1．4　线段垂直平分线与角平分线 同步练 　2025-2026学年苏科版八年级数学上册

1．4　线段垂直平分线与角平分线 第1课时　线段垂直平分线的性质 1. 掌握线段垂直平分线的性质定理和性质定理的逆定理． 2. 会运用线段垂直平分线的性质进行计算、证明． 建议用时：15分钟 1 （2025南通海门期中）如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”，根据所学知识，下列选项中正确的是(　　) A. AC与BD互相垂直平分 B. AC垂直平分BD C. BD平分一组对角 D. AC平分一组对角 （第1题） （第2题） （第3题） （第4题） （第5题） 2 （2025无锡锡山月考）如图，在△ABC中，D是AC的中点，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于点F，直线FD交BC于点E，连接AE，若AD＝2，△ABE的周长为12，则△ABC的周长为(　　) A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 3 （2024镇江）如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD.若AC＝8，CD＝5，则BD＝　　　　． 4 （2025南京建邺期末）如图，BD是线段AC的垂直平分线．若AB＝5，CD＝4，则四边形ABCD的周长为　　　　． 5 如图，在△ABC中，AD是BC的中垂线，若BC＝8，AD＝6，则图中阴影部分的面积是　　　　． 6 （2025无锡锡山期中）如图，在△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，垂足为D，且BD＝DE，连接AE. (1) 求证：AB＝EC； (2) 若△ABC的周长为19 cm，AC＝8 cm，则DC的长为多少？ 7 如图，AD与BC相交于点O，OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE.求证：OE垂直平分BD. 建议用时：20＋5分钟 8 在△ABC中，AB＝AC，OB＝OC，点A到BC的距离是6，点O到BC的距离是4，则AO为(　　) A. 2　　　 B. 10　　　 C. 2或10　　　 D. 无法测量 9 （教材P36练习1变式）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，A，B是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点）.在这张5×5的方格纸中，找出格点C，使AC＝BC，则满足条件的格点C有(　　) A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 （第9题） （第10题） 10 如图，已知AD垂直平分BC，点C在AE的垂直平分线上，则AB＋BD与DE的关系是　　　　． 11 在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与直线AC相交，所成锐角为40°，则△ABC顶角的度数为　　　　． 12 如图，AB＝CD，线段AC的垂直平分线与线段BD的垂直平分线相交于点E.求证：∠ABE＝∠CDE. 13 如图，在△ABC中，D为BC的中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF交AB于点E，连接EG，EF. (1) 求证：BG＝CF； (2) 请你猜想BE＋CF与EF的大小关系，并说明理由． 第2课时　角平分线的性质 1. 掌握角平分线的性质定理和性质定理的逆定理． 2. 会运用角平分线的性质进行计算、证明． 建议用时：15分钟 1 （2025盐城东台期中）已知∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为4，则点P到OB的距离(　　) A. 不大于4 B. 大于4 C. 等于4 D. 小于4 2 （2024常州）如图，在纸上画有∠AOB，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上，则下列说法中正确的是(　　) A. d1与d2一定相等 B. d1与d2一定不相等 C. l1与l2一定相等 D. l1与l2一定不相等 （第2题） （第3题） （第4题） 3 （2024南京玄武三模）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB.若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝　　　　． 4 如图，∠AOB＝74°，QC⊥OA，垂足为C，QD⊥OB，垂足为D，若QC＝QD，则∠AOQ＝　　　　． 5 （教材P40习题8变式）如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，BD＝CD.求证：EB＝FC. 6 如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD＝CD.求证：AD是∠BAC的平分线． 建议用时：20＋5分钟 7 （2025盐城月考）如图，△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝4，则△ABC的面积为(　　) A. 84 B. 63 C. 42 D. 21 （第7题） （第8题） （第9题） 8 （2025盐城月考）如图，AB∥CD，PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，若AD＝8 cm，BC＝10 cm，则四边形ABCD的面积是　　　　cm2. 9 （教材P39练习2变式）如图，在△ABC中，∠ABC＝48°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠EBF＝　　　　． 10 如图，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA，OB相交于点C，D，问PC与PD相等吗？试说明理由． 11 如图1，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形，并将添加的全等条件标注在图上． 请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： (1) 如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD，CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F，求∠EFA的度数； (2) 在(1)的条件下，请判断FE与FD之间的数量关系，并说明理由； (3) 如图3，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，且(1)中的其他条件不变，试问在(2)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 图1 图2 图3 1．4　线段垂直平分线与角平分线 第1课时　线段垂直平分线的性质 1. C　2. D　3. 3　4. 18　5. 12 6. (1) 证明：因为EF垂直平分AC， 所以AE＝EC. 因为AD⊥BC，BD＝DE， 所以AB＝AE， 所以AB＝EC. (2) 解：因为△ABC的周长为19 cm， 所以AB＋BC＋AC＝19 cm. 因为AC＝8 cm， 所以AB＋BC＝11 cm. 因为AB＝EC，BD＝DE， 所以AB＋BD＝DE＋EC＝DC， 所以AB＋BC＝AB＋BD＋DC＝2DC＝11 cm， 所以DC＝ cm. 故DC的长为 cm. 7. 证明：在△ABO和△CDO中， 所以△AOB≌△COD(ASA)， 所以OB＝OD. 因为BE＝DE， 所以OE垂直平分BD. 8. C　9. A　10. AB＋BD＝DE　11. 50°或130° 12. 证明：如图，连接AE，CE. 因为AC，BD的垂直平分线相交于点E， 所以AE＝CE，BE＝DE. 在△ABE和△CDE中， 所以△ABE≌△CDE(SSS)， 所以∠ABE＝∠CDE. 13. (1)证明：因为BG∥AC，所以∠C＝∠GBD. 因为D是BC的中点，所以BD＝DC. 在△CFD和△BGD中， 所以△CFD≌△BGD(ASA)，所以BG＝CF. (2) 解：BE＋CF＞EF.理由如下： 因为△CFD≌△BGD， 所以CF＝BG，FD＝GD. 又因为ED⊥GF，所以EG＝EF. 在△BGE中，BE＋BG＞EG， 所以BE＋CF＞EF. 第2课时　角平分线的性质 1. C　2. A　3. 1　4. 37° 5. 证明：因为AD是∠BAC的平分线， 所以∠BAD＝∠CAD. 又因为DE⊥AB，DF⊥AC， 所以DE＝DF. 又因为DE⊥AB，DF⊥AC，BD＝CD， 在Rt△BDE与Rt△CDF中， 所以Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)， 所以EB＝FC. 6. 证明：因为BE⊥AC，CF⊥AB， 所以∠BFD＝∠CED＝90°. 在△BDF与△CDE中， 所以△BDF≌△CDE(AAS)， 所以DF＝DE， 所以AD是∠BAC的平分线． 7. C　8. 40　9. 24° 10. 解：PC与PD相等．理由如下： 如图，过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F. 因为OM平分∠AOB，点P在OM上，所以PE＝PF. 又因为∠AOB＝90°，∠PEO＝∠PFO＝90°， 所以∠EPF＝90°， 所以∠EPC＋∠CPF＝90°. 又因为∠CPD＝90°，所以∠CPF＋∠FPD＝90°， 所以∠EPC＝∠FPD＝90°－∠CPF. 在△PCE与△PDF中， 所以△PCE≌△PDF(ASA)，所以PC＝PD. 11. 解：全等三角形作法如图1所示，△BOD≌△COD. (1) 如图2，因为∠ACB＝90°，∠B＝60°， 所以∠BAC＝30°. 因为AD，CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线， 所以∠DAC＝∠BAC＝15°，∠ECA＝∠ACB＝45°， 所以∠EFA＝∠DAC＋∠ECA＝15°＋45°＝60°. (2) FE＝FD，理由如下： 如图2，在AC上截取AG＝AE，连接FG. 因为AD是∠BAC的平分线， 所以∠EAF＝∠GAF. 在△EAF和△GAF中， 所以△EAF≌△GAF(SAS)， 所以FE＝FG，∠EFA＝∠GFA＝60°， 所以∠GFC＝180°－60°－60°＝60°， 所以∠DFC＝∠GFC. 在△FDC和△FGC中， 所以△FDC≌△FGC(ASA)， 所以FD＝FG，所以FE＝FD. (3) FE＝FD仍然成立，理由如下： 如图3，同(2)可得△EAF≌△HAF， 所以FE＝FH，∠EFA＝∠HFA. 又由(1)知，∠FAC＝∠BAC，∠FCA＝∠ACB， 所以∠FAC＋∠FCA＝(∠BAC＋∠ACB)＝(180°－∠B)＝60°， 所以∠AFC＝180°－(∠FAC＋∠FCA)＝120°， 所以∠EFA＝∠HFA＝180°－120°＝60°. 同(2)可得△FDC≌△FHC， 所以FD＝FH，所以FE＝FD. 图1 图2 图3 学科网（北京）股份有限公司 $$