精品解析：2025年湖北省武汉市七一华源中学九年级下学期6月中考模拟数学试卷

2024-2025学年度六月中考模拟九年级数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列事件中，必然事件是（ ） A. 掷一次骰子，向上一面的点数是3 B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 任意画一个三角形，其内角和是180° 3. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 国家统计局2024年4月16日发布数据，今年第一季度国内生产总值接近亿元，同比增长，国家高质量发展取得新成效．将数据用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线，的直角顶点在直线上，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 第一个盒子有2个白球，1个黄球，第二个盒子有1个白球，1个黄球，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个盒子中随机取出1个球，那么取出的2个球中1个白球1个黄球的概率是（　　） A. B. C. D. 8. 两人分别骑自行车、摩托车沿相同路线，先后由地抵达地，、两地相距．请结合图象判断下列结论，其中错误的是（ ） A. 摩托车的平均速度是 B. 自行车比摩托车早出发2小时 C. D. 9. 如图，将弧沿弦翻折恰好过圆心点，点为弧的中点，的半径为3，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 10. 我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，如图，这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）： 请依据上述规律判断：若今天是星期三，则经过天后是（　　） A. 星期四 B. 星期五 C. 星期六 D. 星期天 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若某商品每件涨价10元记作+10元，那么该商品每件降价8元记作 _____元． 12. 反比例函数的图像与点的位置如图，写出一个与图相符的反比例函数解析式为_____． 13. 计算的结果是__________． 14. 某商场从安全和便利的角度出发，为提升顾客的购物体验，准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式，如图，已知商场的层高为，坡角为，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角，请你计算改造后的自动扶梯增加的占地长度_____（结果精确到，参考数据：，，） 15. 如图，点为矩形边的中点，点在边上，且，将沿翻折得到，延长交边于点，且，则___________． 16. 对于函数，有以下结论： ①函数图像为轴对称图形，对称轴是轴； ②当时，函数有最小值； ③若函数图像与轴有3个交点，； ④若关于方程有4个实数根，则； ⑤若图像上有两点，当时，，则． 其中正确的结论是___________．（填写序号） 三、解答题（共8题，共72分） 17. 求不等式组的整数解． 18. 如图，点，分别在的边，上，，连接，．请从以下三个条件：①；②；③中，选择一个合适的作为已知条件，使为菱形． （1）你添加的条件是______（填序号）； （2）添加了条件后，请证明为菱形． 19. 某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：组（）、组（）、C组（）、组（），并绘制出如图不完整的统计图． （1）被抽取的学生一共有___________人；并把条形统计图补完整；所抽取学生成绩的中位数落在___________组内； （2）若该学校有1200名学生，估计这次竞赛成绩在D组的学生有多少人？ （3）根据以上调查数据，简要谈谈你关于该校学生“交通法规”掌握情况的看法，并结合自己的实际，对同学们提一条遵守“交通法规”的建议（字数不超过30个字）． 20. 如图， 中，，是角平分线，以为圆心，为半径的交． （1）求证：是的切线； （2）若，求的值． 21. 如图是由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点在格点上，仅用无刻度直尺在给定网格中画图，按步骤完成下列问题，每个作图任务不超过三条线： （1）在图1中，先将线段绕点逆时针旋转得到线段；再在边上找一点，使． （2）在图2中，先作的角平分线；再在边上找点使得． 22. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙（无需篱笆）的矩形菜园，并且中间用篱笆隔开，，墙长，设，矩形面积为． （1）关于的函数解析式为___________（写化简后结果），的取值范围是_________； （2）求菜园面积的最大值，并求此时的长； （3）在（2）的前提下，若将矩形和矩形分别种植甲、乙两种农作物．甲农作物的年收入（单位：元）与种植面积（单位：）的函数关系式为，乙农作物的年收入（单位：元）与种植面积（单位：）的函数关系式为，两种农作物年收入之和不小于8918元，并且乙农作物的种植面积不小于甲农作物的种植面积的两倍．设，求的取值范围． 23. （1）如图1，在正方形中，点是边上一点，且点不与点、重合，点是的延长线上一点，且． ①求证：； ②如图2，连接，交于点，交于点，连接．若，求的长． （2）如图3，在正方形中，点在边上，且，点为边上的动点，连接，过点作，交射线于点，则___________．（用含有的式子表示） 24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、两点，与轴交于点，顶点的坐标为，点是第一象限抛物线上的一动点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图2，连接，，，线段与相交于点，设，求出的最大值； （3）如图3，点为第四象限抛物线上的另一动点，连接交轴于点，线段与轴的交点记为G，，试探究直线是否过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度六月中考模拟九年级数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用轴对称图形的概念可得答案． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 2. 在下列事件中，必然事件是（ ） A. 掷一次骰子，向上一面的点数是3 B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 任意画一个三角形，其内角和是180° 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键．根据必然事件、随机事件的意义进行判断即可． 【详解】解：A．掷一次骰子，向上一面的点数是3，是随机事件，不符合题意； B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件，不符合题意； C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意； D．任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意． 故选：D． 3. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据从正面所看得到的图形为主视图，据此解答即可． 【详解】解：从正面可发现有两层，底层三个正方形，上层的左边是一个正方形． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图成为解答本题的关键． 4. 国家统计局2024年4月16日发布数据，今年第一季度国内生产总值接近亿元，同比增长，国家高质量发展取得新成效．将数据用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：C． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，涉及同底数幂相乘、完全平方公式、积的乘方、同底数幂相除的法则． 根据以上法则逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】解： A、，该选项错误，不符合题意； B、，该选项错误，不符合题意； C、，该选项正确，符合题意； D、，该选项错误，不符合题意； 故选：C． 6. 如图，直线，的直角顶点在直线上，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角定理，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由平行结合三角形的外角得到，求出的度数，再由直角三角形锐角互余求出． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 7. 第一个盒子有2个白球，1个黄球，第二个盒子有1个白球，1个黄球，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个盒子中随机取出1个球，那么取出的2个球中1个白球1个黄球的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用画树状图法或列表法计算概率． 本题考查了画树状图法或列表法求概率，熟练运用画树状图法或列表法求概率是解题的关键． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中一白球一黄球的可能性有3种， 所以抽中1个白球1个黄球的概率是． 故选：C． 8. 两人分别骑自行车、摩托车沿相同路线，先后由地抵达地，、两地相距．请结合图象判断下列结论，其中错误的是（ ） A. 摩托车的平均速度是 B. 自行车比摩托车早出发2小时 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，用待定系数法求出一次函数解析式，借助函数图象来求解是解答关键．从函数图象可求出摩托车的速度，可判断A；从函数图象可知自行车比摩托车早出发两小时来求解，可判断B；先求出摩托车的解析式和自行车的解析式，再求出它们的交点横坐标即可求解，可判断C、D． 【详解】解：A．由图象可知，摩托车的速度是，故此项不符合题意； B．由图像可知，自行车比摩托车早出发2小时，故此项不符合题意； C．设摩托车的解析式为， 将点和代入得， 解得， 设自行车的解析式为， 将点代入得， 所以自知行车的解析式为， 由题意可知，当摩托车与自行车相遇时：， 解得：， 则，故此项符合题意； D．由上可知，故此项正确，不符合题意． 故选：C． 9. 如图，将弧沿弦翻折恰好过圆心点，点为弧的中点，的半径为3，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先结合题意，得出，，，则，再证明，故图中阴影部分的面积为，即可作答． 【详解】解：连接，与的交点为，连接, ∵将弧沿弦翻折恰好过圆心点， ∴， ∵点为弧的中点， ∴， ∴，，， 即， ∴， ∴， 故图中阴影部分的面积为， 故选：C． 【点睛】本题考查了求不规则的面积，解直角三角形的相关性质，扇形面积，全等三角形的判定与性质，垂径定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 10. 我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，如图，这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）： 请依据上述规律判断：若今天是星期三，则经过天后是（　　） A. 星期四 B. 星期五 C. 星期六 D. 星期天 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是理解清楚所给的规律，求得的余数．结合一个星期7天，即相应的尾数是7个数一循环，利用所给的规律求得天的尾数即可判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴的余数为：1， 即的余数为：1， ∴若今天是星期三，则经过天后是星期四． 故选：A． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若某商品每件涨价10元记作+10元，那么该商品每件降价8元记作 _____元． 【答案】-8 【解析】 【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案． 【详解】解：若某商品每件涨价10元记作+10元，那么该商品每件降价8元记作﹣8元． 故答案为：﹣8． 【点睛】本题考查了具有相反意义的量，掌握具有相反意义的量的概念是解题的关键． 12. 反比例函数的图像与点的位置如图，写出一个与图相符的反比例函数解析式为_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查根据反比例函数图形的性质求反比例函数解析式，根据图形可知当时，，把点代入解析式即可求得答案； 【详解】解：由题意可知： 当时，， ∴， 故只需取一个符合的数即可，答案为： 13. 计算的结果是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的加减法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 将原式变形后利用分式的加减法则计算，然后约分即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 14. 某商场从安全和便利的角度出发，为提升顾客的购物体验，准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式，如图，已知商场的层高为，坡角为，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角，请你计算改造后的自动扶梯增加的占地长度_____（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】m##10.3米 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据含角的直角三角形的性质求出，，根据正切的定义求出，再计算即可． 【详解】解：在中，，， ， ， 在中，，， ， 则， 答：改造后的自动扶梯增加的占地长度的长约为 15. 如图，点为矩形边的中点，点在边上，且，将沿翻折得到，延长交边于点，且，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，延长交于点，连接．设，求出可得结论． 【详解】解：如图，延长交于点，连接． ， ∴设， ， ∵四边形是矩形， ， ∵点为矩形边的中点， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴，， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ∴，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． 16. 对于函数，有以下结论： ①函数图像为轴对称图形，对称轴是轴； ②当时，函数有最小值； ③若函数图像与轴有3个交点，； ④若关于方程有4个实数根，则； ⑤若图像上有两点，当时，，则． 其中正确的结论是___________．（填写序号） 【答案】①③④⑤ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，包括对称性、最值、与坐标轴的交点以及方程根的情况．解题的关键是根据函数的性质逐一分析每个结论．①对于函数，函数与轴交点是，当时，，其图象开口向上，对称轴为，最小值为；当时，，其图象开口向上，对称轴为 ，最小值为，即可判断①．当时，函数，当时， ，其图象开口向上，对称轴为，此时的最小值为；当时， ，其图象开口向上，对称轴为，此时的最小值为，即可判断②．函数与轴有 3 个交点，即方程有 3 个不同的实数根，当时，方程为；当时，方程为；因为函数图象关于轴对称，所以其中一个方程有一个根为 0 ，另一个方程有两个非零根．当时，代入得0 ，求出，即可判断③．方程有 4 个实数根，即函数与直线有 4 个交点，要使函数与直线有 4个交点，则，即可判断④．因为函数在时，，对称轴为，在时，随的增大而减小；在时，，对称轴为，在时，随的增大而减小；结合当时，，即可判断⑤． 【详解】①对于函数， 函数与轴交点是， 当时，，其图象开口向上，对称轴为，最小值为； 当时，，其图象开口向上，对称轴为 ，最小值为． 所以函数的图象关于轴对称，故①正确． ②当时，函数， 当时， ，其图象开口向上，对称轴为，此时的最小值为； 当时， ，其图象开口向上，对称轴为，此时的最小值为． 所以当时，函数的最小值是，不是，故②错误． ③函数与轴有 3 个交点，即方程有 3 个不同的实数根， 当时，方程为；当时，方程为； 因为函数图象关于轴对称，所以其中一个方程有一个根为 0 ，另一个方程有两个非零根． 当时，代入得0 ， 此时方程，即， 解得：，满足与轴有 3 个交点，故③正确． ④方程有 4 个实数根，即函数与直线有 4 个交点， 当时，，其图象开口向上，对称轴为，最小值为； 当时，，其图象开口向上，对称轴为 ，最小值为． 函数与轴交点是， 要使函数与直线有 4个交点，则，故④正确． ⑤当时，． 因为函数在时，，对称轴为，在时，随的增大而减小； 在时，，对称轴为，在时，随的增大而减小； 所以当时，， 则，且到的距离小于到1的距离， 当时，或， 则结合图象可得，时，，故⑤正确． 综上，正确的结论是①③④⑤． 故答案为：①③④⑤． 三、解答题（共8题，共72分） 17. 求不等式组的整数解． 【答案】，，，． 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组及求其整数解，解题的关键是：掌握解一元一次不等式组的基本步骤及理解整数的定义． 求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 先解不等式组，求出解集，再找出整数解即可． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集是， 是整数， 的取值是：，，，． 18. 如图，点，分别在的边，上，，连接，．请从以下三个条件：①；②；③中，选择一个合适的作为已知条件，使为菱形． （1）你添加的条件是______（填序号）； （2）添加了条件后，请证明为菱形． 【答案】（1）① （2） 证明：（添加的条件是） ∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为菱形． （添加条件 ） ∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为菱形． 【解析】 【分析】（1）添加合适的条件即可； （2）证，得，再由菱形的判定即可得出结论． 【小问1详解】 解：添加的条件是（或）． 故答案为：①（或③）． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键． 19. 某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：组（）、组（）、C组（）、组（），并绘制出如图不完整的统计图． （1）被抽取的学生一共有___________人；并把条形统计图补完整；所抽取学生成绩的中位数落在___________组内； （2）若该学校有1200名学生，估计这次竞赛成绩在D组的学生有多少人？ （3）根据以上调查数据，简要谈谈你关于该校学生“交通法规”掌握情况的看法，并结合自己的实际，对同学们提一条遵守“交通法规”的建议（字数不超过30个字）． 【答案】（1）90，C，补全图形见解答 （2）320名 （3）答案不唯一，合理即可 【解析】 【分析】此题主要考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．解题的关键是根据直方图得到进一步解题的有关信息． （1）由组人数及其所占百分比求出总人数，根据四个等级人数和等于总人数求出组人数，即可补全图形，再根据中位数的定义求解即可； （2）总人数乘以样本中组人数所占比例即可； （3）答案不唯一，合理即可． 【小问1详解】 解：被抽取的学生一共有（人）， 组人数为（人）， 补全图形如下： 90个数据，中位数是第45和第46个数的平均数，， 第45和第46个数都在组， 故所抽取学生成绩的中位数落在组， 故答案为：90， C； 【小问2详解】 解：（名）， 答：估计这次竞赛成绩在组的学生有 320 名； 【小问3详解】 解：由以上数据知，80分以下人数所占百分比约，仍有不少学生交通知识掌握不足，建议过马路时集中观察信号灯与车流，走斑马线不追逐． 20. 如图， 中，，是角平分线，以为圆心，为半径的交． （1）求证：是的切线； （2）若，求的值． 【答案】（1） 证明：如图，作于点H， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）作于点H，由平分，得，可知点D到的距离等于的半径长，即可证明是的切线； （2）设，根据勾股定理得到，求得根据三角形的面积公式得到，根据三角函数的定义得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴设，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题重点考查圆的切线的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、根据面积等式求线段长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 21. 如图是由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点在格点上，仅用无刻度直尺在给定网格中画图，按步骤完成下列问题，每个作图任务不超过三条线： （1）在图1中，先将线段绕点逆时针旋转得到线段；再在边上找一点，使． （2）在图2中，先作的角平分线；再在边上找点使得． 【答案】（1） 解：线段，点如图所示： （2） 解：角平分线，点如图所示： 【解析】 【分析】（1）旋转得到的与网格交点记为T，连接，则与记为点，结合网格的特征易知，，根据旋转的性质得，，即，在中，，即可作答． （2）观察，与网格的关系，故，得出，结合网格特征得出，则，因为，则即运用等腰三角形的性质，点在的垂直平分线上，故结合网格特征，作出的垂直平分线，与的交点即为点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 22. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙（无需篱笆）的矩形菜园，并且中间用篱笆隔开，，墙长，设，矩形面积为． （1）关于的函数解析式为___________（写化简后结果），的取值范围是_________； （2）求菜园面积的最大值，并求此时的长； （3）在（2）的前提下，若将矩形和矩形分别种植甲、乙两种农作物．甲农作物的年收入（单位：元）与种植面积（单位：）的函数关系式为，乙农作物的年收入（单位：元）与种植面积（单位：）的函数关系式为，两种农作物年收入之和不小于8918元，并且乙农作物的种植面积不小于甲农作物的种植面积的两倍．设，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）菜园面积的最大值为，此时的长为 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，根据实际问题抽象出数学模型是解题的关键． （1）设，则，根据可得解析式，根据可得的取值范围； （2）将（1）中解析式化为顶点式，结合的取值范围求最值； （3）设，则，用含a的式子表示出矩形和矩形的面积，再根据，“乙农作物的种植面积不小于甲农作物的种植面积的两倍”，列出关于a的不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：由题意知，，且， 解得， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：， 对称轴为直线，开口向下，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ， 当时，取最大值，最大值为：， 此时， 即菜园面积的最大值为，此时的长为； 【小问3详解】 解：设，则， 矩形的面积为，矩形的面积为， ， ， 由题意得：， 即， 化简得， 解得， 乙农作物的种植面积不小于甲农作物的种植面积的两倍， ， 解得， 的取值范围为． 23. （1）如图1，在正方形中，点是边上一点，且点不与点、重合，点是的延长线上一点，且． ①求证：； ②如图2，连接，交于点，交于点，连接．若，求的长． （2）如图3，在正方形中，点在边上，且，点为边上的动点，连接，过点作，交射线于点，则___________．（用含有的式子表示） 【答案】（1）①证明：∵四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ． ②；（2） 【解析】 【分析】（1）①证明．得出； ②证明，过点作，交于点，证明，得出，证明，得出，则可得出答案； （2）过点作，交的延长线于点．证明，得出，则可得出答案． 【详解】（1）①略 ②解：∵， ， ， ， 过点作，交于点， ∵， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：过点作，交的延长线于点． ， ， ， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的性质和判定，勾股定理，相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，并正确作出辅助线． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、两点，与轴交于点，顶点的坐标为，点是第一象限抛物线上的一动点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图2，连接，，，线段与相交于点，设，求出的最大值； （3）如图3，点为第四象限抛物线上的另一动点，连接交轴于点，线段与轴的交点记为G，，试探究直线是否过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）直线过定点． 【解析】 【分析】（1）由待定系数法求解即可． （2）求出A，B，C点的坐标，再用待定系数法求出的解析式，设，过点P作轴交于点G，过点A作轴交于点H． 则，，利用两点之间的距离求出，，再由平行线的性质可得出，利用三角形等高可得出，最后利用二次函数的性质求最值即可． （3）设直线的解析式为，，，用m表示的长，用n表示的长，设直线的解析式为，直线的解析式为，可分别得出，，，，由即，进一步即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于A、两点，与轴交于点，顶点的坐标为， ∴， ∴，， 解得：，， ∴抛物线的函数表达式为： 【小问2详解】 ∵ ∴，， ∴，， 另，则， ∴点， 设的解析式为：， ∴， 解得： ∴的解析式为：． 设， 过点P作轴交于点G，过点A作轴交于点H． ∴，， ∴，， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， 当时，w有最大值为； 【小问3详解】 直线过定点，理由如下∶ 设直线的解析式为，，， 当时， 整理得： ，， ∵交轴于点，线段与轴的交点记为G， 设的长为m，用表示的长为n， ∴设直线的解析式为，直线的解析式为， 当时， 整理得： ，， 当时， 整理得∶ ， ，， ∵， ∴， ∴， 整理得，， ∴直线经过点． 【点睛】本题主要考查了二次函数与面积综合，二次函数的图像和性质，二次函数的解析式以及一次函数的解析式．平行线的性质等知识，此题运算量大，准确计算是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $