精品解析：湖北省荆州中学2025-2026学年高三上学期8月月考数学试卷

荆州中学2025－2026学年高三上学期8月月考 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. i 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 3. 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知单位向量满足，则（ ） A. 2 B. C. D. 6. 已知为定义在R上的奇函数，当时，．若在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 设事件每次成功的概率为，现进行3次独立重复试验，如果在事件至少成功1次的条件下，3次试验全部成功的概率为 ，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数且，关于函数，有下列四个命题： 甲： 是的极值点; 乙：3是的零点; 丙： 在区间单调递减; 丁： 在单调递增． 如果只有一个假命题，则该命题是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数则（ ） A. 函数为偶函数 B. 的最大值为 C. 在区间单调递增 D. 曲线关于对称 10. 下列说法中，正确的有（ ） A. 两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近于1 B. 的展开式中，的系数是 C. 设随机变量服从正态分布，若，则 D. 用数字0，1，2，3，4组成的无重复数字的四位数中，偶数的个数为60 11. 已知点在焦点为的抛物线上，其中是各项均不为零的数列且．若，则（ ） A. B. 数列为等差数列 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则______. 13. 已知直线与圆交于两点，写出满足“”的的一个值：______. 14. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取球，若存在为整数，使得标有数字和的球均已被取出，则停止取球．记为取出的球的个数，则的数学期望______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角的对边分别为，已知 （1）求 （2）的角平分线交于点，若，求的周长． 16. 如图，三棱台中，是正三角形，平面ABC，，M，N分别为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值. 17. 随着短剧在短视频平台的爆发式增长，为其输送内容创作动能的网络文学用户规模也持续增加，目前中国网络文学用户已超过整体网民数量的一半．为了解不同性别的网民对网络文学的喜欢情况，随机调查了200名网民，得到如下数据． 男性网民 女性网民 合计 喜欢网络文学 45 60 105 不喜欢网络文学 55 40 95 合计 100 100 200 （1）判断是否有99%的把握认为是否喜欢网络文学与性别有关； （2）某网络文学平台组织网民进行文学挑战赛，分成甲、乙两组进行挑战，其规则如下：每次挑战时平台给出文学作品主题要求，甲组与乙组各选出一篇本组优秀作品参加挑战赛，然后由平台组织专家打分确定胜负．根据以往经验，甲组第1次挑战赛获胜的概率为 ，若甲组上一次挑战赛获胜，则下一次挑战赛获胜的概率为；若甲组上一次挑战没有获胜，则下一次挑战赛获胜的概率为，已知按此规则进行了多次挑战赛，每次挑战有且仅有1个组获胜． （i）在进行了3次挑战赛后，求乙组获胜次数X的分布列与数学期望； （ii）若第次挑战时甲组获胜的概率为，求的通项公式，并求出使的的最小值． 附 ，其中n=a+b+c+d． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 已知O为坐标原点，椭圆的离心率，椭圆C的左、右焦点分别为，，焦距为．定义椭圆C上点的“和点”为． （1）求椭圆C的方程； （2）记OP，OQ的斜率分别为，，求的取值范围； （3）若直线l交椭圆C于A，B两点，点A，B的“和点”分别为，，且，求面积的最大值． 19. 已知函数，其中. （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有； （Ⅲ）若关于的方程有两个正实根，求证： . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 荆州中学2025－2026学年高三上学期8月月考 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. i 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算求得复数，可求复数的虚部. 【详解】由，可得，所以，所以， 所以的虚部为. 故选：A. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对数函数单调性解不等式及求解不等式，再由交集运算即可求解. 【详解】， 由可得：，则， 所以， 故选：D 3. 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合指数函数单调性判断即得. 【详解】由指数函数的单调性可得：， 由可得，而由不能推出，如，但没有意义， 所以是的必要不充分条件. 故选：B 4. 与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 直接设双曲线方程为，代入点的坐标可得． 【详解】设双曲线方程为， 因为双曲线过点， 所以，即， 所以双曲线方程为，即． 故选：C 【点睛】结论点睛：本题考查求共渐近线的双曲线方程．与双曲线共渐近线的双曲线方程为（），这种方法可主不需要考虑焦点所在的轴．然后代入点的坐标即可得． 5. 已知单位向量满足，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算律，结合模长的计算，可得答案. 【详解】由，则，解得， 所以. 故选：C. 6. 已知为定义在R上的奇函数，当时，．若在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、单调性列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】因为为定义在R上的奇函数，所以， 若在上单调递减，故只需，即， 故选：A． 7. 设事件每次成功的概率为，现进行3次独立重复试验，如果在事件至少成功1次的条件下，3次试验全部成功的概率为 ，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得3次试验全部成功的概率为，事件至少成功1次的概率为，由此利用条件概率公式即可求得. 【详解】因为事件每次成功的概率为， 所以3次试验全部成功的概率为，事件至少成功1次的概率为. 由条件概率公式得：，整理得：， 解得（舍）或（舍）或. 故选：D. 8. 已知函数且，关于函数，有下列四个命题： 甲： 是的极值点; 乙：3是的零点; 丙： 在区间单调递减; 丁： 在单调递增． 如果只有一个假命题，则该命题是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】由题知，甲丙互相矛盾，所以乙丁一定为真命题，根据条件可求得，再利用导数确定单调性及极值即可. 【详解】根据题意可知，甲丙互相矛盾，所以乙丁一定为真命题， ，又， 所以，， 则，又乙为真命题，， 即，， 令或， 所以或时，，单调递增， 时，，单调递减， 故甲为假命题，乙、丙、丁为真命题. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数则（ ） A. 函数为偶函数 B. 的最大值为 C. 在区间单调递增 D. 曲线关于对称 【答案】AC 【解析】 【分析】先利用和角公式化简函数为单一三角函数式，再结合三角函数的性质逐一判断选项即得. 【详解】. 对于A，设，函数的定义域关于原点对称，由，可得函数为偶函数，故A正确； 对于B，由于的最大值为，因此，故B错误； 对于C，当时，因单调递增，故在上单调递增，故C正确； 对于D，由于曲线关于 对称，因此曲线关于对称，故D错误. 故选：AC. 10. 下列说法中，正确的有（ ） A. 两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近于1 B. 的展开式中，的系数是 C. 设随机变量服从正态分布，若，则 D. 用数字0，1，2，3，4组成的无重复数字的四位数中，偶数的个数为60 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，根据相关系数性质判断即可；对B，利用二项展开式通项为求解；对C，利用正态分布概率公式可求；对D，数字排列问题，对个位数字0，2，4进行讨论可解. 【详解】两个变量线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1，故A错误； 的展开式的通项为，， 令，则的展开式中的系数为，故B正确； 随机变量服从正态分布，则，若，则， 所以，故C正确； 若四位数为偶数，则其个位数字为0，2，4.当个位数字为0时，四位数有个； 当个位数字为2或4时，四位数分别有个， 则偶数的个数为，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知点在焦点为的抛物线上，其中是各项均不为零的数列且．若，则（ ） A. B. 数列为等差数列 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先求抛物线方程得，由，根据抛物线的定义得，进而得，即可求，进而判断A，根据等差数列的定义即可判断B，利用并项求和即可判断C，由得，令，利用导数研究单调性即可判断D. 【详解】由题意有：，所以抛物线方程为，又点在上，所以， 所以， 因为，所以， 所以数列是以1为首项，公差为1的等差数列， 所以，故A正确； 又，不是固定不变的常数， 所以数列不是等差数列，故B错误； 由，故C正确； 由，即，令， 所以，所以在单调递增，又， 所以当时，，，即， 所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则______. 【答案】0 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系求出，再结合两角差的余弦公式求解即可. 【详解】因为，所以， 则，得到， 由两角差的余弦公式得. 故答案为：0 13. 已知直线与圆交于两点，写出满足“”的的一个值：______. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由题意可知，显然圆心到直线的距离为1，利用点线距离公式即可求出. 【详解】由圆可知，圆心，半径. 因为，所以.过作，则. 所以圆心到直线的距离为， 解得或. 故答案为：（答案不唯一）. 14. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取球，若存在为整数，使得标有数字和的球均已被取出，则停止取球．记为取出的球的个数，则的数学期望______． 【答案】#### 【解析】 【分析】先根据题意确定停止取球的条件，再确定的取值，求出其分布列，根据期望的计算公式计算. 【详解】当，；当时，；当时，； 由题，则当标有数字或者或者的球均已被取出，则停止取球， 所以的可能取值是， ；；； 所以的分布列为 . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角的对边分别为，已知 （1）求 （2）的角平分线交于点，若，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用余弦定理求出，再结合题意建立方程组求出即可. （2）作出符合题意的图形，先利用等角对等边求出，结合两角和的正弦公式求出，利用正弦定理求出，最后求解周长即可. 【小问1详解】 因为，所以， 则，由余弦定理得， 因为，所以，则，由题意得， 联立两式，得到，解得 . 【小问2详解】 如图，作出符合题意的图形， 因为的角平分线交于点，所以， 则，得到，故， 而， 而，则在中，由正弦定理知， 解得，故的周长为. 16. 如图，三棱台中，是正三角形，平面ABC，，M，N分别为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先应用线面垂直判定定理得出平面再应用线面垂直性质得出线线垂直，即可证明线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，应用空间向量法求线面角正弦值即可. 【小问1详解】 因为是正三角形，M为AB中点，所以CM⊥AB， 因为平面平面ABC，所以， 又平面 所以平面 又因为平面，所以， 连接，易得， 所以，所以， 又因为，所以， 因为，平面， 所以平面. 【小问2详解】 取AC中点O，连接，易知三条直线两两垂直， 以O为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则， 由（1）知平面的一个法向量为，又， 所以， 所以直线与平面所成的角的正弦值为． 17. 随着短剧在短视频平台的爆发式增长，为其输送内容创作动能的网络文学用户规模也持续增加，目前中国网络文学用户已超过整体网民数量的一半．为了解不同性别的网民对网络文学的喜欢情况，随机调查了200名网民，得到如下数据． 男性网民 女性网民 合计 喜欢网络文学 45 60 105 不喜欢网络文学 55 40 95 合计 100 100 200 （1）判断是否有99%的把握认为是否喜欢网络文学与性别有关； （2）某网络文学平台组织网民进行文学挑战赛，分成甲、乙两组进行挑战，其规则如下：每次挑战时平台给出文学作品主题要求，甲组与乙组各选出一篇本组优秀作品参加挑战赛，然后由平台组织专家打分确定胜负．根据以往经验，甲组第1次挑战赛获胜的概率为 ，若甲组上一次挑战赛获胜，则下一次挑战赛获胜的概率为；若甲组上一次挑战没有获胜，则下一次挑战赛获胜的概率为，已知按此规则进行了多次挑战赛，每次挑战有且仅有1个组获胜． （i）在进行了3次挑战赛后，求乙组获胜次数X的分布列与数学期望； （ii）若第次挑战时甲组获胜的概率为，求的通项公式，并求出使的的最小值． 附 ，其中n=a+b+c+d． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）没有把握； （2）（i）分布列见解析，数学期望为；（ii）；6. 【解析】 【分析】（1）根据给定的数据求出的观测值，再与临界值比对即可. （2）（i）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望；（ii）求出的递推公式，利用构造法求出通项公式，再按奇偶分类讨论求出的最小值. 【小问1详解】 根据列联表中的数据，得， 所以没有的把握认为是否喜欢网络文学与性别有关. 【小问2详解】 （i）X的可能取值为0，1，2，3， ；； ；， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P . （ii）依题意，， 则，而， 因此数列是首项为，公比为的等比数列，， 当为奇数时，，不合题意； 当为偶数时，，令，得， 当时，，当时，，又数列单调递增，则， 所以的最小值为6. 18. 已知O为坐标原点，椭圆的离心率，椭圆C的左、右焦点分别为，，焦距为．定义椭圆C上点的“和点”为． （1）求椭圆C的方程； （2）记OP，OQ的斜率分别为，，求的取值范围； （3）若直线l交椭圆C于A，B两点，点A，B的“和点”分别为，，且，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由离心率和焦距列式求得，进而求得，即可得解. （2）利用两点式斜率公式得，令，则，然后利用基本不等式求解范围即可. （3）方法一：当l斜率不为0时，设直线，与椭圆方程联立，韦达定理，利用数量积的坐标运算列式得，利用弦长公式求得，求出O到直线l的距离，进而求得，然后利用基本不等式求解最大值即可； 当l斜率为0时，设直线，与椭圆方程联立，利用求出，然后求出，即可得解； 方法二：由数量积的坐标运算得，即，然后设出点的极坐标，代入椭圆方程并化简得，则，结合利用对勾函数单调性求解面积的最大值即可. 【小问1详解】 由题意，解得，所以， 所以椭圆C的方程为． 【小问2详解】 由题意， 令，则， 当时，，当且仅当取等号； 当时，，当且仅当取等号； 所以或， 即的取值范围为． 【小问3详解】 方法一：①当l斜率不为0时， 设直线，，，则，， ， ， ，， 所以，即， 所以，代入得， （*） ，O到直线l的距离， ， 当且仅当，即时取“=”． ②当l斜率为0时，设直线，联立， 则， 由得，解得， 所以， 综上：． 方法二：设，，，， 由， ，， 设，，其中，， 即，， ， ，而，， 当且仅当或2即，或，时，取最大值1． 19. 已知函数，其中. （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有； （Ⅲ）若关于的方程有两个正实根，求证： . 【答案】（Ⅰ） 当为奇数时，在，上单调递减，在内单调递增；当为偶数时，在上单调递增，在上单调递减. （Ⅱ）证明：设点的坐标为， 则，，曲线在点处的切线方程为，即， 令，即，则 由于在上单调递减， 故在上单调递减， 又因为，所以当时，，当时，， 所以在内单调递增，在内单调递减， 所以对任意的正实数都有，即对任意的正实数，都有. （Ⅲ）证明：不妨设，由（Ⅱ）知，设方程的根为，可得 ，当时，在上单调递减， 又由（Ⅱ）知可得. 类似的，设曲线在原点处的切线方程为，可得， 当，，即对任意， 设方程的根为，可得， 因为在上单调递增，且， 因此. 由此可得. 因为，所以，故， 所以. 【解析】 【详解】（Ⅰ）由，可得，其中且， 下面分两种情况讨论： （1）当为奇数时： 令，解得或， 当变化时，的变化情况如下表： 所以，在，上单调递减，在内单调递增. （2）当为偶数时， 当，即时，函数单调递增； 当，即时，函数单调递减. 所以，在上单调递增，在上单调递减. （Ⅱ）略 （Ⅲ）略 考点：1.导数的运算；2.导数的几何意义；3.利用导数研究函数性质、证明不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $