专题5.2 二元一次方程组的解法（暑期预习衔接讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册

专题5.2 二元一次方程组的解法（暑期预习衔接讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册 知识点梳理 一、二元一次方程组的基本概念 1. 定义：由两个含有相同未知数的二元一次方程组成的方程组，形式为： 2. 解的含义：使方程组中两个方程同时成立的未知数的值几何意义为两直线的交点坐标。 二、代入消元法 1. 核心思想 通过“代入”消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程。 2. 解法步骤 步骤 具体操作 变形 选择一个方程，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数 代入 将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程。 求解 解一元一次方程，得到一个未知数的值。 回代 将求得的值代入变形后的式子，求出另一个未知数的值。 写解 用大括号联立两个未知数的值，如 检验 代入原方程组验证是否满足两个方程（口算或笔算）。 3. 适用场景 方程组中某未知数系数为 某方程常数项为 4. 易错点 变形时漏乘常数项 代入时混淆方程（只能代入未变形的方程）。 三、加减消元法 1. 核心思想 通过“加减”消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程。 2. 解法步骤 步骤 具体操作 变形 若未知数系数不相等或不相反，用等式性质乘适当倍数，使某未知数系数绝对值相等。 加减 - 系数相反时相加- 系数相等时相减 求解 解消元后的一元一次方程，得到一个未知数的值。 回代 将求得的值代入原方程组任一方程，求出另一个未知数的值。 写解与检验 同代入法。 3. 适用场景 某未知数系数互为相反数或相等。 系数成倍数关系，可将第一个方程乘2后加减）。 4. 易错点 漏乘方程中的常数项 加减时符号错误 四、解法选择策略 方程组特征 优先方法 示例 某未知数系数为 ±1 代入消元法 某未知数系数相反或相等 加减消元法 系数绝对值较小且不成倍数 代入消元法 系数成倍数关系 加减消元法 培优练习 一、选择题 1．若方程组的解中与的差等于，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解： 得：， ∵与的差等于，即， ∴，解得， 故答案为： 【分析】根据题意①-②，进而结合题意得到，从而即可求解。 2．若方程组的解中，则等于（　　） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【解析】【解答】解：， ①×6+②得：20x=25k－30 解得：x=1.25k－1.5. 把x=1.25k－1.5代入①得：3.75k－4.5－y=4k－5. 解得：y=0.5－0.25k. ∴x+y=k－1. ∵， ∴， 解得：， 故答案为：B． 【分析】利用加减消元法解二元一次方程组求出x和y，可得，代入求解即可． 3．以方程组的解为坐标的点，在平面直角坐标系中的位置是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】【解答】解： 由，得：， 解得：． 将代入①，得：， 解得：， ∴原方程组的解为， ∴点在平面直角坐标系中的位置是第二象限． 故答案为：B． 【分析】先利用加减消元法的计算方法及步骤求出解集，再利用四个象限点坐标的符号特点（①第一象限（+，+）；②第二象限（-，+）；③第三象限（-，-）；④第四象限（+，-））分析求解即可. 4．已知x，y满足方程组，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：， 由得：， 则，即， 故答案为：C． 【分析】利用加减消元法求出x-y的值即可． 5．利用加减消元法解二元一次方程组时，下列做法，正确的是（　　） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 【答案】D 【解析】【解答】解：对于方程组， 若要要消去，则可以将； 若要消去，可以将， 故答案为：D. 【分析】观察方程组中未知数x的系数的最小公倍数是10，且未知数x的系数的符号相同，所以用方程①×5-方程②×2可消去未知数x，可得关于未知数y的一元一次方程；观察方程组中未知数y的系数的最小公倍数是15，且未知数x的系数的符号相反，所以用方程①×3+方程②×5可消去未知数y，可得关于未知数x的一元一次方程；结合各选项即可判断求解. 6．在解关于，的二元一次方程组时，若①-②可直接消去一个未知数，则和的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】由题意知方程组中y的系数相同，所以答案为A。 【分析】 若①-②可直接消去一个未知数 ，则说明y的系数相同。 7．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，且，则的值为（　　） A．1 B． C．0 D．2024 【答案】A 【解析】【解答】解：关于，的二元一次方程组的解为， 且 ， ，即， ， 故答案为：A． 【分析】利用已知关于，的二元一次方程组的解为，方程组可看着是关于（3m+n）和（m+3n）的二元一次方程组，由此可得到关于m，n的方程组，利用方程组中系数的特点可求出m+n的值，然后整体代入求值. 8．我们规定： 表示不超过 的最大整数，例如： ， ， ，则关于 和 的二元一次方程组 的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解： ， ∵ 表示不超过 的最大整数， ∴ ， 和 均为整数， ∴x为整数，即 ， ∴①－②得： ， ∴ ， ， 将 代入②得： ， ∴ ， 故答案为：A. 【分析】根据 的意义可得 ， 和 均为整数，两方程相减可求出 ， ，将 代入第二个方程可求出x. 二、填空题 9．用加减消元法解方程组时，把①×3+②×2，得　 　． 【答案】19a=14 【解析】【解答】解： ①×3+②×2得 9a-6b+10a+6b=18-4 ∴19a=14. 故答案为：19a=14 【分析】要消去b，用①×3+②×2，消去b可得到关于a的方程. 10．已知方程组 与 的解相同，那么a+b=　 　． 【答案】1.5 【解析】【解答】解：解方程组 ，得 ， 把x、y的值代入ax﹣by=4，ax+by=2可得方程组 ， 解得 ， ∴a+b=3﹣1.5=1.5． 【分析】可先解方程组 ，求得x、y的值，再代入另两个方程，解关于a、b的方程组即可． 11．小明用加减消元法解二元一次方程组 ．由①②得到的方程是　 　． 【答案】 【解析】【解答】 ， ①②得： ． 故答案为： ． 【分析】直接利用两式相减进而得出消去x后得到的方程． 12．一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，，，若这两个三角形全等，则的值是　 　． 【答案】14或12.5 【解析】【解答】解∶两个三角形全等， ，或，， 解得∶，或，， 或12.5． 故答案为∶14或12.5． 【分析】根据全等三角形的对应边相等，分与7对应和与7对应两种情况计算，得到答案． 13．在方程中，当时，；当时，．当时，求y的值是　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：∵在方程中，当时，；当时，， ∴， 解得：， ∴方程为， ∴当，， 故答案为：． 【分析】由题意，把x、y的两组值代入方程可得关于a、b的二元一次方程组，解二元一次方程组可求得a、b的值，即可得y与x之间的关系式，然后把代入计算即可求解． 14．甲、乙两人共同解方程组 ，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为 ，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为 ，则a2020+ ( )2021=　 　． 【答案】0 【解析】【解答】解：根据题意得，4×（-3）-b=-2，5a+5×4=15， 解得a=-1，b=-10， 则a2020+ （ ）2021=（-1）2020+（- ×10）2021=1-1=0 故答案是：0． 【分析】先求出a=-1，b=-10，再代入代数式计算求解即可。 三、解答题 15．解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1）解： ①-②得：4y=4，即 y=1 把y=1代入②得 x=-1. 原方程组的解为 （2）解： 由①得：③ 把③代入②得 解得：x=7 把x=7代入③得 y=3 原方程组的解为 【解析】【分析】（1）根据加减消元法解方程组即可求出答案. （2）根据代入消元法解方程组即可求出答案. 16．在等式中，当时，，当，．求k、b的值． 【答案】解：根据题意得： 由①②，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：， ∴，． 【解析】【分析】把x、y的两对值分别代入y=kx+b可得关于字母k、b的方程组，再利用加减消元法解该方程组即可求出k、b的值. 17．已知关于、的二元一次方程组和关于、的二元一次方程组的解相同，求、的值. 【答案】解：因为方程组和方程组的解相同 所以这个解既满足，又满足， 应该是方程组的解. 解这个方程组得 又因为既满足，又满足， 应该是的解， 所以 解得： 【解析】【分析】根据同解方程定义可以重新组合得到二元一次方程组，解得，代入，计算求解即可； 18．已知方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了②中的，得到方程组的解为，若按正确的计算，求原方程组的解． 【答案】解：根据题意，可知满足方程②，满足方程①， 则，解得， 把，代入原方程组为， 解得，∴原方程组的解为：解得． 【解析】【分析】把甲的结果代入②，乙的结果代入①，组成方程组，求出a、b的值，然后把a、b的值代入原方组求解即可．注意：解不能代入看错的方程中。 19．小明解二元一次方程组的过程如下： 解： 第1步：①两边同乘以2，得，③（ ▲ ） 第2步：③－②，得，（ ▲ ） 第3步：． 第4步：把代入①，得，． 第5步：所以原方程组的解是 （1）请在小明解法的前两步后面的括号内填上方程变形的依据． （2）小明解方程组的结果正确吗？如果你认为正确，请代入原方程组检验；如果你认为不正确，请指出他解题过程中最早在哪一步出现错误，并求出该方程组的正确解． 【答案】（1）解：等式性质2；等式性质1； （2）解：错误，他解题过程中最早在第2步出现错误，正确步骤如下： 两边同乘以2，得：③， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 故原方程组的解为． 【解析】【分析】（1）根据小明的计算步骤可知第一空是等式的性质2，第二空是等式性质1； （2）根据加减消元法的步骤可知第2步错；再根据加减消元法解方程组即可. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.2 二元一次方程组的解法（暑期预习衔接讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册 知识点梳理 一、二元一次方程组的基本概念 1. 定义：由两个含有相同未知数的二元一次方程组成的方程组，形式为： 2. 解的含义：使方程组中两个方程同时成立的未知数的值几何意义为两直线的交点坐标。 二、代入消元法 1. 核心思想 通过“代入”消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程。 2. 解法步骤 步骤 具体操作 变形 选择一个方程，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数 代入 将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程。 求解 解一元一次方程，得到一个未知数的值。 回代 将求得的值代入变形后的式子，求出另一个未知数的值。 写解 用大括号联立两个未知数的值，如 检验 代入原方程组验证是否满足两个方程（口算或笔算）。 3. 适用场景 方程组中某未知数系数为 某方程常数项为 4. 易错点 变形时漏乘常数项 代入时混淆方程（只能代入未变形的方程）。 三、加减消元法 1. 核心思想 通过“加减”消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程。 2. 解法步骤 步骤 具体操作 变形 若未知数系数不相等或不相反，用等式性质乘适当倍数，使某未知数系数绝对值相等。 加减 - 系数相反时相加- 系数相等时相减 求解 解消元后的一元一次方程，得到一个未知数的值。 回代 将求得的值代入原方程组任一方程，求出另一个未知数的值。 写解与检验 同代入法。 3. 适用场景 某未知数系数互为相反数或相等。 系数成倍数关系，可将第一个方程乘2后加减）。 4. 易错点 漏乘方程中的常数项 加减时符号错误 四、解法选择策略 方程组特征 优先方法 示例 某未知数系数为 ±1 代入消元法 某未知数系数相反或相等 加减消元法 系数绝对值较小且不成倍数 代入消元法 系数成倍数关系 加减消元法 培优练习 一、选择题 1．若方程组的解中与的差等于，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．若方程组的解中，则等于（　　） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 3．以方程组的解为坐标的点，在平面直角坐标系中的位置是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知x，y满足方程组，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（ ） A． B． C． D． 5．利用加减消元法解二元一次方程组时，下列做法，正确的是（　　） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 6．在解关于，的二元一次方程组时，若①-②可直接消去一个未知数，则和的关系是（　　） A． B． C． D． 7．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，且，则的值为（　　） A．1 B． C．0 D．2024 8．我们规定： 表示不超过 的最大整数，例如： ， ， ，则关于 和 的二元一次方程组 的解为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．用加减消元法解方程组时，把①×3+②×2，得　 　． 10．已知方程组 与 的解相同，那么a+b=　 　． 11．小明用加减消元法解二元一次方程组 ．由①②得到的方程是　 　． 12．一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，，，若这两个三角形全等，则的值是　 　． 13．在方程中，当时，；当时，．当时，求y的值是　 　． 14．甲、乙两人共同解方程组 ，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为 ，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为 ，则a2020+ ( )2021=　 　． 三、解答题 15．解下列方程组： （1） （2） 16．在等式中，当时，，当，．求k、b的值． 17．已知关于、的二元一次方程组和关于、的二元一次方程组的解相同，求、的值. 18．已知方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了②中的，得到方程组的解为，若按正确的计算，求原方程组的解． 19．小明解二元一次方程组的过程如下： 解： 第1步：①两边同乘以2，得，③（ ▲ ） 第2步：③－②，得，（ ▲ ） 第3步：． 第4步：把代入①，得，． 第5步：所以原方程组的解是 （1）请在小明解法的前两步后面的括号内填上方程变形的依据． （2）小明解方程组的结果正确吗？如果你认为正确，请代入原方程组检验；如果你认为不正确，请指出他解题过程中最早在哪一步出现错误，并求出该方程组的正确解． 学科网（北京）股份有限公司 $$