精品解析：2025年河北省邯郸市第二十五中学中考五模数学模拟试卷

邯郸第二十五中学第五次模拟考试 数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各式的计算结果为负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列几何体都是由个大小相同的小正方体组成的，其中主视图与左视图相同的几何体是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，能确定的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 如图在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点，若点的对应点，则的面积与的面积之比是（ ） A. B. C. D. 7. 已知一元二次方程的两个根是，，则的值是（ ） A. B. 2 C. D. 1 8. 如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，，则（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 10. 如图，点O，I分别是的外心和内心，连接，．若，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，点是反比例函数图象上的一点，点是x轴正半轴上任意一点，将点A绕点M顺时针旋转得到点B，连接．无论m取何值时，点B始终在某个函数图象上，这个函数图象所对应的表达式为（　　） A. B. C. D. 12. 已知二次函数与的图像均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图像如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图像交于，两点．给出下列结论： ①； ②； ③以，，，为顶点的四边形可以为正方形； ④若点的横坐标为，点在轴上（，，三点不共线），则周长的最小值为． 其中，所有正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 计算：________． 14. 已知圆锥的底面半径为5，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为_____________． 15. 如图，已知，依此规律，则点的坐标为_______． 16. 如图，在正方形中，，点E是延长线上一点，且，点F为线段上一动点，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，，则的最小值是___________ ，此时的长为_____ ． 三、解答题 17. 如图，几个写有数字和运算符号的小球用实线、虚线穿在了一起，甲，乙两人分别沿实线和虚线将数x按照小球上面标记以及小球穿线的顺序进行计算，得到的结果分别为M和N． （1）当x为2时，求N的值； （2）若M与N的差等于，求x值． 18. 如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”，如分式，，．则M与N互为“和整分式”，“和整值”． （1）已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； （2）已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，求G． 19. 在中考实验操作考试结束后，我校某班随机抽取了一个小组的物理实验操作考试成绩进行了统计，结果如下： 分值 人数 男生 女生 8分 1人 0人 9分 1人 3人 10分 3人 2人 （1）本次成绩的平均分为 ，中位数为 ，众数为 （2）学霸朱朝阳计算了本组数据的方差，算法如下： ，其中 ； ； （3）现准备从得分为9分的4名同学中抽取两名同学谈失分感悟，以警醒学弟学妹，请用列表法或树状图求出选取的两名同学均为女生的概率． 20. 如图，这是一辆自卸式货车的平面示意图，矩形货厢的宽，．卸货时，货厢绕点处的转轴旋转．点处的转轴与后车轮转轴（点处）的水平距离叫做安全轴距，测得该车的安全轴距为，货厢对角线，的交点可视为货厢的重心，卸货时发现，当，两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆事故． （1）求的长． （2）若．请通过计算判断该货车是否会发生车辆倾覆事故．（参考数据：，，） 21. 在平面直角坐标系中，已知点（m为常数），直线L经过点、点． （1）当点M落在直线L上时，求点M的坐标及的面积； （2）当点O，M之间距离最小时，求此时点M的坐标； （3）当时，对于m的每一个值，点M都在直线的上方，直接写出k的取值范围． 22. 音乐课上，老师带领同学们自制弹拨乐器，将空心不带盖的塑料圆管放置在水平台面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定（图），图为其截面示意图，半径为的与水平台面相切于点，点在上，两木块之间的距离． （1）直接写出的度数； （2）求长方体木块的高； （3）如图，弦交于，且． 操作：将塑料圆管沿切割取下面的部分，得到图中的型塑料管，将拨弦线与型截面平行，并套在型塑料管上便得到自制弹拨乐器． 计算：求每一根拨弦线的长． 23. 滑板项目自入选奥运会正式比赛项目后便吸引了无数的目光．该项目自诞生起，便在年轻的运动爱好者中迅速传播开来．某商场为吸引顾客，举办了一场滑板挑战游戏．建立如图所示的平面直角坐标系，如图，参赛选手从点出发，沿着斜坡进入“U”型碗池，再从点处滑出，“U”型碗池池面与滑出碗池后的飞行路线均可看成抛物线的一部分，在终点处有一截面为三角形的斜坡，点为斜坡的中点，若参赛选手从点滑出以后，着陆点在斜坡上的段，即为成功．已知碗池边缘，均垂直地面，点与点关于原点对称，且米，米，米，“U”型碗池池面近似看成抛物线． （1）求“U”型碗池最低点到地面的距离； （2）①若甲选手滑出碗池后的飞行路线与“U”型碗池抛物线大小相同，方向相反，着陆点恰好为点，求此抛物线的解析式； ②若乙选手从点滑出飞行路线抛物线解析式为，若此次挑战成功，求b的取值范围． 24. 如图1和图2，和中，，，，，．点D，E分别在，边上滑动，点F在的右侧，当与相交时，交点记为P． （1）的长为 ，的最小值为 ； （2）如图1，当时，请证明； （3）如图2， ①尺规作图：过点A做直线的垂线，垂足为点N (保留作图痕迹，不写作图过程)； ②若垂直平分，求的长； （4）直接写出点A与点F的最大距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邯郸第二十五中学第五次模拟考试 数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各式的计算结果为负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查有理数的加法，零次幂，乘方，绝对值．分别计算各选项的结果，判断是否为负数即可解答． 【详解】解：A． ，计算结果不是正数也不是负数． B． ，计算结果为正数． C． ，计算结果为正数． D． ，计算结果为负数． 故选：D 2. 下列几何体都是由个大小相同的小正方体组成的，其中主视图与左视图相同的几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别画出四个选项中简单组合体的三视图即可． 【详解】、左视图为，主视图为，左视图与主视图不同，故此选项不合题意； 、左视图为，主视图为，左视图与主视图相同，故此选项符合题意； 、左视图为，主视图为，左视图与主视图不同，故此选项不合题意； 、左视图为，主视图为，左视图与主视图不同，故此选项不合题意； 故选B． 【点睛】此题主要考查了简单组合体的三视图，关键是掌握左视图和主视图的画法． 3. 下列图形中，能确定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对顶角相等，平行线的性质，直角三角形的性质，以及三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】A、∠1＝∠2，故本选项错误； B、∠1＝∠2，故本选项错误； C、∠1＞∠2，故本选项正确； D、∠1＝∠2，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 4. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式约分，整式的运算，包括合并同类项、幂的乘方、积的乘方和分式的约简．需逐一验证各选项是否符合运算法则． 【详解】解：A：，但结果中指数被错误地相加为8，故A错误． B：，结果正确，故B正确． C：，但结果中的指数未平方，故C错误． D：，但选项D误写为，故D错误． 故选：B． 5. 如图，是的直径，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的倍，可知，根据的度数可求的度数． 【详解】解：是中所对的圆周角，是中所对的圆心角， ． 故选：C． 6. 如图在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点，若点的对应点，则的面积与的面积之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查位似图形的概念和性质，相似三角形的性质，掌握相似三角形面积比等于相似比的平方式是解题关键．先根据位似图形的概念求出相似比，再根据相似的性质，面积比等于相似比的平方，即可解题． 【详解】解：∵点，， ∴，， ∵与位似，位似中心为点O， ∴， ∴， ∴的面积与积之比． 故选：C． 7. 已知一元二次方程的两个根是，，则的值是（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“是一元二次方程的两根时，”是解题的关键．根据根与系数的关系（韦达定理）可直接求出根的和与积，进而代入表达式计算即可． 【详解】解：由方程可知，根的和， 根的积， 将和代入， 得：． 故选：D． 8. 如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查几何概率的知识，求出小正方形的面积是关键．设，则圆的直径为，求出小正方形的面积，即可求出几何概率． 【详解】解：如图：连接，，设，则圆的直径为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴小正方形的面积为：， 则飞镖落在阴影区域的概率为：． 故选：C． 9. 如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，，则（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 【答案】C 【解析】 【分析】利用直角三角形斜边中线的性质求得，在中，利用勾股定理即可求解. 【详解】解：∵矩形中， ∴， ∵F为的中点，， ∴， 在中，， 故选：C. 【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握“直角三角形斜边中线的长等于斜边的一半”是解题的关键. 10. 如图，点O，I分别是的外心和内心，连接，．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与内切圆的概念、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、圆周角定理等知识，连接，由，可得，根据三角形内角和求出，根据圆周角定理求出，由点I是的内心，得． 【详解】解：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点I是的内心， ∴平分， ∴， 故选：D． 11. 如图，点是反比例函数图象上的一点，点是x轴正半轴上任意一点，将点A绕点M顺时针旋转得到点B，连接．无论m取何值时，点B始终在某个函数图象上，这个函数图象所对应的表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数确定，根据旋转得到，令，消去m解答即可． 本题考查了旋转的性质，反比例函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵点是反比例函数图象上的一点， ∴， 故， ∵点A绕点M顺时针旋转得到点B， ∴， ∴令， ∴， 故选：C． 12. 已知二次函数与的图像均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图像如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图像交于，两点．给出下列结论： ①； ②； ③以，，，为顶点的四边形可以为正方形； ④若点的横坐标为，点在轴上（，，三点不共线），则周长的最小值为． 其中，所有正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得两个函数的对称轴均为直线，根据对称轴公式即可求出，可判断①正确；过点作交轴于点，过点作交轴于点，证明，可得，可判断②正确；当点、分别在两个函数的顶点上时，，点、的横坐标均为，求出的长度，得到，可判断③正确；作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时周长的最小，小值为，即可判断④． 【详解】解：①二次函数与的图像均过点和坐标原点，为线段的中点， ，两个函数的对称轴均为直线， 即， 解得：，故①正确； ②如图，过点作交轴于点，过点作交轴于点， ， 由函数的对称性可知， 在和中， ， ， ，故正确②； ③当点、分别在两个函数的顶点上时，，点、的横坐标均为， 由①可知两个函数的解析式分别为，， ，， ， 点， ， ， 由， 此时以，，，为顶点的四边形为正方形，故③正确； ④作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时周长的最小，最小值为， 点的横坐标为， ，点的横坐标为， ，， ，， 周长的最小值为，故正确④； 故选：D． 【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及二次函数的图像与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定，对称中的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，先将化简为，然后与进行合并同类二次根式即可． 【详解】解：． 故答案为： 14. 已知圆锥的底面半径为5，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为_____________． 【答案】150 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图，熟练掌握圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长是解题的关键．设圆心角的度数为，根据圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长，列出方程解出的值即可． 【详解】解：设圆心角的度数为， 由题意得，， 解得：， 扇形的圆心角的度数为． 故答案为：150． 15. 如图，已知，依此规律，则点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标规律的变化问题，由函数图象可知点的纵坐标每个点一个循环，横坐标每个点增加个单位长度，据此解答即可求解，由题意找出点坐标的变化规律是解题的关键． 【详解】解：由函数图象可知，点的纵坐标每个点一个循环，横坐标每个点增加个单位长度， ∵， ∴点的纵坐标为，横坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为：． 16. 如图，在正方形中，，点E是延长线上一点，且，点F为线段上一动点，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，，则的最小值是___________ ，此时的长为_____ ． 【答案】 ①. ②. 4 【解析】 【分析】由题意可得是等腰直角三角形，得出，可得当时，最小，即最小，只要利用勾股定理和等面积法求出即可求出的最小值；作辅助线如图，可得四边形是矩形，推出，，等面积法求出，勾股定理求出，证明，利用全等三角形的性质得出，，进而可得，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当时，最小，即最小，如图， ∵正方形中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为； 此时， 过点G作，，垂足分别为H、I，过点F作于P，如图， ∵，， ∴，， 同理可得， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：；4． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线、熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 三、解答题 17. 如图，几个写有数字和运算符号的小球用实线、虚线穿在了一起，甲，乙两人分别沿实线和虚线将数x按照小球上面标记以及小球穿线的顺序进行计算，得到的结果分别为M和N． （1）当x为2时，求N的值； （2）若M与N的差等于，求x值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值，一元一次方程的应用，正确理解题意列式及方程是解题的关键． （1）根据题意得到，再将代入计算即可； （2）根据题意，，，再列方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，， 当时，； 【小问2详解】 解：根据题意，，， 若M与N的差等于，则， 解得． 18. 如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”，如分式，，．则M与N互为“和整分式”，“和整值”． （1）已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； （2）已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，求G． 【答案】（1）分式A与分式B是互为“和整分式”， （2） 【解析】 【分析】本题考查的是新定义题型，涉及分式的加减运算．理解新定义，熟练掌握分式的加减运算法则是解本题的关键． （1）把A与B相加，根据同分母的分式的加法运算法则化简，根据化简结果判断即可； （2）把C与D相加，根据异分母的分式的加法法则化简，再根据C与D互为“和整分式”且“和整值”，求出多项式G． 【小问1详解】 解：， ∴分式A与分式B是互为“和整分式”， “和整值”； 【小问2详解】 解：①分式，， C与D互为“和整分式”，且“和整值”， ， 两边都乘以得，， ∴ ． 19. 在中考实验操作考试结束后，我校某班随机抽取了一个小组的物理实验操作考试成绩进行了统计，结果如下： 分值 人数 男生 女生 8分 1人 0人 9分 1人 3人 10分 3人 2人 （1）本次成绩的平均分为 ，中位数为 ，众数为 （2）学霸朱朝阳计算了本组数据的方差，算法如下： ，其中 ； ； （3）现准备从得分为9分的4名同学中抽取两名同学谈失分感悟，以警醒学弟学妹，请用列表法或树状图求出选取的两名同学均为女生的概率． 【答案】（1）9.4，9.5，10； （2）10 ，9.4 ，0.44 ； （3）选取的两名同学均为女生的概率为 ． 【解析】 【分析】（1）根据加权平均分的计算方法进行计算即可得到平均数，根据所有成绩排名确定中位数，根据出现次数最多的数来确定众数即可； （2）根据方差的定义及公式确定m、n表示的意义，进而计算即可； （3）由列表法表示出所有结果，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 平均分： 中位数：从小到大排序为 8， 9 ，9 ，9 ，9 ，10 ，10 ，10 ，10， 10，取第五、第六个数的平均数为 众数：10 故答案为：9.4，9.5，10； 【小问2详解】 由方差定义：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，可得 ， 故答案为：10 ，9.4 ，0.44 ； 【小问3详解】 9分中有1个男生，3个女生，故设男生为 ，女生为 、、 列表法如图： 共有12种情况，其中两名同学均为女生的情况有6种 选取的两名同学均为女生的概率为 所以，选取的两名同学均为女生的概率为 ． 【点睛】本题主要考查了加权平均数的计算、众数、中位数、方差的定义和公式计算、列表法或画树状图的方法求概率，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 20. 如图，这是一辆自卸式货车的平面示意图，矩形货厢的宽，．卸货时，货厢绕点处的转轴旋转．点处的转轴与后车轮转轴（点处）的水平距离叫做安全轴距，测得该车的安全轴距为，货厢对角线，的交点可视为货厢的重心，卸货时发现，当，两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆事故． （1）求的长． （2）若．请通过计算判断该货车是否会发生车辆倾覆事故．（参考数据：，，） 【答案】（1）； （2）该货车不会发生车辆倾覆事故，理由： 如图，过点作，垂足为， ∵，， ∴， 在中，， ∴ ∵， ∴该货车不会发生车辆倾覆事故． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，解直角三角形的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由四边形为矩形，则，，通过所对直角边是斜边是斜边的一半可得，从而求解； （）过点作，垂足为，则可求得，然后通过即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 21. 在平面直角坐标系中，已知点（m为常数），直线L经过点、点． （1）当点M落在直线L上时，求点M的坐标及的面积； （2）当点O，M之间距离最小时，求此时点M的坐标； （3）当时，对于m的每一个值，点M都在直线的上方，直接写出k的取值范围． 【答案】（1），2 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了求函数解析式、两点间距离公式、二次函数的性质、函数图象与不等式的关系等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）先用待定系数法求得直线L的解析式为，再把点M的坐标代入求得，进而确定M的坐标，然后再求的面积即可； （2）先根据两点间的距离公式可得，则当时，有最小值18，即可确定的值最小时M的值； （3）根据函数与不等式的关系可得当时，，即；然后分、、三种情况解答即可． 【小问1详解】 解：设直线L的解析式为， 由题意可得：，解得：， ∴直线L的解析式为， ∵点M落在直线L上， ∴，解得：， ∴， ∴如图：的面积． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴当时，有最小值18， ∴当，的最小值为． 【小问3详解】 解：∵， ∴点M在直线上， ∵当时，对于m的每一个值，点M都在直线的上方， ∴当时，，即， 当时，则，则， ∵， ∴，解得：，即； 当时，不等式恒成立； 当时，，则与，符合题意． 综上，k的取值范围为． 22. 音乐课上，老师带领同学们自制弹拨乐器，将空心不带盖的塑料圆管放置在水平台面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定（图），图为其截面示意图，半径为的与水平台面相切于点，点在上，两木块之间的距离． （1）直接写出的度数； （2）求长方体木块的高； （3）如图，弦交于，且． 操作：将塑料圆管沿切割取下面的部分，得到图中的型塑料管，将拨弦线与型截面平行，并套在型塑料管上便得到自制弹拨乐器． 计算：求每一根拨弦线的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（）利用切线的性质解答即可； （）过点作于，连接，可证四边形是矩形，得到，进而可证明四边形是矩形，得到，即得点在同一直线上，得到四边形是矩形，即得到，，得到，最后利用勾股定理求出即可求解； （）由弦交于，可得，即得，，又由等腰三角形的性质可得，即得，进而求出线段和的长，再相加即可求解． 【小问1详解】 解：∵是的切线，切点为， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点作于，连接，如图， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴点在同一直线上， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：长方体木块的高为； 【小问3详解】 解：∵弦交于，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴, ∴， 又∵的长， ∴每一根拨弦线的长为． 【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，弧长公式，勾股定理，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等，掌握知识点的应用是解题的关键． 23. 滑板项目自入选奥运会正式比赛项目后便吸引了无数的目光．该项目自诞生起，便在年轻的运动爱好者中迅速传播开来．某商场为吸引顾客，举办了一场滑板挑战游戏．建立如图所示的平面直角坐标系，如图，参赛选手从点出发，沿着斜坡进入“U”型碗池，再从点处滑出，“U”型碗池池面与滑出碗池后的飞行路线均可看成抛物线的一部分，在终点处有一截面为三角形的斜坡，点为斜坡的中点，若参赛选手从点滑出以后，着陆点在斜坡上的段，即为成功．已知碗池边缘，均垂直地面，点与点关于原点对称，且米，米，米，“U”型碗池池面近似看成抛物线． （1）求“U”型碗池最低点到地面的距离； （2）①若甲选手滑出碗池后的飞行路线与“U”型碗池抛物线大小相同，方向相反，着陆点恰好为点，求此抛物线的解析式； ②若乙选手从点滑出飞行路线抛物线解析式为，若此次挑战成功，求b的取值范围． 【答案】（1）“U”型碗池最低点到地面的距离为米 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，可得两点关于抛物线对称轴对称，利用抛物线的对称性质即可求出，将代入，求出k的值，即可解答； （2）①由（1）知“U”型碗池抛物线解析式为，根据题意设甲选手滑出碗池后的飞行路线的解析式为，过点作于点H，证明，推出，求出米米，得到，结合，利用待定系数法求解即可； ②由①知，结合，根据题意：，解不等式组即可解答．　　 【小问1详解】 解：∵点与点关于原点对称，米，米， ∴米， ∴米， ∵米， ∴， ∴两点关于抛物线对称轴对称， ∴， 将代入，则， 解得：， 则“U”型碗池最低点到地面的距离为米； 【小问2详解】 解：①由（1）知“U”型碗池抛物线解析式为， ∵甲选手滑出碗池后的飞行路线与“U”型碗池抛物线大小相同，方向相反， 设甲选手滑出碗池后的飞行路线的解析式为， 过点作于点H， ∵， ∴， ∴， ∵点为斜坡的中点， ∴，即， ∴米，米， ∴米， ∴， ∵， ∴， 解得： ∴此抛物线的解析式为； ②由①知， ∵， 根据题意：， 解得：； ∴若此次挑战成功，b的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，相似三角形的判定与性质，二次函数与不等式，明确题意，准确得到函数关系式是解题的关键． 24. 如图1和图2，和中，，，，，．点D，E分别在，边上滑动，点F在的右侧，当与相交时，交点记为P． （1）的长为 ，的最小值为 ； （2）如图1，当时，请证明； （3）如图2， ①尺规作图：过点A做直线的垂线，垂足为点N (保留作图痕迹，不写作图过程)； ②若垂直平分，求的长； （4）直接写出点A与点F的最大距离． 【答案】（1）9； （2） 证明：，，，， ，， ， 又， ， ， 又， ， ， ， ，， ， ， ． （3） ①如图所示，垂线即为所求； ②的长为18 （4） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再由垂线段最短得到当时，有最小值，即可解答； （2）先证明得到，再推出即可得出结论； （3）①按照要求用尺规作图作出直线的垂线即可；②延长交延长线于点，先利用全等三角形判定定理推出，得到，再利用求出、的长，最后利用求出的长即可； （4）作的外接圆，记圆心为，作交于点，连接、、，利用外接圆的性质及相似三角形的性质求出圆的半径，再作交延长线于，连接，利用矩形的性质和勾股定理求出的长，最后利用两点之间线段最短性质即可求出点A与点F的最大距离． 【小问1详解】 解：在中，， ， 当与相交时，交点记为P， 由垂线段最短得，当时，有最小值， 此时为的高， ， ． 故答案为：9；． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①略 ②如图，延长交延长线于点， 垂直平分， ，，， 由作图可得，， ， ， ， ， ， ， 由（2）中的结论有，， ， 即， ， 又，， ， ，， ，， ， ， ，， ， ，， ， ，即， 解得：， ， 的长为18． 【小问4详解】 解：作的外接圆，记圆心为，作交于点，连接、、， 圆是的外接圆， ，， ， ，平分， ， 又， ， ，即， 解得：， ，即圆的半径为10， 作交延长线于，连接，则， 又，， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， 由两点之间线段最短性质得，， ， 点A与点F的最大距离为． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定、尺规作图、三角形的外接圆、勾股定理、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，学会添加适当的辅助线构造相似三角形，利用勾股定理求线段长度，利用三角形外接圆的性质求最值是解题的关键，本题属于几何综合题，适合几何知识储备较强，有能力解决几何难题的学生． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $