专题5.1 认识二元一次方程组（暑期预习衔接讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册

专题5.1 认识二元一次方程组（暑期预习衔接讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册 知识点梳理 一、二元一次方程的定义 二元一次方程是指含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。 定义要点： 两个未知数：方程中必须包含两个不同的未知数（通常用x、y表示） 次数为1：未知数的最高次数必须是1，且系数不为0 整式方程：方程两边必须是整式（分母中不含未知数） 一般形式： 示例与反例： 是二元一次方程： 不是二元一次方程： 二、二元一次方程的解 使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。 解的表示形式： 通常用大括号联立表示，如： 其中 解的性质： 无数组解：一个二元一次方程有无数组解（即有无数多对数适合该方程） 条件限制：在实际问题中，未知数可能有取值范围限制（如正整数解、非负整数解等） 求解方法： 1. 选定一个未知数的值（如x=0） 2. 将其代入方程，求出另一个未知数的值 3. 得到一组解 示例： 解： 所以非负整数解为： 三、二元一次方程组的定义 二元一次方程组是指共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程。 组成条件： 两个整式方程：每个方程都是整式方程 共含两个未知数：方程组中整体含有两个未知数（允许单个方程只含一个未知数） 一次方程：每个方程都是一次方程 示例与反例： 是二元一次方程组： 不是二元一次方程组： 四、二元一次方程组的解 二元一次方程组中所有方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。 解的判定条件： 同时满足所有方程：解必须使方程组中的每个方程左右两边都相等 唯一解、无解与无数解： 一般情况下，二元一次方程组有唯一一组解 特殊情况： 无解两个方程矛盾） 无数组解两个方程等价） 解的检验方法： 1. 将未知数的值代入方程组中的每个方程 2. 若所有方程左右两边都相等，则是方程组的解；否则不是 示例：检验 的解 解： 代入第一个方程： 代入第二个方程： 因此， 五、实际问题中的应用 列方程组的步骤： 1. 设未知数：设两个关键未知数 2. 找等量关系：根据题意找出两个等量关系 3. 列方程组：根据等量关系列出两个二元一次方程 典型例题： 问题：小红买了8张门票共花34元，成人票5元/张，儿童票3元/张，问成人票和儿童票各买了多少张？ 解答： 设成人票x张，儿童票y张，可列方程组： 解得： 即成人票5张，儿童票3张 六、易错点与注意事项 1. 判断二元一次方程时忽略整式条件：如 2. 混淆方程的解与方程组的解：方程组的解必须满足所有方程 3. 漏写解的表示形式：解必须用大括号联立，如 4. 忽略实际问题中的取值范围：如人数、物品数量等必须为非负整数 培优练习 一、选择题 1．下列方程中，是二元一次方程的是（　　）． A． B． C． D． 2．下列各组数不是二元一次方程 的解的是（　　） A． B． C． D． 3．若是关于 的二元一次方程，则 的值为 （　　） A． B． C．0 D．1 4．已知是二元一次方程的一组解，则m的值是（　　） A． B．3 C． D． 5．已知是关于，的二元一次方程的解，则的值是（　　） A．3 B． C．2 D． 6．已知关于x，y的二元一次方程组无解，则a的值是(　　) A．2 B．6 C．-2 D．-6 7．芳芳解方程组的解为，由于不小心两滴墨水遮住了两个数和，则与表示的数分别是（　　） A． B． C． D． 8．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余l尺，问木长多少尺？若设木长尺，绳子长尺，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．求方程的正整数解的个数为　 　． 10．已知是关于 x、y的二元一次方程组的解，则　 　． 11．已知关于x、y的二元一次方程组 的解为 ，则a+b的值为 　 　． 12．小明在解题时发现二元一次方程□ 中， 的系数已经模糊不清（用“□”表示），但查看答案发现 是这个方程的一组解，则□表示的数为　 　. 13．为了丰富同学们的课余生活，体育委员小强到体育用品商店购羽毛球拍和乒乓球拍，若购1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，小强一共用320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍．若设每幅羽毛球拍为x元，每幅乒乓球拍为y元，列二元一次方程组为　 　． 14．解方程组，若设，，则原方程组可变形为　 　． 三、解答题 15．已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的值． 16．已知关于x，y的方程组，若该方程组的解x，y的值互为相反数，求a的值和方程组的解. 17．小明同学在解方程组 的过程中，错把b看成了6，他其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为 又已知直线y=kx+b过点(3，1)，求b的正确值. 18．小明在做家庭作业时发现练习册上一道解方程的题目被墨水污染 ，“口”和“△”表示被污染的内容，他着急，翻开书后面的答案，这道题的解是 ，你能帮助他补上“口”和“△”的内容吗？说出你的方法． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.1 认识二元一次方程组（暑期预习衔接讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册 知识点梳理 一、二元一次方程的定义 二元一次方程是指含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。 定义要点： 两个未知数：方程中必须包含两个不同的未知数（通常用x、y表示） 次数为1：未知数的最高次数必须是1，且系数不为0 整式方程：方程两边必须是整式（分母中不含未知数） 一般形式： 示例与反例： 是二元一次方程： 不是二元一次方程： 二、二元一次方程的解 使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。 解的表示形式： 通常用大括号联立表示，如： 其中 解的性质： 无数组解：一个二元一次方程有无数组解（即有无数多对数适合该方程） 条件限制：在实际问题中，未知数可能有取值范围限制（如正整数解、非负整数解等） 求解方法： 1. 选定一个未知数的值（如x=0） 2. 将其代入方程，求出另一个未知数的值 3. 得到一组解 示例： 解： 所以非负整数解为： 三、二元一次方程组的定义 二元一次方程组是指共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程。 组成条件： 两个整式方程：每个方程都是整式方程 共含两个未知数：方程组中整体含有两个未知数（允许单个方程只含一个未知数） 一次方程：每个方程都是一次方程 示例与反例： 是二元一次方程组： 不是二元一次方程组： 四、二元一次方程组的解 二元一次方程组中所有方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。 解的判定条件： 同时满足所有方程：解必须使方程组中的每个方程左右两边都相等 唯一解、无解与无数解： 一般情况下，二元一次方程组有唯一一组解 特殊情况： 无解两个方程矛盾） 无数组解两个方程等价） 解的检验方法： 1. 将未知数的值代入方程组中的每个方程 2. 若所有方程左右两边都相等，则是方程组的解；否则不是 示例：检验 的解 解： 代入第一个方程： 代入第二个方程： 因此， 五、实际问题中的应用 列方程组的步骤： 1. 设未知数：设两个关键未知数 2. 找等量关系：根据题意找出两个等量关系 3. 列方程组：根据等量关系列出两个二元一次方程 典型例题： 问题：小红买了8张门票共花34元，成人票5元/张，儿童票3元/张，问成人票和儿童票各买了多少张？ 解答： 设成人票x张，儿童票y张，可列方程组： 解得： 即成人票5张，儿童票3张 六、易错点与注意事项 1. 判断二元一次方程时忽略整式条件：如 2. 混淆方程的解与方程组的解：方程组的解必须满足所有方程 3. 漏写解的表示形式：解必须用大括号联立，如 4. 忽略实际问题中的取值范围：如人数、物品数量等必须为非负整数 培优练习 一、选择题 1．下列方程中，是二元一次方程的是（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：A、 只有一个未知数，为一元一次方程，故A不符合题意． B、 有两个未知数，且未知数次数为1，故为二元一次方程，故B符合题意． C、 中 的次数为2，故不是二元一次方程，故C不符合题意． D、 是分式，故不是二元一次方程，故D不符合题意． 故答案为：B． 【分析】根据二元一次方程的定义对每个选项一一判断即可。 2．下列各组数不是二元一次方程 的解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：把 代入方程： 故 不符合题意； 把 代入方程： 故 不符合题意； 把 代入方程： 故 符合题意； 把 代入方程： 故 不符合题意； 故答案为：C. 【分析】分别将各个选项中x、y的值代入2x+y中计算出对应的值，然后判断是否等于8即可. 3．若是关于 的二元一次方程，则 的值为 （　　） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【解析】【解答】解：∵是关于 的二元一次方程， ∴，. 故答案为：D. 【分析】根据二元一次方程的定义直接求得即可. 4．已知是二元一次方程的一组解，则m的值是（　　） A． B．3 C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：把代入5x+3y=1，得 10+3m=1， ∴m=-3， 故答案为：A. 【分析】分别将x，y的值代入二元一次方程，建立关于m的方程，解方程求出m的值. 5．已知是关于，的二元一次方程的解，则的值是（　　） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】【解答】解：将代入关于x，y的二元一次方程2x-y=27得： 2×3k-（-3k）=27 解得 k=3． 故选：A． 【分析】这道题主要考查二元一次方程的解的概念和一元一次方程的解法，看到已知条件给出了x、y关于k的表达式，并且知道x、y是方程2x-y=27的解，所以想到将x=3k，y=-3k代入方程来求解k的值，再通过代入得到关于k的一元一次方程，再进行求解得出最终答案． 6．已知关于x，y的二元一次方程组无解，则a的值是(　　) A．2 B．6 C．-2 D．-6 【答案】D 【解析】【解答】解： ①+②×3得 ∴ ∵原方程组无解 ∴ ∴ 故答案为：D 【分析】由①+②×3得，根据原方程组无解，得出，从而解得. 7．芳芳解方程组的解为，由于不小心两滴墨水遮住了两个数和，则与表示的数分别是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：把x=4代入x-2y=2中，得4-2y=2，解得y=1， 把x=4，y=1代入x+2y= 中，得=4+2×1=6. 故答案为：A . 【分析】把x=4代入方程组中第二个方程求出y值，再将x、y值代入第一个方程求出即可. 8．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余l尺，问木长多少尺？若设木长尺，绳子长尺，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】依题意可列方程组： 故选C 【分析】由题意，“绳长=木条+4.5”； 对折即为，则有“绳子=木条-1”列出方程组即可. 二、填空题 9．求方程的正整数解的个数为　 　． 【答案】333 【解析】【解答】解：∵2x+3y=2002 ∴ 令y=2k，则x=1001-3k， ∵1≤k≤333， ∴共有333组， 故答案为：333. 【分析】把x看作已知数表示出y，即可确定出正整数解. 10．已知是关于 x、y的二元一次方程组的解，则　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：因为是关于 x、y的二元一次方程组的解， 可得，解得，所以. 故答案为：． 【分析】根据题意，代入原方程得到关于a、b的方程组，解方程组求出a、b的值，最后代值计算，即可得到答案． 11．已知关于x、y的二元一次方程组 的解为 ，则a+b的值为 　 　． 【答案】10 【解析】【解答】解：∵关于x、y的二元一次方程组 的解为 ， ∴将 代入 中得： ， 解得： ，即 ， 将 、 代入 中得： ， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ． 【分析】把代入原方程组得出新的方程组解出a、b，再代入求值即可。 12．小明在解题时发现二元一次方程□ 中， 的系数已经模糊不清（用“□”表示），但查看答案发现 是这个方程的一组解，则□表示的数为　 　. 【答案】-4 【解析】【解答】解：设 把 代入方程： ， 故答案为：-4. 【分析】设□=a，将x=-2，y=5代入方程ax-y=3中可得a的值，进而得到□表示的数. 13．为了丰富同学们的课余生活，体育委员小强到体育用品商店购羽毛球拍和乒乓球拍，若购1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，小强一共用320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍．若设每幅羽毛球拍为x元，每幅乒乓球拍为y元，列二元一次方程组为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：设每幅羽毛球拍为x元，每幅乒乓球拍为y元， 由题意得， ． 故答案为： ． 【分析】设每幅羽毛球拍为x元，每幅乒乓球拍为y元，根据购1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍共用320元，列方程组即可． 14．解方程组，若设，，则原方程组可变形为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：由题意可得原方程组可变形为 故答案为：． 【分析】利用整体法和换元法求解即可。 三、解答题 15．已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的值． 【答案】解：， 得：， 又， ， 解得：， 的值为． 【解析】【分析】 把方程组中的两方程相减后化简可得出x-y的值，从而求出m值。 16．已知关于x，y的方程组，若该方程组的解x，y的值互为相反数，求a的值和方程组的解. 【答案】解：因为x，y的值互为相反数，所以. 将代入中，得， 解得，所以，所以原方程组的解是， 将，代入中，得：. 【解析】【分析】根据x、y的值互为相反数可得y=-x，将其代入-x-3y=12中可得x、y的值，据此可得方程组的解，然后代入3x+5y=3a中就可求出a的值. 17．小明同学在解方程组 的过程中，错把b看成了6，他其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为 又已知直线y=kx+b过点(3，1)，求b的正确值. 【答案】解：∵小明同学错把b看成了6， ∴ 是方程y=kx+6的解. ∴2=-k+6.∴k=4. 又已知直线y=kx+b过点(3，1)， ∴1=4×3+b.∴b=-11. 【解析】【分析】根据方程组解的定义可知 是方程y=kx+6的解 ，故将 代入方程y=kx+6即可求出k的值，再将k的值及点（3，1）代入 y=kx+b 即可求出b的值。 18．小明在做家庭作业时发现练习册上一道解方程的题目被墨水污染 ，“口”和“△”表示被污染的内容，他着急，翻开书后面的答案，这道题的解是 ，你能帮助他补上“口”和“△”的内容吗？说出你的方法． 【答案】解：把x=2，y=-1代入两方程， 得3×2-2×（-1）=8，5×2-1=9． ∴被污染的内容是8和9． 【解析】【分析】根据方程组的解的定义，将x=2，y=-1分别代入原方程组的每一个方程，即可求出答案。 学科网（北京）股份有限公司 $$