专题5.4 二元一次方程与一次函数（暑期预习衔接讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册

专题5.4 二元一次方程与一次函数（暑期预习衔接讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册 知识点梳理 一、二元一次方程与一次函数的关系 1. 代数转化关系 双向转化：任何二元一次方程都可以转化为一次函数的形式，反之亦然 二元一次方程 → 一次函数： 一次函数 → 二元一次方程： 实例： 方程 函数 2. 几何对应关系 点与解的对应： 二元一次方程的每一组解对应一次函数图像上的一个点的坐标 一次函数图像上的每一个点的坐标都是对应二元一次方程的一组解 图像性质： 以二元一次方程的解为坐标的点组成的图像与相应一次函数的图像完全相同，都是一条直线 直线上任意一点的坐标都满足对应的二元一次方程 二、二元一次方程组与一次函数图像的关系 1. 方程组的解与图像交点的对应 核心结论：二元一次方程组的解就是其对应的两个一次函数图像的交点坐标 从"数"的角度：解方程组就是求两个一次函数函数值相等时的自变量和函数值 从"形"的角度：解方程组就是求两条直线的交点坐标 实例： 方程组 的解为 对应一次函数 2. 方程组解的三种情况与图像位置关系 方程组解的情况 一次函数图像关系 代数特征 实例 唯一解 两直线相交 斜率不相等 无解 两直线平行 斜率相等且截距不等 无数组解 两直线重合 斜率相等且截距相等 三、图像法解二元一次方程组 1. 基本步骤 转化：将方程组中的两个方程分别转化为一次函数形式 绘图：在同一平面直角坐标系中绘制两个一次函数的图像 找点：确定两条直线的交点坐标 结论：交点坐标即为原方程组的解 2. 优缺点分析 优点：直观形象，体现数形结合思想 缺点： 得到的解通常是近似值（受绘图精度影响） 不适用于解复杂系数的方程组 适用场景：简单系数方程组、需要直观展示解的几何意义的场景 3. 操作实例 解方程组 转化为函数： 绘制图像，找到交点 方程组的解为 四、实际应用与数学思想 1. 典型应用场景 行程问题：通过图像交点确定相遇时间和位置 实例：甲乙两人分别从A、B两地出发，速度分别为60km/h和80km/h，函数图像交点即为相遇点 成本利润问题：通过图像比较不同方案的盈亏平衡点 资源分配问题：利用图像法确定最优分配方案 2. 核心数学思想 数形结合思想： 代数角度：通过解方程组求精确解 几何角度：通过图像交点直观理解解的意义 转化思想： 将方程组问题转化为函数图像问题 将实际问题转化为方程组模型 方程思想：用方程（组）表示变量间的等量关系 3. 解题策略 分析问题中的两个等量关系，建立二元一次方程组 将方程组转化为两个一次函数 选择代数解法（精确解）或图像解法（直观展示） 检验解的合理性（尤其在实际问题中） 五、易错点与注意事项 1. 转化误区： 忘记将二元一次方程化为标准一次函数形式 系数计算错误（如符号错误、分数化简错误） 2. 图像法注意事项： 坐标轴单位长度要统一 描点要准确（至少描两个点确定一条直线） 交点坐标需检验是否满足两个方程 3. 概念辨析： 一次函数图像上的点 都是 对应二元一次方程的解 二元一次方程的解 都在 对应一次函数的图像上 两直线平行时，对应的方程组 无解 两直线重合时，对应的方程组有 无数组解 培优练习 一、选择题 1．若以二元一次方程x+2y-b=0的解为坐标的点(x，y)都在直线上，则常数b=(　　). A． B．2 C．-1 D．1 【答案】B 【解析】【解答】解：二元一次方程x+2y-b=0的任意解可以表示为x=a，. 由题意得：坐标在直线上， ∴， 解得：b=2. 故答案为：B. 【分析】设二元一次方程x+2y-b=0的任意解可以表示为x=a，，可得坐标在直线上，把坐标代入函数表达式，求解即可. 2．以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象画在坐标系中可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】 以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象和函数y=-2x-1的图象一样. ∵k=-2<0，函数图象过二四象限；b=-1<0，图象与y轴的交点在y轴负半轴上，故函数图象经过二三四象限. 故答案为：D 【分析】根据一次函数图象与二元一次方程的解的关系得到一次函数，再根据一次函数图象与系数的关系得一次函数的大概图象. 3． 在直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线y=x-3与y=kx+k的交点为整点时，k的值可以取(　　)个. A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】【解答】解：由题意得： 解得： ∴ ∵交点为整数， ∴k可取的整数解有0，2，3，5，-1，-3共6个 故答案为：C. 【分析】让这两条直线的解析式组成方程组，求得整数解即可. 4．已知直线：与直线：交于点，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】将点C代入可得：2=-2m+4， 解得：m=1， ∴点C的坐标为（1，2）， ∵直线：与直线：交于点， ∴方程组的解是， 故答案为：B. 【分析】先求出点C的坐标，再利用一次函数与二元一次方程组的关系可得答案. 5．如图，函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，关于x，y的方程组 的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：由图可知，交点坐标为（﹣3，﹣2）， 所以方程组的解是 . 故答案为：D. 【分析】根据两图象的交点坐标满足两函数解析式组成的方程组，所以方程组的解就是交点坐标. 6．如图，直线与交于点，则关于的二元一次方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：∵直线与交于点， ∴关于的二元一次方程组的解为， 故选：A． 【分析】直接根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解即可求出答案. 7．如图，是在同一坐标系内作出的一条函数的图象l1，l2，设y=k1x+b1，y=k2x+b2，则方程组 的解是（　　）． A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【解析】【解答】解：从图中可知： y=k1x+b1经过点（-2，3）和（4，1） ∴ ∴ ∴ ∵y=k2x+b2经过点（-1，0）和（0，-3） ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：C． 【分析】结合图像，可知l1，l2分别经过点（-2，3）和（4，1）和点（-1，0）和（0，-3）；通过求解二元一次方程组，可求得k1、b1、k2、b2，再经过求解二元一次方程组，即可得到答案． 8．已知二元一次方程组 的解是 ，则一次函数 与 的图象的交点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：∵二元一次方程组 的解是 ∴一次函数 与 的交点坐标为（2，3）， 故答案为：A． 【分析】二元一次方程可以化为一次函数，两个二元一次方程组的解就是两个函数的交点坐标． 二、填空题 9．已知直线y=x+2与直线y=x-6相交于点P（-2，-3），则二元一次方程组的解是　 　. 【答案】 【解析】【解答】解：直线 与直线 相交于点 ∴二元一次方程组的解是 故答案为： 【分析】直接根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解得到答案. 10．如图，已知函数和图象交于点P，点P的纵坐标为，则关于x、y的方程组的解是　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：把代入 解得 函数和的图象交于点 即，同时满足两个一次函数的解析式 所以关于，的方程组的解是 故答案为：． 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，已知点P的纵坐标为1.5，且点P在函数y=-x+1上，根据代入计算可得x=-0.5，则两个一次函数的交点； 而关于x、y的方程组的解就是交点坐标，所以可得. 11．如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝kx+b相交于点P（1，m），则关于x，y的方程组的解为 　 　． 【答案】 【解析】【解答】将点P(1，m）代入直线l1：y＝x+1， 可得：m=1+1=2， ∴点P的坐标为（1，2）， ∵ 直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝kx+b相交于点P（1，2）， ∴ 关于x，y的方程组的解为， 故答案为：. 【分析】先求出点P的坐标，再利用一次函数与二元一次方程组的关系结合图象直接求出方程组的解即可. 12．已知关于x、y的二元一次方程组的解是，则一次函数和的图像交点坐标为　 　． 【答案】(-4，2) 【解析】【解答】解：∵已知关于x、y的二元一次方程组的解是， ∴一次函数和的图像交点坐标为． 故答案为． 【分析】一次函数和的图像交点坐标即是二元一次方程组的解，据此即得结论. 13．如图，一次函数与的图像相交于点，则关于x、y的二元一次方程组的解是　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：把代入， 可得：， 解得：， ∴P点坐标为， ∴关于x、y的二元一次方程组的解是． 故答案为：． 【分析】 先将求二元一次方程组的解的问题转换为两个一次函数的图象交点问题，再结合函数图象直接求出方程组的解即可. 14． 已知关于x，y的二元一次方程组的解是直线与直线b相交于点 A，若直线过点 A，则实数 m 的值是　 　 【答案】 【解析】【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解是直线与直线相交于点 A， ∴点，，解得：． ∵直线 过点 A， ∴直线 过点 A，即，解得：． 故答案为． 【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系求解。先确定点以及，然后代入求出m 的值即可． 三、解答题 15．如图，在平面直角坐标系中，直线：交y轴于点A，直线：与交于点B． （1）求点B的坐标； （2）在y轴左侧，有一条平行于y轴的动直线，分别与，交于点M、N，且点M在点N的上方，当时，求△BMN的面积． 【答案】（1）解：∵直线l2：y＝－x与直线l1：y＝x+4交于点B， ∴联立方程组可得，解得：， ∴B点坐标为（－2，2）； （2）解：如图， 设平行于y轴的动直线为：直线x＝m， 过点B作BC⊥y轴，交直线x＝m于点D， ∴M点坐标为（m，m＋4），N点坐标为（m，－m）， ∴MN＝m＋4－（－m）＝2， 解得：m＝－1， 又∵B点坐标为（－2，2）， ∴BD＝－1－（－2）＝1， ∴． 【解析】【分析】（1）利用一次函数与二元一次方程组的关系可得答案； （2）先求出MN和BD的长，再利用三角形的面积公式求解即可。 16．如图，直线和直线相交于点A． （1）求点A的坐标； （2）在y轴上有一动点，过点P作y轴的垂线，分别交直线和于点B、C，若，求p的值； （3）在（2）的条件下，点M为y轴正半轴上任意一点，当是以为斜边的直角三角形时，请直接写出点M的坐标． 【答案】（1）解：联立方程组得：， 解得：， 故点A的坐标为 （2）解：∵在y轴上有一动点，过点P作y轴的垂线， ∴点B、C的纵坐标是p， 令，解得，即， 令，解得，即， 又∵，即， 解得：或， 故p的值是4或； （3）或或 【解析】【解答】解：（3）设BC的中点为Q，， ①当时，即为，即为， ∴的中点为， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴，即， 解得：， ∴或， ②当时，即为，即为， ∴的中点为， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴，即， 解得：或(舍去)， ∴ 综上所述：或或． 【分析】 （1）联立方程组得，再求解即可； （2） 依题意可知，点B、C的纵坐标是p，令，求出点B、C的坐标，根据列出方程求解即可； （3）设BC的中点为Q，，根据p的值求出点B、C的坐标，继而求出点Q的坐标，再根据“是以为斜边的直角三角形”得出，利用两点间的距离公式列方程求解即可． 17．如图，直线：交轴于点，交轴于点．直线过点交轴于点． （1）求直线的表达式； （2）求出轴上的点的坐标，使得； （3）求出第一象限内的点，使得． 【答案】（1）解：直线：交轴于点，当，则，则点， 设直线的解析式， ， 解得：， 则直线的解析式. （2）解：在x轴正半轴取一点，使得，如图， ∵直线：交轴于点，当，则， ∴， ∴， 当D在B右侧时， ∵∠ABO=∠ADB+∠BAD，∠ABO=45°，∠ADB=22.5°， ∴∠BAD=22.5°=∠ADB， ∴BD=BA， ∵A（0，5），B（5，0）， ∴， ∴； 当D'在B左侧时，作B关于y轴的对称点B'（-5，0），连接AB'， 由对称性可得∠AB'O=∠ABO=45°，， 同理可得， 故， 故点D的坐标为或. （3）解：设直线与x轴交于点Q，过点Q作于点T，如图， ∵，， ∴， 则， ∵，， ∴， 设点，则，CQ=t+2.5， ∵TQ⊥AC，AO⊥CO，∠C=∠C， ∴△AOC∽△QTC， ∴， 故， 即， 解得：或（舍去）， 则直线解析式为， ∵第一象限内的点， ∴点P在直线上， ，解得， 则点， ，解得， 则点， ∵点与点关于直线对称， ∴，解得， 则点， 故满足条件的点和． 【解析】【分析】（1）先求出直线l1与y轴的交点坐标A（0，5），根据待定系数法可得直线l2的表达式为即可； （2）先求出直线l1与x轴的交点坐标B（5，0），得出OA=OB，根据等腰直角三角形的性质可得∠ABO=45°，分两种情况：当D在B右侧时，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠BAD=22.5°=∠ADB，根据等角对等边可得BD=BA，结合直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得AB的值，即可求解，当D'在B左侧时，作B关于y轴的对称点B'（-5，0），连接AB'，根据对称的性质可得，结合图象即可求解； （3）设直线与x轴交于点Q，过点Q作于点T，推得，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可得，结合点C的坐标和勾股定理可求得，设点，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可求得，即可列出方程，求解得出t的值，根据待定系数法求出直线AQ的解析式，联立方程求出两直线的交点坐标得出点P1的坐标，点N的坐标，结合对称的性质可求得点P2的坐标. 18．如图，正比例函数的图像与一次函数的图像交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为，与轴的交点为． （1）求一次函数表达式； （2）求点的坐标； （3）求的面积； （4）不解关于的方程组，直接写出方程组的解． 【答案】（1）解：∵正比例函数的图像与一次函数的图像交于点， ∴，解得：， ∴， 把和代入一次函数，得： ，解得， ， ∴ 一次函数解析式是． （2）解：由（1）知一次函数表达式是 ， 令，则， ∴点． （3）解：由（1）知一次函数解析式是， 令，，解得： ， ∴点， ∴， ∵， ∴的面积． （4）解：∵正比例函数的图像与一次函数的图像交于点， ∴方程组的解为． 【解析】【分析】(1)首先根据正比例函数图象上点的特征，将点代入正比例函数解析式，求得，然后根据待定系数法，将已知点代入一次函数解析式，计算即可求得一次函数表达式. (2)由(1)可得一次函数解析式，点为一次函数图象与 轴的交点，令，即可求出点的纵坐标，即点的坐标. (3)由(1)可得一次函数解析式，令，可得点的坐标，根据三角形的面积公式，可求得的面积. (4)根据方程组的几何意义，两条直线的交点即为方程组的解. 19．如图，直线l1：y＝kx+1与x轴交于点D，直线l2：y＝﹣x+b与x轴交于点A，且经过定点B（﹣1，5），直线l1与l2交于点C（2，m）． （1）求k、b和m的值； （2）求△ADC的面积； （3）在x轴上是否存在一点E，使△BCE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标，请说明理由． 【答案】（1）∵直线l2：y＝﹣x+b与x轴交于点A，且经过定点B（﹣1，5），∴， ∴， ∴直线l2：， ∵直线l2：经过点C（2，m）， ∴， ∴， 把代入y＝kx+1，得到， ∴，，； （2）对于直线l1：，令，得到， ∴， ∴， 对于直线l2：，令，得到， ∴， ∴，， ∵， ∴； （3）作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于E，连接EC，则的周长最小； ∵，， ∴C'（2，-2）， ∴直线BC'的解析式为， 令，得到， ∴； 【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点B坐标代入直线l2：y＝﹣x+b，即可求出直线直线l2：，再将点C坐标代入l2，可得点C坐标，再根据待定系数法将点C坐标代入直线y＝kx+1，即可求出答案. （2）根据x轴上点的坐标特征令y=0，可得，，再根据三角形面积即可求出答案. （3）作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于E，连接EC，则的周长最小，则C'（2，-2），求出直线BC'的解析式，根据x轴上点的坐标特征令y=0，代入解析式，解方程即可求出答案. 20．如图，在平面直角坐标系中，直线y=−2x+12与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y=x交于点C． （1）求点C的坐标． （2）若P是x轴上的一个动点，直接写出当△POC是等腰三角形时P的坐标． （3）在直线AB上是否存在点M，使得△MOC的面积是△AOC面积的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：联立两直线解析式成方程组，得： ， 解得： ， ∴点C的坐标为（4，4）． （2）解：如图， 分三种情况讨论： OC为腰，当OC=P1C时， ∵C（4，4）， ∴P1（8，0）； OC为腰，当OC=OP2= OP3时， ∵C（4，4）， ∴OC= ， ， ； 当P4C=OP4时，设P（x，0）， 则x= ， 解得x=4， ∴P4（4，0）． 综上所述，P点坐标为P1（8，0），P2（ ，0）， ，P4（4，0）． （3）解：当y=0时，有0=−2x+12， 解得：x=6， ∴点A的坐标为（6，0）， ∴OA=6， ∴S△OAC= × 6× 4=12． 设M（x，y），当M在x轴下方时△MOC的面积是△AOC面积的2倍， ∴△MOA的面积等于△AOC的面积， ， ∴ ， ∴y=−4， ∴ ， ∴x=8， ∴M（8，−4） 当M在x轴上方时△MOC的面积是△AOC面积的2倍， ∴△MOA的面积等于△AOC的面积的3倍， ∴ ∴y=12时， ∴ ， ∴x=0， ∴M（0，12） 综上所述，M（8，−4）或（0，12）. 【解析】【分析】（1）联立两直线解析式成方程组，解方程组即可得出点C的坐标；（2）分OC=PC，OC=OP，PC=OP三种情况进行讨论；（3）分两种情况讨论：当M在x轴下方时；当M在x轴上方时.把△MOC的面积是△AOC面积的2倍的数量关系转化为△MOA的面积与△AOC面积的数量关系即可求解. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.4 二元一次方程与一次函数（暑期预习衔接讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册 知识点梳理 一、二元一次方程与一次函数的关系 1. 代数转化关系 双向转化：任何二元一次方程都可以转化为一次函数的形式，反之亦然 二元一次方程 → 一次函数： 一次函数 → 二元一次方程： 实例： 方程 函数 2. 几何对应关系 点与解的对应： 二元一次方程的每一组解对应一次函数图像上的一个点的坐标 一次函数图像上的每一个点的坐标都是对应二元一次方程的一组解 图像性质： 以二元一次方程的解为坐标的点组成的图像与相应一次函数的图像完全相同，都是一条直线 直线上任意一点的坐标都满足对应的二元一次方程 二、二元一次方程组与一次函数图像的关系 1. 方程组的解与图像交点的对应 核心结论：二元一次方程组的解就是其对应的两个一次函数图像的交点坐标 从"数"的角度：解方程组就是求两个一次函数函数值相等时的自变量和函数值 从"形"的角度：解方程组就是求两条直线的交点坐标 实例： 方程组 的解为 对应一次函数 2. 方程组解的三种情况与图像位置关系 方程组解的情况 一次函数图像关系 代数特征 实例 唯一解 两直线相交 斜率不相等 无解 两直线平行 斜率相等且截距不等 无数组解 两直线重合 斜率相等且截距相等 三、图像法解二元一次方程组 1. 基本步骤 转化：将方程组中的两个方程分别转化为一次函数形式 绘图：在同一平面直角坐标系中绘制两个一次函数的图像 找点：确定两条直线的交点坐标 结论：交点坐标即为原方程组的解 2. 优缺点分析 优点：直观形象，体现数形结合思想 缺点： 得到的解通常是近似值（受绘图精度影响） 不适用于解复杂系数的方程组 适用场景：简单系数方程组、需要直观展示解的几何意义的场景 3. 操作实例 解方程组 转化为函数： 绘制图像，找到交点 方程组的解为 四、实际应用与数学思想 1. 典型应用场景 行程问题：通过图像交点确定相遇时间和位置 实例：甲乙两人分别从A、B两地出发，速度分别为60km/h和80km/h，函数图像交点即为相遇点 成本利润问题：通过图像比较不同方案的盈亏平衡点 资源分配问题：利用图像法确定最优分配方案 2. 核心数学思想 数形结合思想： 代数角度：通过解方程组求精确解 几何角度：通过图像交点直观理解解的意义 转化思想： 将方程组问题转化为函数图像问题 将实际问题转化为方程组模型 方程思想：用方程（组）表示变量间的等量关系 3. 解题策略 分析问题中的两个等量关系，建立二元一次方程组 将方程组转化为两个一次函数 选择代数解法（精确解）或图像解法（直观展示） 检验解的合理性（尤其在实际问题中） 五、易错点与注意事项 1. 转化误区： 忘记将二元一次方程化为标准一次函数形式 系数计算错误（如符号错误、分数化简错误） 2. 图像法注意事项： 坐标轴单位长度要统一 描点要准确（至少描两个点确定一条直线） 交点坐标需检验是否满足两个方程 3. 概念辨析： 一次函数图像上的点 都是 对应二元一次方程的解 二元一次方程的解 都在 对应一次函数的图像上 两直线平行时，对应的方程组 无解 两直线重合时，对应的方程组有 无数组解 培优练习 一、选择题 1．若以二元一次方程x+2y-b=0的解为坐标的点(x，y)都在直线上，则常数b=(　　). A． B．2 C．-1 D．1 2．以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象画在坐标系中可能是（　　） A． B． C． D． 3． 在直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线y=x-3与y=kx+k的交点为整点时，k的值可以取(　　)个. A．2 B．4 C．6 D．8 4．已知直线：与直线：交于点，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 5．如图，函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，关于x，y的方程组 的解是（　　） A． B． C． D． 6．如图，直线与交于点，则关于的二元一次方程组的解为（　　） A． B． C． D． 7．如图，是在同一坐标系内作出的一条函数的图象l1，l2，设y=k1x+b1，y=k2x+b2，则方程组 的解是（　　）． A． B． C． D．不能确定 8．已知二元一次方程组 的解是 ，则一次函数 与 的图象的交点坐标为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知直线y=x+2与直线y=x-6相交于点P（-2，-3），则二元一次方程组的解是　 　. 10．如图，已知函数和图象交于点P，点P的纵坐标为，则关于x、y的方程组的解是　 　． 11．如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝kx+b相交于点P（1，m），则关于x，y的方程组的解为 　 　． 12．已知关于x、y的二元一次方程组的解是，则一次函数和的图像交点坐标为　 　． 13．如图，一次函数与的图像相交于点，则关于x、y的二元一次方程组的解是　 　． 14． 已知关于x，y的二元一次方程组的解是直线与直线b相交于点 A，若直线过点 A，则实数 m 的值是　 　 三、解答题 15．如图，在平面直角坐标系中，直线：交y轴于点A，直线：与交于点B． （1）求点B的坐标； （2）在y轴左侧，有一条平行于y轴的动直线，分别与，交于点M、N，且点M在点N的上方，当时，求△BMN的面积． 16．如图，直线和直线相交于点A． （1）求点A的坐标； （2）在y轴上有一动点，过点P作y轴的垂线，分别交直线和于点B、C，若，求p的值； （3）在（2）的条件下，点M为y轴正半轴上任意一点，当是以为斜边的直角三角形时，请直接写出点M的坐标． 17．如图，直线：交轴于点，交轴于点．直线过点交轴于点． （1）求直线的表达式； （2）求出轴上的点的坐标，使得； （3）求出第一象限内的点，使得． 18．如图，正比例函数的图像与一次函数的图像交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为，与轴的交点为． （1）求一次函数表达式； （2）求点的坐标； （3）求的面积； （4）不解关于的方程组，直接写出方程组的解． 19．如图，直线l1：y＝kx+1与x轴交于点D，直线l2：y＝﹣x+b与x轴交于点A，且经过定点B（﹣1，5），直线l1与l2交于点C（2，m）． （1）求k、b和m的值； （2）求△ADC的面积； （3）在x轴上是否存在一点E，使△BCE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标，请说明理由． 20．如图，在平面直角坐标系中，直线y=−2x+12与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y=x交于点C． （1）求点C的坐标． （2）若P是x轴上的一个动点，直接写出当△POC是等腰三角形时P的坐标． （3）在直线AB上是否存在点M，使得△MOC的面积是△AOC面积的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$