专题4.4 一次函数的应用（暑期预习衔接讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册

专题4.4 一次函数的应用（暑期预习衔接讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册 知识点梳理 一、一次函数的实际意义 函数表达式： k的实际意义：表示自变量每增加1个单位，因变量的变化量（斜率） b的实际意义：当自变量为0时，因变量的初始值（截距） 实际情境中的取值范围：根据实际问题确定自变量和因变量的取值范围 二、用一次函数解决实际问题的步骤 1. 分析问题：找出问题中的常量与变量，明确它们之间的关系 2. 设出变量：设自变量为 3. 建立模型：根据数量关系列出一次函数表达式 4. 确定参数：通过已知条件求出 5. 求解验证：利用函数表达式解决问题，并检验结果的合理性 三、常见应用场景 1. 行程问题 匀速运动模型：路程=速度×时间 相遇问题：两人路程之和等于总路程 追及问题：快者路程减去慢者路程等于初始距离 2. 销售问题 总价计算：总价=单价×数量 利润计算：利润=（售价-成本）×数量 折扣问题：折后价=原价×折扣率 3. 几何问题 周长计算：如长方形周长 面积计算：如三角形面积 体积计算：如柱体体积 4. 方案选择问题 费用比较：比较不同方案的费用函数，选择最优方案 临界点分析：求出两个函数的交点，确定不同情况下的最优选择 四、一次函数图像的应用 图像信息读取：从图像中获取点的坐标、斜率、截距等信息 趋势分析：根据图像走势判断变量的变化趋势 交点意义：图像交点表示两个函数值相等的时刻或状态 五、一次函数与方程、不等式的关系 与一元一次方程的关系：解方程 标 与一元一次不等式的关系：解不等式 相当于求函数图像在x轴上方（或下方）时x的取值范围 图像法解方程组：两个一次函数图像的交点坐标即为对应方程组的解 六、典型例题解析要点 1. 审题关键：找出题目中的等量关系和不等关系 2. 建模技巧：根据实际情境合理设置变量，建立函数关系 3. 结果验证：注意自变量的取值范围，确保解符合实际意义 4. 图像应用：学会利用图像直观解决比较大小、求最值等问题 培优练习 一、选择题 1．把直线y=-x+3向上平移m个单位后，与直线y= 2x +4的交点在第一象限，则m的取值范围是（　　） A．1<m<7 B．3<m<4 C．m>1 D．m<4 2．如图，购买一种苹果所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段和射线组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省（　　） A．4元 B．3元 C．2元 D．1元 3．根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是6，则输出的值是1，若输入的值是2，则输出的值是（　　） A．4 B．10 C．19 D．21 4．如图，甲、乙两人分别骑自行车和摩托车，从同一地点沿相同的路线前往距离的某地．如图，分别表示甲、乙两人离开出发地的距离与行驶时间之间的函数关系.问乙出发（　　）后两人相遇. A．小时 B．小时 C．小时 D．1.5小时 5． 某快递公司每天上午8：00~9：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y(件)与时间x(分)之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为(　　) A．8：10 B．8：15 C．8：20 D．8：25 6．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示，时，两架无人机的高度差为（　　） A．10 B．15 C．20 D．25 7．如图所示，反映了天利公司某种产品的销售收入与销售量的关系，反映了该种产品的销售成本与销售量的关系．根据图象提供信息，下列说法正确的是（　　） A．当销售量为2吨时，销售成本是2000元 B．销售成本是5000元时，该公司的该产品盈利 C．当销售量为5吨时，该公司的该产品盈利1000元 D．的函数表达式为 8．在同一条跑道上，甲、乙两人从同一起点出发进行500米跑步练习，先到达终点者原地休息，甲先出发10秒，在跑步过程中，甲、乙两人之间的距离y（m）和乙出发的时间x（s）之间的函数关系如图所示，则图象中a的值为（　　） A．50 B．60 C．70 D．80 9．甲、乙两人同起点同方向出发，匀速步行3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3分钟，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，则下列说法正确是（　　） A．甲步行的平均速度为32米/分． B．乙步行的平均速度为20米/分． C．当t = 30时，乙到达终点． D．乙比甲提前4.5分钟到达终点． 10．快车从甲地匀速开往乙地，慢车从乙地出发沿同一条公路匀速前往甲地.慢车先出发1小时，快车再出发.设慢车行驶的时间为小时，两车之间的距离为千米，与的函数关系如图所示.下列结论：①快车出发4.4小时后两车相遇；②慢车的速度是100千米／小时；③线段AB所在直线的函数表达式为，正确的有（　　） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 二、填空题 11．如图，弹簧的长度与所挂物体的质量的关系为一次函数关系，则不挂物体时，弹簧的长度为　 　cm. 12．等腰三角形的周长是20，底边长与腰长的函数关系式是　 　（同时写出的取值范围） 13．如图，直线与直线相交于点，则方程组的解为　 　． 14． 如图所示表示“龟兔赛跑”时路程与时间的关系，已知龟、兔上午8：00从同一地点出发，请你根据图中给出的信息计算，经过　 　时乌龟追上兔子. 15．在如图所示的平面直角坐标系中，点是直线上的动点，，是轴上的两点，当取最小值时，　 　． 16．现有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水匀速注入乙池中．如图，这是甲、乙两个蓄水池中水的高度（米）随注水时间（小时）变化的图象．当甲、乙两蓄水池中水的高度相同时，注水的时间是　 　小时． 17．某商店今年6月初销售纯净水的数量如下表： 日期 1 2 3 4 数量（瓶） 120 125 130 135 观察此表，利用所学函数知识预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为　 　瓶． 18．在弹性限度内，弹簧的长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）是一次函数关系．一根弹簧不挂物体时长15cm，在弹性限度内，当所挂物体的质量为5kg时，弹簧长20cm；当所挂物体的质量为8kg时，弹簧的长度是　 　cm 三、解答题 19．某种蜡烛在燃烧过程中，其高度y(cm)与时间t(h)之间成一次函数关系.已知此蜡烛原高17cm，燃烧30分钟后，高度为12cm. （1）求y关于t的函数表达式，并求自变量t的取值范围. （2）晚上20：00点亮蜡烛，但有一段时间风把蜡烛吹灭了，后又点亮蜡烛，至晚上22：00蜡烛燃烧完.问：其间蜡烛熄灭了几分钟? 20．某快递公司每天上午9：00-10：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y(件)与时间x(分)之间的函数图象如图所示. （1）求甲、乙两仓库的快件数量y(件)与时间x(分)之间的函数表达式. （2）求两直线的交点坐标，并说明其含义. 21．别让眼泪成为人类的最后一滴水，为加强节水意识，某市采用如下收费标准：不超过12 立方米时，每立方米3元，超过12立方米时，超出的部分每立方米5元。设某用户月用水量为x立方米，水费为y元。 （1）当x>12时，求y关于x的函数表达式； （2）若该用户某月预算水费40元，实际水费33元，则该用户本月实际用水比预算少用了多少立方米? 22．小滨一家从家里出发，驾驶一辆充满电的新能源汽车到古刹时，剩余电量为．他们再从古刹出发，沿如图的景区公路去飞瀑游玩．已知该车从古刹出发行驶过程中，剩余电量与行驶路程之间的关系如图所示． （1）求关于的函数表达式． （2）已知这辆车的“满电量”为，小滨一家到飞瀑游玩后原路返回家里，电量够吗？请说明理由． 23．要从甲、乙两仓库向A，B工地运送水泥。已知甲仓库可运出100吨水泥，乙仓库可运出80吨水泥；A工地需70吨水泥，B工地需110吨水泥。两仓库到A，B两工地的路程和每吨每千米的运费如下表： 工地 路程/千米 每千米运费/(元/吨) 甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库 A工地 20 15 1.2 1.2 B工地 25 20 1 0.8 （1）设甲仓库运往A工地水泥x吨，求总运费y关于x的函数表达式，并画出图象。 （2）当甲、乙两仓库各运往A，B两工地多少吨水泥时，总运费最省?最省的总运费是多少? 24． 甲、乙两组工人同时加工某种零件，乙组在工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍.两组各自加工零件的数量y(件)与时间x(小时)的函数图象如图所示. （1）求甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数关系式. （2）求乙组加工零件总量a 的值. （3）甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每够300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，则经过多长时间恰好装满第1箱?再经过多长时间恰好装满第 2 箱? 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.4 一次函数的应用（暑期预习衔接讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册 知识点梳理 一、一次函数的实际意义 函数表达式： k的实际意义：表示自变量每增加1个单位，因变量的变化量（斜率） b的实际意义：当自变量为0时，因变量的初始值（截距） 实际情境中的取值范围：根据实际问题确定自变量和因变量的取值范围 二、用一次函数解决实际问题的步骤 1. 分析问题：找出问题中的常量与变量，明确它们之间的关系 2. 设出变量：设自变量为 3. 建立模型：根据数量关系列出一次函数表达式 4. 确定参数：通过已知条件求出 5. 求解验证：利用函数表达式解决问题，并检验结果的合理性 三、常见应用场景 1. 行程问题 匀速运动模型：路程=速度×时间 相遇问题：两人路程之和等于总路程 追及问题：快者路程减去慢者路程等于初始距离 2. 销售问题 总价计算：总价=单价×数量 利润计算：利润=（售价-成本）×数量 折扣问题：折后价=原价×折扣率 3. 几何问题 周长计算：如长方形周长 面积计算：如三角形面积 体积计算：如柱体体积 4. 方案选择问题 费用比较：比较不同方案的费用函数，选择最优方案 临界点分析：求出两个函数的交点，确定不同情况下的最优选择 四、一次函数图像的应用 图像信息读取：从图像中获取点的坐标、斜率、截距等信息 趋势分析：根据图像走势判断变量的变化趋势 交点意义：图像交点表示两个函数值相等的时刻或状态 五、一次函数与方程、不等式的关系 与一元一次方程的关系：解方程 标 与一元一次不等式的关系：解不等式 相当于求函数图像在x轴上方（或下方）时x的取值范围 图像法解方程组：两个一次函数图像的交点坐标即为对应方程组的解 六、典型例题解析要点 1. 审题关键：找出题目中的等量关系和不等关系 2. 建模技巧：根据实际情境合理设置变量，建立函数关系 3. 结果验证：注意自变量的取值范围，确保解符合实际意义 4. 图像应用：学会利用图像直观解决比较大小、求最值等问题 培优练习 一、选择题 1．把直线y=-x+3向上平移m个单位后，与直线y= 2x +4的交点在第一象限，则m的取值范围是（　　） A．1<m<7 B．3<m<4 C．m>1 D．m<4 【答案】C 【解析】【解答】解：直线y=-x+3向上平移m个单位后，可得 y=-x+3+m， 联立两条直线解析式得：， 解得， ∵交点在第一象限， ∴，解不等式组得： 故答案为：C. 【分析】直线y=-x+3向上平移m个单位后，可得 y=-x+3+m，求出平移后直线与y= 2x+4的交点，再由第一象限内点的坐标特征，列出不等式组，即可得解. ​​​​​​ 2．如图，购买一种苹果所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段和射线组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省（　　） A．4元 B．3元 C．2元 D．1元 【答案】C 【解析】【解答】根据图象可得， 当时，每千克苹果的单价是（元）， 当时，每千克苹果的单价是（元）， 故一次购买3千克这种苹果需要花费：（元）， 分三次每次购买1千克这种苹果需要花费：（元）， （元）， 即一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省2元． 故选：C 【分析】 观察图象知，当购买量不超过2kg时，单价为元，即每千克10元；当购买量超过2kg时，单价为元，即每千克8元，分别计算出两种方案所需金额再作差即可． 3．根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是6，则输出的值是1，若输入的值是2，则输出的值是（　　） A．4 B．10 C．19 D．21 【答案】A 【解析】【解答】解： 当 时， 解得 当 时， 故答案为： A. 【分析】通过已知条件判断对应的函数关系式，进而求得b值，再代入x的值求得对应的y值即可. 4．如图，甲、乙两人分别骑自行车和摩托车，从同一地点沿相同的路线前往距离的某地．如图，分别表示甲、乙两人离开出发地的距离与行驶时间之间的函数关系.问乙出发（　　）后两人相遇. A．小时 B．