专题4.2 认识一次函数（暑期预习衔接讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册

专题4.2 认识一次函数（暑期预习衔接讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册 知识点梳理 一、一次函数的定义 形如 y=kx+b（k,b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。其中x是自变量，y是因变量。 定义要点： 包含两个变量x和y 等式右边是关于x的一次整式 自变量x的系数k≠0 x和y的指数都是1次 二、正比例函数的定义 当b=0时，一次函数y=kx+b变为 y=kx（k为常数，k≠0），此时称y是x的正比例函数。 重要关系： 正比例函数是特殊的一次函数（b=0的情况） 正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数 三、一次函数的表达式结构 1. 标准形式：y=kx+b（k≠0） 2. 结构特点： 等号左边是因变量y 等号右边是自变量x的一次单项式（kx）加上一个常数项（b） 自变量x的次数为1 系数k不能为0 四、k和b的几何意义 1. 斜率k： 决定函数图像的倾斜程度 k>0时，y随x的增大而增大 k<0时，y随x的增大而减小 |k|越大，直线越陡峭 2. 截距b： 决定函数图像与y轴的交点位置 图像与y轴交于点(0,b) b>0时，交点在y轴正半轴 b<0时，交点在y轴负半轴 五、一次函数与正比例函数的关系 正比例函数是一次函数的特殊形式（b=0） 所有正比例函数都是一次函数 只有当b=0时，一次函数才是正比例函数 六、一次函数的判定方法 1. 将函数关系式化简整理后，看是否符合y=kx+b（k≠0）的形式 2. 检查条件： 自变量x的系数k≠0 自变量x的次数为1 关系式是整式 判定示例： y=-x-4 是一次函数（k=-1,b=-4） y=5x²-6 不是一次函数（x的次数是2） y=2πx 是正比例函数（k=2π,b=0） y=8x²+x(1-8x) 是一次函数（化简后为y=x） 七、一次函数的实际应用 根据实际问题中的数量关系，列出一次函数表达式： 步骤： 1. 确定自变量和因变量 2. 找出等量关系 3. 根据等量关系列出函数关系式 4. 确定自变量的取值范围（根据实际意义） 实例： 1. 弹簧长度问题：弹簧自然长度3cm，每挂1kg物体伸长0.5cm 关系式：y=0.5x+3 2. 汽车耗油量问题：油箱原有60L油，每行驶50km耗油6L 剩余油量关系式：z=60-0.12x 3. 劳务报酬所得税问题：收入超过800元但不超过4000元时，税款=(收入-800)×20% 关系式：y=0.2(x-800) （800<x≤4000） 培优练习 一、选择题 1．下列问题中，两个变量成正比例的是（　　） A．一个人的体重和年龄 B．圆的周长和直径 C．车辆行驶的路程一定时，行驶的速度和时间 D．周长一定时，长方形的长和宽 2．若函数是正比例函数，则的值是（　　） A． B． C． D． 3．已知函数y=（1﹣3m）x是正比例函数，且y随x的增大而增大，那么m的取值范围是（　　） A．m＞ B．m＜ C．m＞1 D．m＜1 4．一水池的容积是90m3，现有蓄水10m3，用水管以5m3/h的速度向水池注水，直到注满为止．则水池蓄水量V（m3）与注水时间t（h）之间的函数关系式为（　　） A． B． C．V=10+5t D． 5．鲁老师乘车从学校到省城去参加会议，学校距省城200千米，车行驶的平均速度为80千米/时．x小时后鲁老师距省城y千米，则y与x之间的函数关系式为（　　） A．y=80x-200 B．y=-80x-200 C．y=80x+200 D．y=-80x+200 6．某种蜡烛燃烧的长度与燃烧时间成正比例关系．若点燃6分钟后，高度下降，则长的此种蜡烛点燃15分钟后，剩余蜡烛的长度为（　　） A． B． C． D． 7．一长为 ，宽为 的长方形木板，现要在长边上截去长为 的一部分（如图），则剩余木板的面积 与 的关系式为（其中 ）（　　）. A． B． C． D． 8．在弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比某弹簧不挂物体时长；当所挂物体质量为时，弹簧长则弹簧长度与所挂物体质量之间的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知函数是一次函数，则的值为　 　. 10．一水池现蓄水，用水管以的速度向水池中注水，则水池蓄水量与注水时间之间的函数关系式是　 　. 11．已知汽车油箱内有油，每行驶耗油，那么汽车行驶过程中油箱内剩余的油量与行驶路程之间的关系式是　 　； 12．等腰三角形中，底角的度数用x表示，顶角的度数用y表示，写出y关于x的函数解析式 　 　，函数的定义域 　 　． 13．某音像社对外出租的光盘的收费方法是：每张光盘出租后的头两天，每天收0.8元，以后每天收0.5元，那么一张光盘在出租后n天（n≥2）应收租金　 　元. 14．把一根长为20cm的蜡烛，每分钟燃烧2cm，蜡烛剩余长度y(cm)与燃烧时间t(分)之间的关系为　 　(不需要写出自变量的取值范围). 三、解答题 15．已知函数， （1）当m、n为何值时，此函数是一次函数？ （2）当m、n为何值时，此函数是正比例函数？ 16．写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数?是否为正比例函数? （1）一个在斜坡上由静止开始向下滚动的小球，其速度每秒增加3m/s，小球的速度y(单位：m/s)与时间x(单位：s)之间的关系； （2）周长为10cm的长方形，其面积y(单位：( 与该长方形的一边长x(单位：cm)之间的关系. 17．父亲告诉小明：“距离地面越高，温度越低，”并给小明出示了表格． 距离地面高度（千米） 　 温度（） 根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答； （1）如果用表示距离地面的高度，用表示温度，写出与的关系式； （2）你能计算出距离地面千米的高空温度是多少吗？ 18．如图，甲、乙两地相距500km，一列“复兴号”动车组列车从乙地出发，以350km/h的速度向丙地行驶.设x(单位：h)表示列车行驶的时间，y(单位：km)表示列车与甲地之间的距离. （1）写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数； （2）当x=0.5时， 求y的值. 19．为了鼓励居民合理用电，某市推行峰谷分时计费.在户年用电量不超过2760kW·h的情况下， 采用峰谷电价的用户， 峰段 (8：00~22：00) 用电的单价为0.56元/(kW·h)， 谷段(22：00~次日8：00)用电的单价为0.36元/(kW·h)； 不采用峰谷电价的用户， 用电的单价为0.53元/(kW·h).已知某户一年用电量为2400kW·h. （1）假设该户这一年峰段用电量为1500kW·h，选择哪种计费方式电费较少? （2）假设该户这一年峰段用电量为2000kW·h，选择哪种计费方式电费较少? （3）一年中峰段用电量为多少时，两种计费方式的电费相同? 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.2 认识一次函数（暑期预习衔接讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册 知识点梳理 一、一次函数的定义 形如 y=kx+b（k,b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。其中x是自变量，y是因变量。 定义要点： 包含两个变量x和y 等式右边是关于x的一次整式 自变量x的系数k≠0 x和y的指数都是1次 二、正比例函数的定义 当b=0时，一次函数y=kx+b变为 y=kx（k为常数，k≠0），此时称y是x的正比例函数。 重要关系： 正比例函数是特殊的一次函数（b=0的情况） 正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数 三、一次函数的表达式结构 1. 标准形式：y=kx+b（k≠0） 2. 结构特点： 等号左边是因变量y 等号右边是自变量x的一次单项式（kx）加上一个常数项（b） 自变量x的次数为1 系数k不能为0 四、k和b的几何意义 1. 斜率k： 决定函数图像的倾斜程度 k>0时，y随x的增大而增大 k<0时，y随x的增大而减小 |k|越大，直线越陡峭 2. 截距b： 决定函数图像与y轴的交点位置 图像与y轴交于点(0,b) b>0时，交点在y轴正半轴 b<0时，交点在y轴负半轴 五、一次函数与正比例函数的关系 正比例函数是一次函数的特殊形式（b=0） 所有正比例函数都是一次函数 只有当b=0时，一次函数才是正比例函数 六、一次函数的判定方法 1. 将函数关系式化简整理后，看是否符合y=kx+b（k≠0）的形式 2. 检查条件： 自变量x的系数k≠0 自变量x的次数为1 关系式是整式 判定示例： y=-x-4 是一次函数（k=-1,b=-4） y=5x²-6 不是一次函数（x的次数是2） y=2πx 是正比例函数（k=2π,b=0） y=8x²+x(1-8x) 是一次函数（化简后为y=x） 七、一次函数的实际应用 根据实际问题中的数量关系，列出一次函数表达式： 步骤： 1. 确定自变量和因变量 2. 找出等量关系 3. 根据等量关系列出函数关系式 4. 确定自变量的取值范围（根据实际意义） 实例： 1. 弹簧长度问题：弹簧自然长度3cm，每挂1kg物体伸长0.5cm 关系式：y=0.5x+3 2. 汽车耗油量问题：油箱原有60L油，每行驶50km耗油6L 剩余油量关系式：z=60-0.12x 3. 劳务报酬所得税问题：收入超过800元但不超过4000元时，税款=(收入-800)×20% 关系式：y=0.2(x-800) （800<x≤4000） 培优练习 一、选择题 1．下列问题中，两个变量成正比例的是（　　） A．一个人的体重和年龄 B．圆的周长和直径 C．车辆行驶的路程一定时，行驶的速度和时间 D．周长一定时，长方形的长和宽 【答案】B 【解析】【解答】解：A、一个人的体重和年龄不成正比例，∴A不符合题意； B、圆的周长直径（一定），∴圆的周长和直径成正比例，∴B符合题意； C、速度时间路程（一定），∴车辆行驶的路程一定时，行驶的速度和时间成反比例，∴C不符合题意； D、（长宽）长方形的周长（一定），∴周长一定时，长方形的长和宽不成正比例，∴D不符合题意． 故答案为：B． 【分析】根据正比例的定义，分别分析判断即可．理解并掌握正比例的定义（两个量的比值一定，则这两个量成正比关系）是本题的关键． 2．若函数是正比例函数，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：根据题意得，2k+1=0， ∴ k=. 故答案为：C. 【分析】根据正比例函数的定义可得2k+1=0，即可求得. 3．已知函数y=（1﹣3m）x是正比例函数，且y随x的增大而增大，那么m的取值范围是（　　） A．m＞ B．m＜ C．m＞1 D．m＜1 【答案】B 【解析】【解答】解：∵正比例函数y=（1﹣3m）x中，y随x的增大而增大， ∴1﹣3m＞0，解得m＜． 故选：B． 【分析】先根据正比例函数的性质列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可 4．一水池的容积是90m3，现有蓄水10m3，用水管以5m3/h的速度向水池注水，直到注满为止．则水池蓄水量V（m3）与注水时间t（h）之间的函数关系式为（　　） A． B． C．V=10+5t D． 【答案】C 【解析】【解答】解：根据水池蓄水量等于原有水量加注入水量可得， V=10+5t， 故答案为：C． 【分析】根据 一水池的容积是90m3，现有蓄水10m3，用水管以5m3/h的速度向水池注水， 求函数解析式即可。 5．鲁老师乘车从学校到省城去参加会议，学校距省城200千米，车行驶的平均速度为80千米/时．x小时后鲁老师距省城y千米，则y与x之间的函数关系式为（　　） A．y=80x-200 B．y=-80x-200 C．y=80x+200 D．y=-80x+200 【答案】D 【解析】【解答】依题意有y=200-80x=-80x+200． 故答案为：D． 【分析】由题意可得y=学校与省城的距离-汽车行驶的路程即可求解。 6．某种蜡烛燃烧的长度与燃烧时间成正比例关系．若点燃6分钟后，高度下降，则长的此种蜡烛点燃15分钟后，剩余蜡烛的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：设蜡烛燃烧的长度y(cm)与燃烧时间t(min)之间的正比例关系为y=kt(k为常数，且k≠0). 将t=6，y=3.6代入y=kt， 得6k=3.6， 解得k=0.6， ∴y与t之间的函数关系式为y=0.6t. 当t=15时，y=0.6×15=9， 22-9=13(cm)， ∴剩余蜡烛的长度为13cm， 故答案选：C. 【分析】利用待定系数法求出蜡烛燃烧的长度与燃烧时间之间的函数关系式，求出当时间为15分钟时蜡烛燃烧的长度，蜡烛的点长度减去燃烧的长度就是剩余蜡烛的长度. 7．一长为 ，宽为 的长方形木板，现要在长边上截去长为 的一部分（如图），则剩余木板的面积 与 的关系式为（其中 ）（　　）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：由题意得 y=2×5−2x=10−2x. 故答案为：C. 【分析】根据剩余木板的面积=原长方形的面积-截去的面积，列出y与x之间的关系式。 8．在弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比某弹簧不挂物体时长；当所挂物体质量为时，弹簧长则弹簧长度与所挂物体质量之间的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：设弹簧总长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间符合一次函数关系为y=kx+15. 把(3，16.8)代入解析式得：16.8=3k+15， 解得k= 0.6， ∴该一次函数解析式为y=0.6x+15. 故答案为：D. 【分析】根据题意可知，弹簧总长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间符合一次函数关系，可设y=kx+15，把(3，16.8)代入求解. 二、填空题 9．已知函数是一次函数，则的值为　 　. 【答案】2 【解析】【解答】解：依题意，， 解得：， 故答案为：2. 【分析】一次函数的一般形式为y=kx+b（k≠0），则m-1=1，求解可得m的值. 10．一水池现蓄水，用水管以的速度向水池中注水，则水池蓄水量与注水时间之间的函数关系式是　 　. 【答案】 【解析】【解答】解：∵水池现蓄水，用水管以的速度向水池中注水， ∴水池蓄水量与注水时间之间的函数关系式是：； 故答案为：. 【分析】根据“水池蓄水量=现蓄水量+注水量”列关系式即可. 11．已知汽车油箱内有油，每行驶耗油，那么汽车行驶过程中油箱内剩余的油量与行驶路程之间的关系式是　 　； 【答案】Q=50-0.10s 【解析】【解答】解：∵每行驶耗油， ∴每千米需耗油=0.10升， ∴s（km）耗油=0.10s升， ∴油箱内剩余的油量与行驶路程之间的关系式是Q=50-0.10s. 故答案为：Q=50-0.10s. 【分析】利用已知条件可求出每千米的耗油量，然后根据余油量=50-每千米的耗油量×行驶的路程，列式可得到Q与s之间的函数解析式. 12．等腰三角形中，底角的度数用x表示，顶角的度数用y表示，写出y关于x的函数解析式 　 　，函数的定义域 　 　． 【答案】； 【解析】【解答】 等腰三角形中，底角的度数用x表示，顶角的度数用y表示， 即 解得 故答案为： ， ． 【分析】根据三角形的内角和可得，由即可求出自变量x的范围. 13．某音像社对外出租的光盘的收费方法是：每张光盘出租后的头两天，每天收0.8元，以后每天收0.5元，那么一张光盘在出租后n天（n≥2）应收租金　 　元. 【答案】0.5n+0.6 【解析】【解答】当租了n天（n≥2），则应收钱数： 0.8×2+（n-2）×0.5， =1.6+0.5n-1， =0.5n+0.6（元）． 答：共收租金0.5n+0.6元． 故答案为：0.5n+0.6． 【分析】先求出出租后的头两天的租金，然后用“n-2”求出超出两天的天数，进而求出超出两天后的租金，然后用“头两天的租金+超出两天后的租金”解答即可． 14．把一根长为20cm的蜡烛，每分钟燃烧2cm，蜡烛剩余长度y(cm)与燃烧时间t(分)之间的关系为　 　(不需要写出自变量的取值范围). 【答案】y=20-2t 【解析】【解答】解：由题意得：y=20−2t， 故答案为：y=20−2t. 【分析】根据蜡烛剩余长度=原长-已经燃烧的长度即可列出y与t的函数关系式. 三、解答题 15．已知函数， （1）当m、n为何值时，此函数是一次函数？ （2）当m、n为何值时，此函数是正比例函数？ 【答案】（1）解：当函数是一次函数时， ，且， 解得，，； （2）解：当函数是正比例函数时， ， 解得，，． 【解析】【分析】（1）根据一次函数的定义可得 ，且， 再求出m、n的值即可； （2）根据正比例函数的定义可得，再求出m、n的值即可. 16．写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数?是否为正比例函数? （1）一个在斜坡上由静止开始向下滚动的小球，其速度每秒增加3m/s，小球的速度y(单位：m/s)与时间x(单位：s)之间的关系； （2）周长为10cm的长方形，其面积y(单位：( 与该长方形的一边长x(单位：cm)之间的关系. 【答案】（1）解：因为速度每秒增加3m，所以函数关系式为 根据一次函数与正比例函数的定义知，它既是一次函数，又是正比例函数； （2）解：·.·长方形的周长为10cm，一条边为 xcm， ∴这个长方形与这条边相邻的边长为： ∵矩形的长与宽都大于0 解得： ∴函数关系式为： 根据一次函数与正比例函数的定义知，它既不是一次函数，又不是正比例函数. 【解析】【分析】（1）（2）写出函数关系式，根据一次函数和正比例函数的定义解答即可. 17．父亲告诉小明：“距离地面越高，温度越低，”并给小明出示了表格． 距离地面高度（千米） 　 温度（） 根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答； （1）如果用表示距离地面的高度，用表示温度，写出与的关系式； （2）你能计算出距离地面千米的高空温度是多少吗？ 【答案】（1）解：由表格数据可得，高度每增加千米，温度就下降， 则； （2）解：当时，， 即距离地面千米的高空温度是． 【解析】【分析】（1）结合表格中的数据求出高度每增加千米，温度就下降， 再求函数解析式即可； （2）将h=16代入函数解析式计算求解即可。 18．如图，甲、乙两地相距500km，一列“复兴号”动车组列车从乙地出发，以350km/h的速度向丙地行驶.设x(单位：h)表示列车行驶的时间，y(单位：km)表示列车与甲地之间的距离. （1）写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数； （2）当x=0.5时， 求y的值. 【答案】（1）解： y是x的一次函数； （2）解：将 代入 中得 【解析】【分析】（1）根据“列车与甲地之间的距离=甲、乙两地之间的距离+列车行驶的路程”列关系式，并根据一次函数的定义解答即可； （2）代入x=0.5，求出y值即可解答. 19．为了鼓励居民合理用电，某市推行峰谷分时计费.在户年用电量不超过2760kW·h的情况下， 采用峰谷电价的用户， 峰段 (8：00~22：00) 用电的单价为0.56元/(kW·h)， 谷段(22：00~次日8：00)用电的单价为0.36元/(kW·h)； 不采用峰谷电价的用户， 用电的单价为0.53元/(kW·h).已知某户一年用电量为2400kW·h. （1）假设该户这一年峰段用电量为1500kW·h，选择哪种计费方式电费较少? （2）假设该户这一年峰段用电量为2000kW·h，选择哪种计费方式电费较少? （3）一年中峰段用电量为多少时，两种计费方式的电费相同? 【答案】（1）解：已知该户一年用电量为2400kW·h，峰段用电量为1500kW·h， 则谷段用电量为2400-1500 =900kW·h。 采用峰谷电价的电费为：1500×0.56+900×0.36=840+324=1164(元)。 不采用峰谷电价的电费为： 2400×0.53=1272(元) 。 因为1164<1272，所以采用峰谷电价的计费方式电费较少。 （2）解：已知该户一年用电量为2400kW·h，峰段用电量为2000kW·h， 则谷段用电量为2400-2000 =400kW·h。 采用峰谷电价的电费为：2000×0.56+400×0.36=1120+144=1264(元)。 不采用峰谷电价的电费为： 2400×0.53 =1272(元) 。 因为1264 <1272，所以采用峰谷电价的计费方式电费较少。 （3）解：设一年中峰段用电量为xkW·h，则谷段用电量为(2400-x)kW·h。 可列方程： 0.56x+0.36(2400-x)=0.53×2400。 解得x=2040。 答：一年中峰段用电量为2040kW·h时，两种计费方式的电费相同。 【解析】【分析】（1）根据两种不同的收费标准列式计算，比较解答即可； （2）根据两种不同的收费标准列式计算，比较解答即可； （3）设一年中峰段用电量为xkW·h，根据收费标准列方程求出x值即可解答. 学科网（北京）股份有限公司 $$