1.1 探索勾股定理（第1课时） 教案 2025--2026学年北师大版八年级数学上册

初中数学北师大版（新课标） 第一章 勾股定理 1 探索勾股定理 第1课时 一、教学目标 1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景； 2.会用面积法来探索勾股定理，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系，体会数形结合的思想； 3.会用勾股定理进行简单的计算，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力； 4.通过探究培养学生的观察、归纳和概括能力，激发学生的学习兴趣. 二、教学重难点 重点：会用面积法来探索勾股定理. 难点：会用勾股定理进行简单的计算. 三、教学过程设计 环节一：情境导入 问题：同学们，其他星球上是否存在着“人”呢？ 教师活动：先提出问题让学生思考一下，然后播放下面的视频. 为了探寻这一点，世界上许多科学家向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等. 设计意图：通过讨论外星人的问题，引起学生兴趣. 据说我国著名的数学家华罗庚曾建议“发射”一种勾股定理的图形到宇宙(如图). 很多学者认为如果宇宙“人”也拥有文明的话，那么他们一定会认识这种语言，因为几乎所有具有古代文化的民族和国家都会对勾股定理有所了解. 勾股定理有着悠久的历史：古代中国人和古巴比伦人看出了这个关系，古希腊的毕达哥拉斯学派也证明了这个关系，下面让我们一起来通过视频了解吧. 设计意图：通过视频让学生了解有关勾股定理的历史，感受数学的博大精深，并引起学生的自豪感. 观察思考：如图，从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m，那么需要多长的钢索？ 追问：电线杆、地面与铁索之间构成了一个怎么样的几何图形呢？ 预设答案：直角三角形. 追问：在直角三角形中，已知两边长，如何求第三边？ 在直角三角形中，任意两条边确定了，另外一条边也就随之确定，三边之间存在着一种特定的数量关系.事实上，古人发现直角三角形的三边长度的平方存在一种特殊关系.让我们一起探索吧！ 设计意图：对于一个新的学习内容，有必要让学生感受到其学习的必要性.通过师生研讨现实生活中存在的问题情境，将问题转化为“已知直角三角形的两边求第三边”的问题.引出对于直角三角形中三边关系的探索. 环节二：探究新知 问题：如下图，每个小方格的面积均为1，思考下面问题，并填写表格. (1)正方形A的面积是多少个方格?正方形B的面积是多少个方格? (2)怎样求出正方形C的面积是多少个方格？ 教师活动：多媒体演示课件，引导学生观察并思考： 预设答案： 追问：你能发现图1-1和1-2中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？ 预设答案：SA+SB=SC 归纳：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积. 问题：观察图1-3、图1-4，三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？ 追问：这两幅图中A，B的面积都好求，该怎样求C的面积呢？ 预设答案：方法1：补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形）： 图1-3： 图1-4： 方法2：分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形）： 图1-3： 图1-4 问题：根据前面求出的C的面积直接填出下表： 预设答案： 问题：观察所得到的各组数据，你有什么发现？ 预设答案：SA+SB=SC 追问：正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？ 预设答案：a2+b2=c2 【想一想】 如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面所猜想的数量关系还成立吗？ 出示动图说明猜想的正确性. 【归纳】 如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. 在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理. 设计意图：让学生经历“观察——计算——猜想”的过程.培养学生的动手能力、合作探究能力和发现问题的能力. 【延伸】 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”. 勾2+股2=弦2 设计意图：让学生对数学的一些历史有所了解，并让他们知道，我国在数学的发展史上占有非常重要的作用，培养学生的爱国热情，激励他们更加努力的学习，争取长大后也能为国争光. 【做一做】 如图，从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m，那么需要多长的钢索？ 预设答案： 解：据勾股定理得 c2=a2+b2=62+82=100，c=10. ∴需要10米长的钢索. 环节三：应用新知 【例1】已知∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=3，BC=4.求CD的长. 解：由勾股定理可得， AB2=AC2+BC2=32+42=25，即 AB=5. 根据三角形面积公式，AC×BC=AB×CD ∴ CD= . 小结：由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用． 设计意图：让学生在探究过程中进一步加深对勾股定理的认识和理解，培养学生的应用意识. 环节四：课堂练习 1.直角三角形ABC的两直角BC=12，AC=16，则△ABC的斜边AB的长是 (　　) A.20　　　B.10　　　C.9.6　　　D.8 2.直角三角形两直角边长分别是6和8，则周长与最短边长的比是 (　　) A.7∶1 B.4∶1 C.25∶7 D.31∶7 3.如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为________________． 4.若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长的平方为_________. 5.求下列图中未知数x、y的值： 答案： 1.A； 2. B 3. 72； 4.74或24. 5.(1)解：由勾股定理可得81+ 144=x2，解得x=15. (2)解：由勾股定理可得y2+ 144=169，解得 y=5 设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 环节五：总结归纳 学科网（北京）股份有限公司 $$