小时 C．小时 D．1.5小时 【答案】C 【解析】【解答】解：由图象：设甲行驶过程的函数表达式：：y1=kx(k≠0)，经过点(5，120) 代入得，120=5k，k=24. ∴ ：y1=24x； 设乙行驶过程的函数表达式： ：y=kx+b(k≠0)，经过点(3，120)和（1，0） 代入得，，解得： ∴ ：y2=60x-60； 令24x=60x－60， 解得 即甲出发小时后两人相遇，此时乙出发时间为：（h） 故答案为：C. 【分析】分别求出两段函数表达式，根据相遇时即图形相交时，列方程求解即可.注意题目问的是乙出发的时间. 5． 某快递公司每天上午8：00~9：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y(件)与时间x(分)之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为(　　) A．8：10 B．8：15 C．8：20 D．8：25 【答案】C 【解析】【解答】设甲仓库的快件数量y(件)与时间x(分)之间的函数关系式为 根据题意得 解得 设乙仓库的快件数量y(件)与时间x(分)之间的函数关系式为 根据题意得 解得 联立可得方程组 解之得 此刻的时间为 8：20 故答案为： 8：20 【分析】根据函数图象利用待定系数法分别求出甲、乙两仓库的快件数量y(件)与时间x(分)之间的函数 ，求出两条直线的交点坐标可得答案。 6．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示，时，两架无人机的高度差为（　　） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】C 【解析】【解答】由图表可知甲无人机所在的位置距离地面的高度y(单位：m)与无人机上升的时间x(单位：s)之间的函数关系式为正比例函数即：， 其图象过点(5，40)， 即40 = 5k， 解得k = 8， 所以 由图表可知乙无人机所在的位置距离地面的高度y(单位：m)与无人机上升的时间x(单位：s)之间的函数关系式可设为 因为图象过点(0，20)，(5，40)， 所以有 解得b=20 m=4 所以 当x = 10s时， 故选：D. 【分析】根据图表信息先分别求出甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(单位：m)与无人机上升的时间x(单位：s)之间的函数关系式，再分别求出当x=10时，甲、乙两架无人机对应的高度求差即可. 7．如图所示，反映了天利公司某种产品的销售收入与销售量的关系，反映了该种产品的销售成本与销售量的关系．根据图象提供信息，下列说法正确的是（　　） A．当销售量为2吨时，销售成本是2000元 B．销售成本是5000元时，该公司的该产品盈利 C．当销售量为5吨时，该公司的该产品盈利1000元 D．的函数表达式为 【答案】B 【解析】【解答】解：A、∵当销售量为2吨时，销售成本是3000元，∴A不正确，不符合题意； B、∵销售成本是5000元时，销售利润是4500元，该公司的该产品盈利，∴B正确，符合题意； C、∵当销售量为5吨时，该公司的该产品盈利5000-4500=500元，∴C不正确，不符合题意； D、设的解析式为y=kx+b，将（0，2000）和（4，4000）分别代入可得，解得：，∴函数解析式为，∴D不正确，不符合题意； 故答案为：B. 【分析】根据函数图象中数据及性质逐项分析，再利用待定系数法求出函数解析式即可. 8．在同一条跑道上，甲、乙两人从同一起点出发进行500米跑步练习，先到达终点者原地休息，甲先出发10秒，在跑步过程中，甲、乙两人之间的距离y（m）和乙出发的时间x（s）之间的函数关系如图所示，则图象中a的值为（　　） A．50 B．60 C．70 D．80 【答案】B 【解析】【解答】解：由题意得 甲的速度为：40÷10=4米/秒， 乙的速度为：500÷100=5米/秒， a=5×100-（4×100+40）=60， 故答案为：B 【分析】根据一次函数结合题意得到甲和乙的速度，进而即可求解。 9．甲、乙两人同起点同方向出发，匀速步行3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3分钟，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，则下列说法正确是（　　） A．甲步行的平均速度为32米/分． B．乙步行的平均速度为20米/分． C．当t = 30时，乙到达终点． D．乙比甲提前4.5分钟到达终点． 【答案】D 【解析】【解答】解：A、根据图象可得，甲的速度为240÷3＝80（米/分），∴A不符合题意； B、设乙的速度为x米/分，根据图象可得，（15−3）x＝240＋80×（15−3），解得x＝100，∴乙的速度为100米/分，∴B不符合题 意； C、∵甲到达终点的时间为3000÷80＝37.5（分钟），乙达到终点的时间为3000÷100＝30（分钟），30＋3＝33（分钟），∴当t＝33时，乙到达终点，∴C不符合题意； D、∵甲先出发3分钟，∴乙先到终点原地休息了37.5−3−30＝4.5（分钟），∴乙比甲提前4.5分钟到达终点，∴D符合题意． 故答案为：D． 【分析】根据函数图象中的数据，利用“路程、时间和速度”的关系分别求出甲、乙的速度，再逐项分析判断即可. 10．快车从甲地匀速开往乙地，慢车从乙地出发沿同一条公路匀速前往甲地.慢车先出发1小时，快车再出发.设慢车行驶的时间为小时，两车之间的距离为千米，与的函数关系如图所示.下列结论：①快车出发4.4小时后两车相遇；②慢车的速度是100千米／小时；③线段AB所在直线的函数表达式为，正确的有（　　） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 【答案】D 【解析】【解答】解：由题意可知，甲、乙两地之间的距离是960千米，慢车行驶12小时， ∴慢车的速度为（千米/小时），②错误； 由图象可知，慢车出发5.4小时后两车相遇，而快车比慢车晚出发1小时 ∴5.4-1=4.4（小时）， ①快车出发4.4小时后两车相遇 ，正确； 慢车9小时行驶了80×9=720（千米） ∴B（9，720） 设AB所在直线解析式为y=kx+b（k≠0） 解得： AB所在直线解析式为， ③线段AB所在直线的函数表达式为，正确； 故答案为：D. 【分析】根据一次函数的图象，结合实际问题情境，先确定慢车、快车的行驶时间，求出慢车的速度，判断出①②，再求出B的坐标，利用待定系数法求出线段AB所在直线的解析式，即可作答. 二、填空题 11．如图，弹簧的长度与所挂物体的质量的关系为一次函数关系，则不挂物体时，弹簧的长度为　 　cm. 【答案】10 【解析】【解答】解：设一次函数的表达式为y=kx+b， 因为点（5，12.5），（20，20）在一次函数的图象上， 所以，解得. 所以一次函数的表达式为当x=0时，y=10. 所以不挂物体时，弹簧的长度为10cm. 故答案为：10. 【分析】当x=0时，没有挂物体，此时y为一次函数与y轴的交点的纵坐标. 12．等腰三角形的周长是20，底边长与腰长的函数关系式是　 　（同时写出的取值范围） 【答案】 【解析】【解答】解：等腰三角形的腰长为，底边长为，周长为20， ， ， 解得：． 故答案为：． 【分析】根据等腰三角形的周长列出函数关系式，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”得到自变量的取值． 13．如图，直线与直线相交于点，则方程组的解为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：因为直线 过点， 所以a=2×2+1=5， 直线与直线相交于点， 即方程组的解为， 故填：. 【分析】两直线的交点为P(2，a)，即点P在直线上，代入即可求出a的值，进而可知方程组的解. 14． 如图所示表示“龟兔赛跑”时路程与时间的关系，已知龟、兔上午8：00从同一地点出发，请你根据图中给出的信息计算，经过　 　时乌龟追上兔子. 【答案】10 【解析】【解答】解：折线表示兔的路程与时间的函数关系，射线表示龟的路程与时间的函数关系，兔子比龟的速度快，兔子与龟一起跑，一段时间后兔子跑在了前面后停下，直至龟追上兔子，从图象看到0~2时，兔子、龟都在跑，且速度不变，2-10时，兔子停下，龟继续追，到10时追上兔子. 故答案为：10. 【分析】从函数图象分析，找出兔子与龟各自的函数图象，两线第2个交点就是龟追上兔子的时刻. 15．在如图所示的平面直角坐标系中，点是直线上的动点，，是轴上的两点，当取最小值时，　 　． 【答案】 【解析】【解答】解： 如图，作A点关于直线y=x的对称点A′，连接A′B，交直线y=x于点P，此时PA+PB最小， ∵A（1，0）， ∴A′（0，1）， 设直线A′B的解析式为y=kx+b， ∴， ∴， ∴直线A′B的解析式为y=x+1， 联立方程组， 解得， ∴P（，）， ∴S△PAB=. 故答案为：. 【分析】作A点关于直线y=x的对称点A′，连接A′B，交直线y=x于点P，此时PA+PB最小，求出点P的坐标，再利用三角形面积公式进行计算，即可得出答案. 16．现有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水匀速注入乙池中．如图，这是甲、乙两个蓄水池中水的高度（米）随注水时间（小时）变化的图象．当甲、乙两蓄水池中水的高度相同时，注水的时间是　 　小时． 【答案】 【解析】【解答】解：设甲蓄水池的函数解析式为， 由题意，将点代入得：，解得， 则甲蓄水池的函数解析式为， 设乙蓄水池的函数解析式为， 由题意，将点代入得：，解得， 则乙蓄水池的函数解析式为， 联立得， 解得， 即当甲、乙两池中水的深度相同时，注水时间为小时， 故答案为：． 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，设甲蓄水池的函数解析式为，乙蓄水池的函数解析式为，利用待定系数法求出两个蓄水池的函数解析式分别为和，联立方程组，求出交点横坐标，进而得到答案. 17．某商店今年6月初销售纯净水的数量如下表： 日期 1 2 3 4 数量（瓶） 120 125 130 135 观察此表，利用所学函数知识预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为　 　瓶． 【答案】150 【解析】【解答】解：根据表中数据可知，从6月2日开始，每天的销售量都比前一天多5瓶， 所以6月7日的销售量为：120+(7-1)×5＝150（瓶） 故答案为：150. 【分析】根据表中数据可知，从6月2日开始，每天的销售量都比前一天多5瓶，6月7日的销售量则比2日多销售了6个5瓶，即多了30瓶。 18．在弹性限度内，弹簧的长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）是一次函数关系．一根弹簧不挂物体时长15cm，在弹性限度内，当所挂物体的质量为5kg时，弹簧长20cm；当所挂物体的质量为8kg时，弹簧的长度是　 　cm 【答案】23 【解析】【解答】解：根据题意，设函数解析式为y=kx+15， ∵当x=5时，y=20， ∴5k+15=20， 解之：k=1， ∴y=x+15， 当x=8时y=15+8=23. 故答案为：23. 【分析】根据题意，设函数解析式为y=kx+15，再将x=5，y=20，代入函数解析式求出k的值，可得到函数解析式，然后将x=8代入可求出对应的y的值. 三、解答题 19．某种蜡烛在燃烧过程中，其高度y(cm)与时间t(h)之间成一次函数关系.已知此蜡烛原高17cm，燃烧30分钟后，高度为12cm. （1）求y关于t的函数表达式，并求自变量t的取值范围. （2）晚上20：00点亮蜡烛，但有一段时间风把蜡烛吹灭了，后又点亮蜡烛，至晚上22：00蜡烛燃烧完.问：其间蜡烛熄灭了几分钟? 【答案】（1）解：设y=kt+b， 将t=0，y=17和t=0.5，y=12，代入解析式可得，解得， ∴ 所求的函数式为y=-10t+17（0≤t≤1.7） （2）解：对于y=-10t+17，令y=0，解得t=1.7． 从20：00到22：00经过了2h， 2-1.7=0.3（h）=18（min）， ∴ 其间蜡烛熄灭了18min 【解析】【分析】（1）根据待定系数法求出一次函数解析式，根据y=0求出x的最大值，即可求得t的取值范围； （2）根据t的最大值，用总时间减去t的最大值即可求得蜡烛熄灭的时间. 20．某快递公司每天上午9：00-10：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y(件)与时间x(分)之间的函数图象如图所示. （1）求甲、乙两仓库的快件数量y(件)与时间x(分)之间的函数表达式. （2）求两直线的交点坐标，并说明其含义. 【答案】（1）解：设甲仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为根据题意，得400，解得k1=6．∴y1=6x+40． 设乙仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为根据题意，得0，解得k2=-4．∴y2=-4x+240． （2）解：由解得 所以两直线的交点坐标为（20，160），其含义为：当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为9：20． 【解析】【分析】（1）先设出甲仓库的函数的解析式再将图象上的点（60，400），代入求出函数表达式；设乙仓库的函数的解析式为再将点（60，0）代入求出解析式； （2）联立两个函数为方程组，求出方程组的解即可. 21．别让眼泪成为人类的最后一滴水，为加强节水意识，某市采用如下收费标准：不超过12 立方米时，每立方米3元，超过12立方米时，超出的部分每立方米5元。设某用户月用水量为x立方米，水费为y元。 （1）当x>12时，求y关于x的函数表达式； （2）若该用户某月预算水费40元，实际水费33元，则该用户本月实际用水比预算少用了多少立方米? 【答案】（1）解：当x>12时，y=5(x-12)+12×3=5x-24； （2）预估用水量超过12立方米，令y=40，则5x-24=40，解得x=12.8； 实际用水量不超过12立方米，为33÷3=11立方米， ∴ 本月实际用水比预算少用了 12.8-11=1.8立方米. 【解析】【分析】（1）根据题意列函数关系式即可； （2）由水费可知预估用水量超过12立方米，实际用水量不超过12立方米，然后求出实际用水量和预估用水量解题即可. 22．小滨一家从家里出发，驾驶一辆充满电的新能源汽车到古刹时，剩余电量为．他们再从古刹出发，沿如图的景区公路去飞瀑游玩．已知该车从古刹出发行驶过程中，剩余电量与行驶路程之间的关系如图所示． （1）求关于的函数表达式． （2）已知这辆车的“满电量”为，小滨一家到飞瀑游玩后原路返回家里，电量够吗？请说明理由． 【答案】（1）解： 设关于的函数表达式为：， 根据题意得：， 解得：， 关于的函数表达式为：； （2）解：电量够，理由如下： 这辆车的“满电量”为， 小滨从家到古刹共用电， 当时， 可得： 他们游玩后从飞瀑原路返回家里，电量够． 【解析】【分析】利用待定系数法求出一次函数的解析式； 先求出小滨一家到飞瀑游玩后原路返回到古刹行驶的路程为，代入解析式即可可得然后和20作比较解题即可． （1）解：设关于的函数表达式为：， 根据题意得：， 解得：， 关于的函数表达式为：； （2）解：电量够， 理由如下： 这辆车的“满电量”为， 小滨从家到古刹共用电， 当时， 可得： 他们游玩后从飞瀑原路返回家里，电量够． 23．要从甲、乙两仓库向A，B工地运送水泥。已知甲仓库可运出100吨水泥，乙仓库可运出80吨水泥；A工地需70吨水泥，B工地需110吨水泥。两仓库到A，B两工地的路程和每吨每千米的运费如下表： 工地 路程/千米 每千米运费/(元/吨) 甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库 A工地 20 15 1.2 1.2 B工地 25 20 1 0.8 （1）设甲仓库运往A工地水泥x吨，求总运费y关于x的函数表达式，并画出图象。 （2）当甲、乙两仓库各运往A，B两工地多少吨水泥时，总运费最省?最省的总运费是多少? 【答案】（1）解：y=1.2×20x+1×25(100-x)+1.2×15(70-x)+0.8×20(10+x)=-3x+3920； 画函数图象为： （2）解：∵在一次函数y=-3x+3920中， k = - 3<0 ∴y随x的增大而减小 ∵0≤x≤70， ∴当x = 70时， y有最小值 ∴当甲仓库往A、B两工地各运70吨和30吨水泥，乙仓库往A、B两工地各运0吨和80吨水泥时，总运费最省. 最省总运费为y=-3×70+3920=3710元. 【解析】【分析】(1)由甲库运往A地水泥x吨，根据题意首先求得甲库运往B地水泥(100-x)吨，乙库运往A地水泥(70-x)吨， 乙库运往B地水泥(10+x)吨， 然后根据表格求得总运费y(元)关于x(吨)的函数关系式； (2)根据 (1)中的一次函数解析式的增减性，即可知当x =70时，总运费y最省，然后代入求解即可求得最省的总运费. 24． 甲、乙两组工人同时加工某种零件，乙组在工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍.两组各自加工零件的数量y(件)与时间x(小时)的函数图象如图所示. （1）求甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数关系式. （2）求乙组加工零件总量a 的值. （3）甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每够300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，则经过多长时间恰好装满第1箱?再经过多长时间恰好装满第 2 箱? 【答案】（1）解：∵图象经过原点及(6，360)， ∴设解析式为： 解得： 故答案为： （2）解：乙2小时加工100件， ∴乙的加工速度是：每小时50件， ∴乙组在工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍. ∴更换设备后，乙组的工作速度是：每小时加工 件， （3）解：乙组更换设备后，乙组加工的零件的个数y与时间x的函数关系式为： 当 时， 解得： (不合题意舍去)； 当 时， 解得： (不合题意舍去)； ∵当 时， 解得 ∴经过3小时恰好装满第1箱. 答：经过3小时恰好装满第一箱. 【解析】【分析】(1)利用待定系数法求一次函数解析式即可； (2)利用乙的原来加工速度得出更换设备后，乙组的工作速度即可； (3)首先利用当 时， 当 时， 以及当 时， 当 时，求出x的值，进而得出答案即可，再假设出再经过x小时恰好装满第1箱，列出方程即可. 学科网（北京）股份有限公司 $$