精品解析：2025年陕西省西安爱知初级中学中考最后一次模拟考试数学试题

数学试题 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的汉字中有些也具备对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. 中 B. 考 C. 必 D. 胜 3. 一束平行于主光轴的光线（）射向凹透镜，点均为焦点．光线经过凹透镜后折射方向如图所示，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，D为的中点，交于E，延长至F，使．若，，则的长为（ ） A. B. 5 C. D. 5. 已知一次函数和，假设且，则这两个一次函数的图象的交点所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 如图，正方形的对角线与相交于点O，E、F分别是的中点，连接，．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的图像经过四个象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则__________． 10. 如图，边长相等的正五边形和正六边形如图拼接在一起，则____°． 11. 如图，矩形的对角线相交于点O，于F，于E，，，则的长为________． 12. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强P（）与汽缸内气体的体积V（）成反比例，P关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了___________． 13. 如图，四边形中，，，，，，为中点，为四边形内一点，，、分别为、上任意一点，的最小值为______． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算： 15. 化简: ． 16. 计算：． 17. 如图，某娱乐休闲景区内有两条小路与相交于点C，咖啡厅和购物商店分别在点A和点C处，景区管理员打算在区域内的点Q处修建游客服务区，要求点Q到的距离与点Q到的距离相等，且．请你帮景区管理员找出点Q．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，在中，延长至点D，使，过点D作，连接交于点F，若．求证：． 19. 某水稻实验基地防治病虫害有无人机喷洒和人工打药两种方式．通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工每小时作业面积的6倍．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作8小时，共完成了340亩的打药任务（不重复作业），请问一名工人每小时作业的面积为多少亩？ 20. 如图，三根同样的绳子，，穿过一块木板，姐妹两人分别站在木板的左、右两侧，每次各自选取本侧的一根绳子，每根绳子被选中的机会相等． （1）姐姐从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子的概率为 ； （2）用画树状图（或列表）的方法，求姐姐和妹妹选中的两个绳头恰好是同一根绳子的概率． 21. 初三数学小组准备用所学知识测量路灯的高度，路灯底端有花坛无法直接到达，在路灯一侧有一棵高为3米的小树（米），小峰站在距离小树2.8米的D处（米）观察发现，他的眼睛C与小树的顶端E、路灯的顶端A在同一条直线上，小峰的眼睛距离地面1.6米（米），小峰在小树的前方P处放置一个平面镜，小峰紧靠小树站立（小峰与树之间的距离忽略不计）刚好在镜面中看到路灯的顶端A，平面镜距离小树1.4米（米），请你帮助小峰计算路灯的高度．（结果精确到0.1米） 22. 为宣传6月8日世界海洋日，某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”的知识竞赛活动．为了解全年级1400名学生此次竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计图表． 成绩频数分布表 组别 分数/分 频数 组内学生的平均成绩/分 A a 65 B 10 75 C 14 85 D 18 95 请根据图表信息，解答下列问题： （1）一共抽取了______人，表中______； （2）求所抽取的这些学生的平均成绩； （3）请你估计该校九年级竞赛成绩达到90分及以上的学生大约有多少人？ 23. 某餐厅为了追求顾客的消费满意度，推出一种“沙漏计时”单方案，即点餐完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免单．某数学小组观察发现：该沙漏在计时过程中上面玻璃球所剩沙子质量（克）与流入时间（分钟）成一次函数关系（不考虑其他因素），当流入时间3分钟时，上面玻璃球所剩沙子质量为84克，当流入时间10分钟时，上面玻璃球所剩沙子质量为35克． （1）求沙漏在计时过程中上面玻璃球所剩沙子质量（克）与流入时间（分钟）之间的函数解析式； （2）求客人点餐完成后，最晚多长时间菜全部上桌． 24. 已知：如图，中，，以为直径作交于D、F两点，连接，过点C作的切线交的延长线于点E． （1）求证：． （2）若，，求的长． 25. 春节将至，为营造节日氛围，幸福小区物业准备在小区主通道上悬挂灯带，通道两侧有立柱，物业在通道的上方拉了笔直的水平钢丝，钢丝两边固定在立柱上，悬挂的灯带为抛物线形，灯带的最低点距离钢丝米．以钢丝为x轴，左侧立柱为y轴，钢丝与立柱的固定点为原点建立直角坐标系（如图所示）． （1）小青设计的方案，把灯带的一端固定在钢丝与立柱的固定点O，另一端固定在钢丝上的点A处，米，求出此时抛物线的表达式． （2）小玲设计的方案，把灯带的一端固定在钢丝上的点B处，米，另一端固定在立柱上的C处，为了美观，灯带的最低点和小青设计的相同（顶点相同），求出O与C的距离． 26. 问题提出： （1）如图1，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得，请求出的面积． （2）某加工厂有一块四边形工件，其中，，，，点C到的距离为，Q为边上一点，若平分四边形的面积，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，掌握绝对值的意义是解题的关键，根据绝对值的意义即可求解． 【详解】解：的绝对值是， 故选：D． 2. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的汉字中有些也具备对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. 中 B. 考 C. 必 D. 胜 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 利用轴对称图形的概念可得答案． 【详解】解：A、“中”：字结构以中间的竖线为对称轴，左右两侧的笔画关于竖轴对称，因此“中”是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 3. 一束平行于主光轴的光线（）射向凹透镜，点均为焦点．光线经过凹透镜后折射方向如图所示，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质以及邻补角的定义，解题的关键是熟练运用平行线的性质． 首先根据邻补角的定义求出，然后根据平行线的性质求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4. 如图，在中，，D为的中点，交于E，延长至F，使．若，，则的长为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形判定和性质，勾股定理等知识点，证明是直角三角形是解题关键． 利用平行相似证明，从而可得，进而证明，再由勾股定理求出． 【详解】解：∵， ∴， 又∵D为的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴, ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选A． 5. 已知一次函数和，假设且，则这两个一次函数的图象的交点所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先求出两条直线的交点坐标，然后根据、的情况即可求得交点的位置． 【详解】解：∵一次函数与一次函数有交点 ∴， 解得：， ∵，， ∴， ∴， ∴这两个一次函数的图象的交点在第二象限， 故选B． 【点睛】本题主要考查了两直线的交点问题，根据点的坐标判断点所在的象限，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 6. 如图，正方形的对角线与相交于点O，E、F分别是的中点，连接，．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】该题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识点，根据题意得是的中位线，得出，根据正方形性质得出，，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵E、F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 7. 如图，点是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 连接，由点是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】如图，连接， ∵点是的内心， ∴平分， ∵， ∴， ∵点是外接圆的圆心， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 8. 已知二次函数的图像经过四个象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，令时解出两个交点，根据图像经过四个象限，交点在y轴两边求解即可得到答案； 【详解】解：当时， 解得，， ∵二次函数的图象经过四个象限， ∴， 解得：， 故选：D． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为： 1． 10. 如图，边长相等的正五边形和正六边形如图拼接在一起，则____°． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角与外角、等腰三角形的性质，熟练正五边形的内角，正六边形的内角是解题的关键．根据正五边形的内角和和正六边形的内角和公式求得正五边形的内角和正六边形的内角，然后根据周角的定义和等腰三角形性质可得结论． 【详解】解：由题意可得，正五边形的每个内角为，正六边形的每个内角为， 则， ∵， ∴． 故答案为：24． 11. 如图，矩形的对角线相交于点O，于F，于E，，，则的长为________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，中位线的性质，根据矩形的对角线互相平分且相等可得，再求出是的中点，然后判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质求出，再根据三角形中位线定理得到，然后进行计算即可得解．熟练利用矩形的对角线互相平分且相等的性质是解题的关键． 【详解】解：由矩形的性质可知， ， 是的中点． ， ， ， 即是等边三角形， ，， ，， 是的中点， 是的中点， 是的中位线， ， ． 故答案为：16． 12. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强P（）与汽缸内气体的体积V（）成反比例，P关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了___________． 【答案】20 【解析】 【分析】由图象易得P关于V的函数解析式为，然后问题可求解． 【详解】解：设P关于V的函数解析式为，由图象可把点代入得：， ∴P关于V的函数解析式为， ∴当时，则， 当时，则， ∴压强由加压到，则气体体积压缩了； 故答案为20． 【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的应用是解题的关键． 13. 如图，四边形中，，，，，，为中点，为四边形内一点，，、分别为、上任意一点，的最小值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定，最短路径问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 作点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，根据对称性有，，，，证明≌，推出点的轨迹，可知当、、、四点共线且时，最短，再通过计算即可解题． 【详解】解：如图，过点作交于， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形，，， ∵， ∴， ∴； 作点关于直线的对称点，点关于直线的对称点交延长线于，交于， 连接、、、， 则根据对称性有，，，， 在与中， ∴≌， ∴， 即点在以为圆心，为半径的圆上运动； ∵、分别为、上任意一点， 由对称性有， ∴， 由图可知当、、、四点共线且时，最短， 即此时有最小值，最小值为的长； ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形，， 同理可得也是等腰直角三角形， ∵为中点， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴为等腰直角三角形； ∵， ∴四边形为矩形， ∴； ∴，， ∴， 此时， 即的最小值为． 故答案为：5 ． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据二次根式性质，特殊角的三角函数值，绝对值意义，进行计算即可． 【详解】解： ． 15. 化简: ． 【答案】 【解析】 【分析】原式中括号中利用完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解：原式=， ， ， =． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握多项式除以单项式的运算法则是解本题的关键． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算括号内的加法，再计算除法即可． 【详解】解： 【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则和顺序是解题的关键． 17. 如图，某娱乐休闲景区内有两条小路与相交于点C，咖啡厅和购物商店分别在点A和点C处，景区管理员打算在区域内的点Q处修建游客服务区，要求点Q到的距离与点Q到的距离相等，且．请你帮景区管理员找出点Q．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 解：如图，点即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，作角平分线和线段的垂直平分线，涉及角平分线的判定和线段的垂直平分线的判定，正确理解题意是解题的关键． 作出线段的垂直平分线和的平分线，交点即为点． 【详解】略 18. 如图，在中，延长至点D，使，过点D作，连接交于点F，若．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定、平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．先证出，然后根据即可得证． 【详解】略 19. 某水稻实验基地防治病虫害有无人机喷洒和人工打药两种方式．通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工每小时作业面积的6倍．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作8小时，共完成了340亩的打药任务（不重复作业），请问一名工人每小时作业的面积为多少亩？ 【答案】17亩 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设一名工人每小时作业的面积为x亩，则无人机每小时作业的面积为亩，根据一架无人机工作2小时和一名工人工作8小时，共完成了340亩的打药任务，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设一名工人每小时作业的面积为x亩，则无人机每小时作业的面积为亩，根据题意得： ， 解得：， 答：一名工人每小时作业的面积为17亩． 20. 如图，三根同样的绳子，，穿过一块木板，姐妹两人分别站在木板的左、右两侧，每次各自选取本侧的一根绳子，每根绳子被选中的机会相等． （1）姐姐从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子的概率为 ； （2）用画树状图（或列表）的方法，求姐姐和妹妹选中的两个绳头恰好是同一根绳子的概率． 【答案】（1） （2） 画树状图，如图所示： 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法或树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接运用概率公式解答即可； （2）列得出所有等可能结果，从中找出符合条件的结果数，然后根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵共有三根同样的绳子，，穿过一块木板， ∴姐姐从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子的概率为：． 故答案为：． 【小问2详解】 解：画树状图，如图所示： ， 共有9种等可能的结果数，其中两人选到同一条绳子的结果数为3， 所以两人选到同一条绳子的概率． 21. 初三数学小组准备用所学知识测量路灯的高度，路灯底端有花坛无法直接到达，在路灯一侧有一棵高为3米的小树（米），小峰站在距离小树2.8米的D处（米）观察发现，他的眼睛C与小树的顶端E、路灯的顶端A在同一条直线上，小峰的眼睛距离地面1.6米（米），小峰在小树的前方P处放置一个平面镜，小峰紧靠小树站立（小峰与树之间的距离忽略不计）刚好在镜面中看到路灯的顶端A，平面镜距离小树1.4米（米），请你帮助小峰计算路灯的高度．（结果精确到0.1米） 【答案】6.6米 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，矩形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 过点C作于G，交于Q，先证明四边形是矩形，四边形是矩形，得米，，米，设米，则米，再证明，，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点C作于G，交于Q， 由题意得，，，， ∴， ∵ ∴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴米，，米， ∵米， ∴米， 设米，则米， ∵小峰在小树的前方P处放置一个平面镜，小峰紧靠小树站立（小峰与树之间的距离忽略不计）刚好在镜面中看到路灯的顶端A， ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴， ∴米， ∵ ∴ ∴，即 解得： ∴（米）． 答：路灯的高度约为6.6米． 22. 为宣传6月8日世界海洋日，某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”的知识竞赛活动．为了解全年级1400名学生此次竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计图表． 成绩频数分布表 组别 分数/分 频数 组内学生的平均成绩/分 A a 65 B 10 75 C 14 85 D 18 95 请根据图表信息，解答下列问题： （1）一共抽取了______人，表中______； （2）求所抽取的这些学生的平均成绩； （3）请你估计该校九年级竞赛成绩达到90分及以上的学生大约有多少人？ 【答案】（1）50，8 （2）所抽取的这些学生的平均成绩是分 （3）该校九年级竞赛成绩达到90分及以上的学生约有504人 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布表，扇形统计图，加权平均数和用样本估计总体，正确读懂统计图与统计表是解题的关键． （1）用D组的人数除以其人数占比求出参与调查的人数，进而可求出a的值； （2）先计算出总得分，再用总得分除以总人数即可得到答案； （3）用1400乘以样本中竞赛成绩达到90分及以上的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解；本次调查一共随机抽取学生：（人）， 则A组的人数（人）， 故答案为：50．8； 【小问2详解】 解：（分）， ∴所抽取的这些学生的平均成绩是分； 【小问3详解】 解：（人）， ∴该校九年级竞赛成绩达到90分及以上的学生约有504人． 23. 某餐厅为了追求顾客的消费满意度，推出一种“沙漏计时”单方案，即点餐完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免单．某数学小组观察发现：该沙漏在计时过程中上面玻璃球所剩沙子质量（克）与流入时间（分钟）成一次函数关系（不考虑其他因素），当流入时间3分钟时，上面玻璃球所剩沙子质量为84克，当流入时间10分钟时，上面玻璃球所剩沙子质量为35克． （1）求沙漏在计时过程中上面玻璃球所剩沙子质量（克）与流入时间（分钟）之间的函数解析式； （2）求客人点餐完成后，最晚多长时间菜全部上桌． 【答案】（1） （2）15分钟 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出一次函数关系式是解题的关键． （1）设上面玻璃球所剩沙子质量克与流入时间分钟之间的函数解析式为，待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意，沙漏恰好完成第一次倒置，令，即可求解． 【小问1详解】 解：设上面玻璃球所剩沙子质量克与流入时间分钟之间的函数解析式为， 由题知当时，；时，， ， 解得：， 与x的函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得：， 答：最晚15分钟菜全部上桌． 24. 已知：如图，中，，以为直径作交于D、F两点，连接，过点C作的切线交的延长线于点E． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵是的切线，是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理得出，则，根据切线的性质得出，则，故，根据等腰三角形的性质得出，即可证明． （2）如图，连接交于点，根据圆周角定理得出，根据等腰三角形的性质得出，则，根据勾股定理求出，得出，即可求出，证明，从而证出，即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接交于点， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】该题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 25. 春节将至，为营造节日氛围，幸福小区物业准备在小区主通道上悬挂灯带，通道两侧有立柱，物业在通道的上方拉了笔直的水平钢丝，钢丝两边固定在立柱上，悬挂的灯带为抛物线形，灯带的最低点距离钢丝米．以钢丝为x轴，左侧立柱为y轴，钢丝与立柱的固定点为原点建立直角坐标系（如图所示）． （1）小青设计的方案，把灯带的一端固定在钢丝与立柱的固定点O，另一端固定在钢丝上的点A处，米，求出此时抛物线的表达式． （2）小玲设计的方案，把灯带的一端固定在钢丝上的点B处，米，另一端固定在立柱上的C处，为了美观，灯带的最低点和小青设计的相同（顶点相同），求出O与C的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】该题考查了二次函数的应用，求出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意设此时抛物线的表达式为，代入求解即可． （2）根据题意设此时抛物线的表达式为，代入求出解析式，再令，即可求解． 【小问1详解】 解：∵米，灯带的最低点距离钢丝米， ∴， 设此时抛物线的表达式为， 将代入得，解得：， ∴此时抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：∵米，灯带的最低点和小青设计的相同（顶点相同）， ∴， 设此时抛物线的表达式为， 将代入得，解得：， ∴此时抛物线的表达式为． 令，则， ∴O与C的距离是． 26. 问题提出： （1）如图1，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得，请求出的面积． （2）某加工厂有一块四边形工件，其中，，，，点C到的距离为，Q为边上一点，若平分四边形的面积，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出，根据旋转可得，根据即可求解． （2）如图，过点作，过点作，连接，则，将绕点逆时针旋转至，使与重合，则，证明点共线，再证明是等边三角形，得出，解直角三角形求出，，即可求出，根据等腰三角形的性质得出，从而得，勾股定理求出，解直角三角形求出，求出，从而得，根据平分四边形的面积，得出，即可求出． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴， 根据旋转可得， ∴． 【小问2详解】 解：如图，过点作，过点作，连接， 则， ∵， 将绕点逆时针旋转至，使与重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点共线， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分四边形的面积， ∴， ∴． 【点睛】该题考查了旋转的性质，勾股定理，解直角三角形，等边三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $