入射角的角度为，反射角的角度为，那么是的函数 C．在圆的周长公式中，2是常量，，r，C均为变量 D．一种金属，其质量是体积的函数 【答案】C 【知识点】函数的概念、函数解析式、用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查函数概念及常量与变量的判断，根据各选项的描述逐一分析即可． 【详解】解：A． 在匀速运动公式中，速度是固定值，为常量；路程随时间变化，故是的函数．说法正确． B． 根据反射定律，反射角恒等于入射角，即，每个对应唯一的，因此是的函数．说法正确． C． 在圆的周长公式中，半径和周长是变量，而2和均为固定常数，因此是常量而非变量．原说法错误． D． 金属质量由密度和体积决定，密度固定时，质量随体积变化，故质量是体积的函数．说法正确． 综上，不正确的选项为C． 故选：C 3．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，t表示时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系，根据乌龟和兔子随时间变化它们的路程变化情况即可得到答案，读懂题意，文字转化为数学图象语言是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得，图象中与故事情节相吻合的是选项， 故选：． 4．下列函数中，是的正比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，根据正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数，逐一分析选项即可判断． 【详解】解：A．，符合的形式，其中，是正比例函数，故A符合题意； B．，含常数项，属于一次函数而非正比例函数，故B不符合题意； C．，位于分母，次数为，不符合一次项的要求，故C不符合题意； D．，的次数为2，属于二次函数，不符合正比例函数的定义，故D不符合题意． 故选：A． 5．若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，熟知一次函数的定义是解题的关键，一般地，形如，且k、b是常数的函数叫做一次函数．根据一次函数的定义列出方程组进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的函数是一次函数， ∴， ∴， 故选：C． 6．点在正比例函数的图象上，则k的值为（   ） A． B．15 C． D． 【答案】D 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题考查了求正比例函数的解析式，将点的坐标代入正比例函数解析式，解方程，即可求出k的值． 【详解】解：∵点在正比例函数的图象上， ∴将代入， 得， 解得：， 故选：D 7．对于一次函数的相关性质，下列描述错误的是（    ） A．函数图象经过第一、二、四象限 B．函数图象与x轴的交点坐标为 C．y随x的增大而减小 D．函数图象与坐标轴围成的三角形面积为 【答案】B 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题、判断一次函数的增减性 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据一次函数的性质逐项分析即可，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵一次函数中，，， ∴函数图象经过第一、二、四象限，y随x的增大而减小，故正确； 当时，，当时，，解得， ∴函数图象与x轴的交点坐标为，函数图象与轴的交点坐标为，故B错误； 函数图象与坐标轴围成的三角形面积为，故D正确； 故选：B． 8．已知点和点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数解析式中的系数判断函数的增减性，结合点的纵坐标大小关系，推断对应的横坐标大小． 【详解】解：一次函数的， 故函数值随的增大而减小， 点的纵坐标为，点的纵坐标为，显然，即， 由于函数随的增大而减小，当时，对应的应大于（纵坐标越小，对应的横坐标越大）， 综上，， 故选：A． 9．在平面直角坐标系内，一次函数（为常数）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（   ） A．当时， B．方程的解是 C．当时， D．不等式的解集是 【答案】C 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、已知直线与坐标轴交点求方程的解、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质及一次函数与一元一次方程，利用数形结合求解是解答此题的关键．根据函数的图象直接进行解答即可． 【详解】解：由函数的图象可知， A、当时，，原说法错误，不符合题意； B、方程的解是，原说法错误，不符合题意； C、当时，，正确，符合题意； D、不等式的解集是，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 10．在测浮力的实验中，小明将一块受重力为的长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里，弹簧测力计的示数拉力与石块下降的高度之间的关系如图所示，温馨提示：当石块位于水面上方时，；当石块入水后，，则以下说法正确的是（   ） A．当石块下降时，此时石块在水里 B．当时，拉力与之间的函数表达式为 C．当时，此时石块完全浸入水中 D．当时，此时石块所受浮力不变 【答案】D 【知识点】从函数的图象获取信息、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象、一次函数的应用等知识点，采用数形结合的思想解决函数图象问题是解决本题的关键． 结合所给函数图象以及一次函数的相关知识逐个选项分析判断即可解答． 【详解】解：从图象看，石块在下降时拉力不发生变化，对应的拉力为， 当时，此时石块还在水面上方，故A选项错误，不符合题意； 当时，设函数解析式为， ， 解得：， 拉力与之间的函数表达式为，故B选项错误，不符合题意； 从图象看：当时，石块所受的拉力为，拉力开始不变，此时石块完全浸入水中，故C选项错误，不符合题意； 当时，石块所受的拉力不变， 石块的重力为，， 石块所受浮力不变，故选项D正确，符合题意． 故选：D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11．正比例函数的图象经过点，则 ． 【答案】/ 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是解题关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征即可求解． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点， ∴，解得：， 故答案为：． 12．在平面直角坐标系中，直线与坐标轴围成的三角形的面积是 ． 【答案】50 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知坐标轴上点的坐标特点是解答此题的关键． 分别求出直线与坐标轴的交点坐标，即可求解． 【详解】解：设直线与y轴交于点A，与x轴交于点 当时，， 点A的坐标为， ； 当时，， 解得：， 点B的坐标为， ． 故答案为： 13．已知直线l与直线平行，且经过点，直线l的函数表达式为 ． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象平移问题 【分析】本题考查了两直线平行的问题，熟记两平行直线的解析式的k值相等是解题的关键． 根据两平行直线的解析式的k值相等可设直线的函数表达式为，再把经过的点的坐标代入函数解析式计算求出b，从而得解． 【详解】解：∵直线与直线平行， ∴设直线的函数表达式为， ∵直线经过点， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为． 故答案为：． 14．点都在函数的图象上，若，则 （填“<”“>”或“=”） 【答案】 【知识点】判断一次函数的增减性、比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了正比例函数的性质：当时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大，当时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小． 根据正比例函数，y随x的增大而增减小即可求解． 【详解】解：∵函数的， ∴随着的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 15．点，在一次函数的图象上，当时，，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，掌握一次函数的增减性是解题关键．由题意可知一次函数随的增大而减小，可得，即可求解． 【详解】解：点，在一次函数的图象上，当时，， 随的增大而减小， ， ， 故答案为： 16．若直线经过点，则 （填“”或“”）． 【答案】 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记一次函数的性质是解题的关键．由，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合，即可得出． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， 又∵直线经过点，且， ∴． 故答案为：． 17．已知方程3x＋9＝0的解是，则函数y＝3x＋9与x轴的交点坐标是 ． 【答案】 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【解析】略 18．如图，已知一次函数的图象分别与轴交于两点，若，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴交点求不等式的解集，根据一次函数图象的交点得到，结合图象即可得到不等式的解集． 【详解】解：已知一次函数的图象分别与轴交于两点，若， ∴， 当时，一次函数的图象在轴上方，即， 故答案为： ． 19．如图，若一次函数的图象经过两点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查一次函数与不等式的关系，先找出时，的取值范围，再写出不等式的解集． 【详解】观察图象可得，当时，， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 20．元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载了一个劣马先行的问题，其中良马与劣马行走路程单位：里关于行走时间（单位：日）的函数图象如图所示，则良马的速度比劣马的速度快 里/日． 【答案】90 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．根据函数图象特殊点的坐标解答即可． 【详解】解：由图象可知，劣马从第0日出发，良马从第12日出发．劣马比良马早出发12日， 当时，两直线有交点，代表良马追上劣马，此时良马出发日， 良马行走4800里用了20日，故速度为里/日，劣马行走4800里用了32日，故速度为里/日， 所以良马的速度比劣马的速度快里/日 故答案为： 三、解答题（本大题共5小题，共40分）（本题8分） 21．已知一次函数的图象过点与 (1)求这个一次函数的解析式； (2)若是该函数图象上的两个点，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【知识点】求一次函数解析式、比较一次函数值的大小 【分析】（1）设一次函数解析式为，待定系数法解答即可； （2）利用解析式，代入消去m即可得到结论． 本题考查了待定系数法，加减消元法，熟练掌握方法是解题的关键． 【详解】（1）解：设一次函数解析式为，由条件可得， 解得， 一次函数解析式为； （2）解：理由如下： 由是一次函数图象上的两个点， 故， 故． 22．（本题8分）如图，已知，，点C在y轴正半轴上，． (1)求点C的坐标． (2)求直线的解析式． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式 【分析】本题考查了勾股定理，一次函数等知识，解题的关键是： （1）先求出，然后根据勾股定理求出，即可求解； （2）根据待定系数法求解即可． 【详解】（1）解∶ ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又点C在y轴正半轴上， ∴； （2）解：设直线解析式为， 则， 解得， ∴． 23．（本题8分）一次函数和的图象交于点C，如图所示，且，． (1)不等式的解集是______； (2)若不等式的解集是． ①求点C的坐标； ②写出不等式组时x的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】求一次函数解析式、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式、求一次函数解析式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据函数图象和题意可以直接写出不等式的解集即可； （2）①由题意可以求得k、b的值，根据的解集是，可知点C的横坐标是，进而确定点C的坐标； ②根据点B、C的横坐标，并结合函数图象即可求解． 【详解】（1）解：不等式表示函数函数值大于4，所对应x的取值范围， 所以不等式的解集是． 故答案为． （2）解：①∵点，在一次函数的图象上， 则，解得， ∴一次函数． ∵的解集是， ∴点C的横坐标是， 当时，， ∴点C的坐标为． ②∵，， ∴根据函数图象可得：时，． 24．（本题8分）如图，直线l与x轴、y轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，，点为y轴上一个动点． (1)求点C坐标； (2)求直线的函数表达式； (3)当与面积相等时，求实数a的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义 【分析】（1）过点C作轴，根据等腰直角三角形的性质证明，推出，进而求出，即可得到点C的坐标； （2）由（1）知点C的坐标，利用待定系数法即可求解； （3）利用勾股定理求出，即可求出的面积为，由题意可得，根据，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点C作轴， ∵为等腰直角三角形，且， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点、点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， 设直线的函数表达式为：， 则，解得， ∴直线的函数表达式； （3）解：∵为等腰直角三角形，且，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∵与面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴或． 【点睛】本题考查图形与坐标、一次函数与几何综合、勾股定理、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 25．（本题8分）电影《哪吒之魔童闹海》以传统神话故事为蓝本，在哪吒这一角色身上，淋漓尽致地展现了中国人勇敢无畏的精神力量，这也是中国传统文化旺盛生命力的缩影．同时，该影片还带动了周边文创商品的热销，某商家现购进哪吒、敖丙两种摆件用于销售，已知购进一个哪吒摆件比购进一个敖丙摆件多5元，购进3个哪吒摆件和2个敖丙摆件共需90元． (1)求这两种摆件购进时的单价分别为多少元？ (2)由于销售火爆，商家计划购进这两种摆件共100个，设哪吒摆件购进x个，购进两种摆件共花费y元，求y与x之间的函数关系式． (3)在（2）的条件下，若哪吒摆件的售价为30元/个，敖丙摆件的售价为20元/个，该商家计划购进这两种摆件所花的总费用不超过1900元，且敖丙摆件购进的个数不超过哪吒摆件个数的，要使这两种摆件全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 【答案】(1)哪吒摆件的单价为20元，敖丙摆件的单价为15元； (2)； (3)商家购进哪吒摆件80个，敖丙摆件20个时，所获利润最大，最大利润为900元． 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用和二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式． （1）设哪吒摆件的单价为m元，敖丙摆件的单价为n元，根据购进一个哪吒摆件比购进一个敖丙摆件多5元，购进3个哪吒摆件和2个敖丙摆件共需90元得：，即可解得哪吒摆件的单价为20元，敖丙摆件的单价为15元； （2）由购进哪吒摆件x个，知购进敖丙摆件个，故； （3）设销售两种摆件获得的利润为w元，可得：，又购进这两种摆件所花的总费用不超过1900元，且敖丙摆件购进的个数不超过哪吒摆件个数的，可得，解得：，再根据一次函数性质可得答案． 【详解】（1）设哪吒摆件的单价为m元，敖丙摆件的单价为n元， 根据题意得：， 解得：， 哪吒摆件的单价为20元，敖丙摆件的单价为15元； （2）根据题意得：， ； （3）设销售两种摆件获得的利润为w元， 由题意得， 解得：， 根据题意得， ， 随x的增大而增大， 当时，w取得最大值，最大值为元， 商家购进哪吒摆件80个，敖丙摆件20个时，所获利润最大，最大利润为900元． 能力提升进阶练 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列图象中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数的概念、函数图象识别 【分析】本题主要考查了函数的定义，如果对于一自变量有唯一的一个因变量与它相对应，则是的函数，解决本题的关键是根据函数的定义进行判断． 【详解】解：A选项：由图可知，对于一个自变量有个因变量与它相对应，不是的函数，故A选项符合题意； B选项：由图可知，对于一个自变量有唯一的一个因变量与它相对应，是的函数，故B选项不符合题意； C选项：由图可知，对于一个自变量有唯一的一个因变量与它相对应，是的函数，故C选项不符合题意； D选项：由图可知，对于一个自变量有唯一的一个因变量与它相对应，是的函数，故D选项不符合题意； 故选：A． 2．在中，它的底边是，底边上的高是，则三角形面积，当为定值时，在此式中（    ） A．，是变量，，是常量 B．，，是变量，是常量 C．，是变量，，是常量 D．是变量，，，是常量 【答案】A 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查常量和变量，根据常量就是固定不变的量；变量就是随时变化的量解答即可． 【详解】在三角形面积公式中，当底边为定值时，和均为固定不变的常量。面积随高的变化而变化，因此和是变量 故选：A． 3．小明将一根长为20cm的铁丝制作成一个长方形，则这个长方形的长（）与宽（）之间的数量关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查两个变量之间的关系，读懂题意，熟记长方形周长公式是解决问题的关键．根据长方形的周长公式建立方程，整理即可得到长与宽的数量关系． 【详解】解：由题意，铁丝长度为长方形的周长，即， 将方程整理为关于的表达式，得， 故选：D． 4．已知一次函数，下列结论错误的是（　　） A．函数图象经过第一、二、四象限 B．函数图象经过点 C．函数图象可由直线向下平移个单位长度得到 D．若点，在此函数图象上，则 【答案】C 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象平移问题、判断一次函数的增减性、比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的性质，平移规律，函数值比较进行分析即可，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：、由，， ∴图象经过第一、二、四象限，原选项正确，不符合题意； 、当时，，故图象经过点，原选项正确，不符合题意； 、函数由向上平移个单位得到，而非向下平移，原选项错误，符合题意； 、∵， ∴随增大而减小， ∵， ∴，原选项正确，不符合题意； 故选：． 5．直线经过第一、二、四象限，则直线的图象只能是图中的（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】先根据直线经过的象限，确定、的正负性，再据此判断直线经过的象限。本题主要考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数（、为常数，）中、对函数图象的影响是解题的关键。 【详解】解：∵直线经过第一、二、四象限， ∴，， ∴直线的图象经过第一、三、四象限， 故选：D 6．设，关于x的一次函数，当时y的最大值是（   ） A． B． C．k D． 【答案】C 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查一次函数的增减性，解题关键是根据图象情况比较得到的两个值的大小．根据题意得出，则一次函数中随的增大而减小，将代入解析式，即可求解． 【详解】解：∵ 又，则， ∴y随着x增大而减小， 又∵， ∴当时，y取得最大值，最大值为， 故选：C． 7．如图，一次函数（为常数，且）与正比例函数（k为常数，且）的图象交于点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次方程的关系，掌握数形结合思想是解题的关键． 由的函数图象与函数的图象相交交点坐标横坐标为，从而可得到方程的解． 【详解】解：∵从图象可看出的函数图象与函数的图象相交的交点坐标横坐标为， ∴方程的解是． 故选：A． 8．一辆轿车和一辆货车同时从甲地出发驶往乙地，轿车到达乙地后立即以另一速度返回甲地，货车到达乙地后停止，货车、轿车离甲地的距离（千米）与轿车所用时间（小时）的关系如图所示，则下列结论错误的是（    ）． A．甲、乙两地相距90千米 B．轿车返回的速度为每小时90千米 C．两车在出发小时后相遇 D．货车到达乙地时，轿车离乙地18千米 【答案】D 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据函数图象中的数据，可以计算出货车的速度已经轿车返回时的速度，然后即可计算出相遇处到甲地的距离． 【详解】解：由图象可得：甲乙两地相距90千米，故A选项正确，不符合题意； 货车的速度为：（千米/小时）， 轿车返回时的速度为：（千米/小时），故B选项正确，不符合题意； 设当轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇时，货车行驶的时间为a小时， ， 解得：，故C选项正确，不符合题意； 当货车到达乙地时，， 此时轿车离乙地的距离为（千米），故D错误，符合题意； 故选：D． 9．如图，直线分别与x轴、y轴交于点A，B，点C在线段上，线段沿翻折，点O落在边上的点D处，以下结论：①；②直线的函数表达式为；③点D的坐标为．其中正确的结论是（  ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】B 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征和折叠的性质． 先利用直线的解析式确定点，，则利用两点间的距离公式可计算出，则可对①进行判断；设，则，根据折叠的性质得到，，所以，在中利用勾股定理得到，解方程得到，接着利用待定系数法求出直线BC的解析式为，则可对②进行判断；过D点作于H点，如图，利用面积法求出，再利用勾股定理计算出，从而得到，所以D点坐标为，于是可对③进行判断． 【详解】解：当时，， 解得， ， 当时，， ， ，所以①正确； 设，则， 线段沿翻折，点O落在边上的点D处， ，， ， 在中，， 解得， ， 设直线BC的解析式为， 把，分别代入得， 解得， 直线的解析式为，所以②正确； 过D点作于H点，如图， ，，， ∴， ∴， ∴， ， ， ， 点坐标为，所以③错误． 故选：B 10．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，过点作轴，交直线于点；过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点；过点作，交轴于点；…；按此作法进行下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】点坐标规律探索、一次函数的规律探究问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、点的坐标的变化规律，解答本题的关键是明确题意，发现题目中坐标的变化规律，求出相应的点的坐标．根据题意可以求得点的坐标，点的坐标，点的坐标，然后即可发现坐标变化的规律，从而可以求得点的坐标． 【详解】解：∵，轴，点在直线上， ∴点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， 同理得：，，…；按此作法进行下去，则， ∴． 故选：B． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11．请你写出一个符合下面两个条件的函数：（1）函数图象是一条经过原点的直线；（2）因变量y随自变量x的增大而减小．这个函数的表达式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，写出一个比例系数是负数的正比例函数解析式即可． 【详解】解：由题意得，符合题意的函数表达式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 12．一次函数的图象经过点，则该函数经过第 象限． 【答案】一、二、四 【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查一次函数的性质，掌握一次函数性质与系数关系是解题关键．本题先将已知点代入一次函数解析式求出的值，再根据和的正负判断函数图象经过的象限，进而确定不经过的象限． 【详解】解：一次函数的图象经过点 把，代入得： 解得： 一次函数为： ， 该函数经过第一、二、四象限． 故答案为：一、二、四． 13．已知与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C，D分别是，中点，点P为上动点，当周长最小时，点P的坐标为 ． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、坐标与图形变化——轴对称、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象、最短路线问题．作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，根据中点坐标公式求出、点的坐标，再求出直线的解析式，再求出与轴的交点坐标即可． 【详解】解：令，则；令，则； ∴，， 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，如图所示： ， ，即当三点共线时，的值最小， 长为定值， 当的值最小时，周长最小， ，，点，分别是，的中点， ，， ， 设直线为，把，， 代入得，解得， ， 令，， ， 故答案为：． 14．在平面直角坐标系中，点是函数的图象上的一点，将函数的图象向左平移4个单位长度，平移后，点的对应点为点，若点，关于轴对称，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象平移问题、坐标与图形变化——轴对称 【分析】设，则，根据点，关于轴对称，得到，解答即可． 本题考查了一次函数的平移，轴对称，熟练掌握平移性质，对称特点是解题的关键． 【详解】解：根据题意，设，则， ∵点，关于轴对称， ∴， 解得． 故． 故答案为：． 15．一次函数与的图象如图所示，则下列结论：①；②；③的值每增加，的值增加；④．其中正确的是 ． 【答案】①②③ 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、判断一次函数的增减性、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与系数的关系，数形结合是解题的关键． 根据函数图象直接得到，，，，进一步即可得到；根据当时，，即可求得；求得，根据解析式即可求得的值每增加，的值增加；当时，根据图象得不等式． 【详解】解：由图象可得：，，，， ，， ，故正确； 一次函数与的图象的交点的横坐标为， ， ，即，故正确； ，， ， ， ， 的值每增加，的值增加，故正确； 当时，，，由图象可知， ，故错误． 故答案为：． 16．已知点和点是图象上的两个点，则与 的大小关系 ． 【答案】/ 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题主要考查一次函数的性质，掌握一次函数的增减性，是解题的关键． 先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再由即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴一次函数中，y随着x的增大而减小． ∵点和点是函数图象上的两个点，， ∴． 故答案为：． 17．一次函数中变量与的部分对应值如下表所示． ．．． ．．． ．．． ．．． 给出下面四个结论： ①； ②一次函数的图象不经过第三象限； ③关于的方程的解是； ④关于的不等式的解集是； 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】②④/④② 【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数解析式判断其经过的象限、已知直线与坐标轴交点求方程的解、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．先求出该一次函数解析式为，再根据一次函数的图象和性质，可判断①、②、③，又，随的增大而减小，当时，，即可判断④，即可求解． 【详解】解：根据题意得：当时，，当时，， ∴方程的解为，故③错误； ，解得：， ∴该一次函数解析式为， ∴，随的增大而减小，图象经过一、二、四象限，不经过第三象限，故①错误、②正确； ∵，随的增大而减小，当时，， ∴关于的不等式的解集是，故④正确， 故答案为：②④ 18．如图，在一次自行车越野赛中，甲、乙两名选手所走的路程（千米）随时间（分钟）变化的图象（全程）分别用图中的实线（）与虚线（）表示，那么，在本次比赛过程中，乙领先甲时的的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】根据待定系数法求出甲，乙的解析式，联立方程组求得交点坐标，解答即可． 本题考查了一次函数的应用问题，解题的关键是看懂函数图象并掌握待定系数法求一次函数解析式的方法． 【详解】解：设乙的解析式为，根据题意，得，解得， 故解析式为； 设甲的解析式为，根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为， 根据题意，得， 解得； 设甲段的解析式为，根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为， 根据题意，得， 解得； 根据题意，得， 故答案为：． 19．如图，在平面直角坐标系中，点 在轴正半轴上，点在轴正半轴上，，若直线与线段有公共点，则 的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据直线可得，当时，，直线与轴交点为，从而可求出的取值范围，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由直线可得，当时，， ∴直线与轴交点为， ∵点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，直线与线段有公共点， ∴的取值范围是， 故答案为：． 20．如图，已知一次函数的图象与y轴，x轴分别交于点A、B．    （1）若点在函数图象上，则 ； （2）若，则点B的坐标为 ； （3）一次函数的图象与正比例函数的图象交于点．点P在x轴上，当为直角三角形时，点P的坐标为 ． 【答案】 或 【知识点】求一次函数解析式、求直线围成的图形面积、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）将点代入即可得到k的值； （2）利用解析式求出点A的坐标，再根据面积即可得到点B的坐标； （3）利用点C的坐标求出一次函数的解析式，再根据等腰直角三角形的性质分两种情况：当时，当时，分别求解． 【详解】解：(1)∵点在函数的图象上， ∴， 得， 故答案为：； (2)令中，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (3)将代入，得， ∴， ∴， 当时，点P的横坐标为，即； 当时， 将点代入， ∴， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， 过点C作于点E，    ∴， ∴点P的横坐标为， ∴， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了一次函数与正比例函数的综合应用，待定系数法求解析式，一次函数与图形面积问题，等腰直角三角形的性质，熟练掌握一次函数的综合知识是解题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，共40分） 21．（本题8分）已知函数和． (1)在同一个平面直角坐标系中画出这两个函数的图象； (2)根据图象，写出它们的交点坐标：_______； (3)求两直线与轴围成的三角形面积．_______ 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、画一次函数图象、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了画一次函数的图象，一次函数图象的交点问题； （1）分别令求出的值，令求出的值，再分别描出此两点，画出函数图象即可； （2）由两函数图象的交点可直接写出交点坐标； （3）根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：令，， 令，则， 经过点和； 令， ， 令，则， 经过点和； 描点，连线，如图所示： （2）由（1）中两函数图象可知，其交点坐标为； 故答案为：． （3）两直线与y轴围成的三角形面积为： 故答案为：． 22．（本题8分）已知一次函数的图象过，两点，且与轴交于点． (1)求此一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)已知点在轴上，若使的值最小，求点的坐标． 【答案】(1)此一次函数的解析式为； (2)； (3)点的坐标为． 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，轴对称—最短路线问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （）把，代入，利用待定系数法即可求出此一次函数的解析式； （）根据一次函数解析式求出点的坐标，再根据即可求解； （）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，根据两点之间线段最短得出此时的值最小，利用待定系数法求出直线的解析式，进而求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：把，代入， 得， 解得， ∴此一次函数的解析式为； （2）解：由一次函数得，令，得到， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，根据两点之间线段最短得出此时的值最小， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ∴当时，， 解得， ∴点的坐标为． 23．（本题8分）如图1，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯．甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度（单位：）与下行时间（单位：）之间具有函数关系，乙离一楼地面的高度（单位：）与下行时间（单位：）的函数关系如图2所示． (1)求关于的函数解析式 (2)请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面． (3)在到达一楼地面之前是否存在某一时刻两人竖直高度相差1米，若存在求出此时的下行时间，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)甲先到达一楼地面 (3)当下行10秒或25秒时两人竖直高度相差1米． 【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想进行求解； （1）根据函数图象中的数据，利用待定系数法可以得到关于的函数解析式； （2）分别令和求出相应的的值，然后比较大小即可求解． （3）分情况解答即可． 【详解】（1）解：设， 将代入其中，得 ， 解得：， ； （2）解：当时，，得， 当时，，得， ， 甲先到达一楼地面； （3）解：存在，因为甲、乙两人从二楼同时下行，甲先到达地面． ①当， 解得，， ②当 时， 解得，， 当下行10秒或25秒时两人竖直高度相差1米． 24．（本题8分）某环保品牌主营有机棉T恤（T恤）和再生涤纶短裤（短裤），短裤利润每条60元，T恤利润每件58元，利润售价成本． (1)若一次性购进这两种商品共800件/条，设购进T恤件，且．总利润元需不低于20000元． ①写出与函数关系式； ②写出获利最大的方案； (2)因局部变革，在这两种商品售价维持稳定不变、短裤成本价维持稳定不变的情况下，T恤成本价每件下降元（），若准备一次性购进这两种商品共600件/条（其中购进T恤件数不少于300件不多于500件），总利润最小值不低于35600元，求值． 【答案】(1)①；②T恤数量为0，短裤数量为800条时，获利最多，获利最大值为48000 (2) 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，不等式的应用，掌握一次函数的性质是解题关键． （1）①设购进T恤件，则购进短裤条，根据题意求函数关系式即可； ②利用一次函数的增减性求解即可； （2）设购进T恤件，则购进短裤条，根据题意得出，分三种情况讨论，利用一次函数的增减性以及不等式求解，得出，即可得到值． 【详解】（1）解：①设购进T恤件，则购进短裤条， 则， 总利润元需不低于20000元， ， ， ； ②， 随的增大而减小， ， 当时，有最大值， 即T恤数量为0，短裤数量为800条时，获利最多，获利最大值为48000． （2）解：设购进T恤件，则购进短裤条， 依题意得：， 当，即时，y随x的增大而增大， ， 当时，y有最小值为； 当，即时，； 当，即时，y随x的增大而减小， 当时，y有最小值为， 解得：， ， ， ． 25．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点，，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． (1)的长为______，点D的坐标是______． (2)求点C的坐标； (3)点M是y轴上一动点，若，求出点M的坐标； (4)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5， (2) (3)为或 (4)第一象限内存在点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【知识点】一次函数与几何综合、全等三角形综合问题、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（1）根据勾股定理可得，根据轴对称的性质可得，则可得，进而可得； （2）设，则，在中,根据勾股定理列方程求出x的值，即可得C点的坐标． （3）设，则，根据列方程求出m的值，即可得到点M的坐标； （4）分三种情况讨论：①当，；②当，；③当，，根据全等三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ，， ， ∵将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． ， ． 故答案为：5，． （2）解：，则， 在中, ， ∴， 解得， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ， ， ， ∴， 解得，． ∴M点的坐标为或． （4）解：存在，理由如下： ①当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点P作轴于G点, 则， ∵， ∴， 又∵ ， 在和中， ， ， ，， ． ∴P点的坐标为． ②当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点P作轴于H点， 同理得， ，， ∴P点的坐标为． ③当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点P作轴于点M，轴于点N， 则， ∴， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 设点P的坐标为，， 则，，， 解得：， ∴点P的坐标为． 综上可知，第一象限内存在点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，绝对值方程，作辅助线构造全等三角形，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 2 / 88 学科网（北京）股份有限公司 $$