暑假作业01 探索勾股定理（预习作业）七年级数学新教材北师大版

**基本信息** 暑假勾股定理专项训练，以“定义-证明-应用”逻辑链构建体系，通过等面积法统领证明题型，精选实际应用与多情境证明题，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |勾股定理定义|3题（含直角边求斜边）|直接应用公式计算|定义为基础，构建a²+b²=c²核心关系| |勾股定理证明|3题（赵爽弦图等）|等面积法（图形割补）|证明方法统领几何直观与逻辑推理| |应用题型|6题（面积转化/实际应用）|平方关系转化/建模思想|从基础计算到实际问题（折竹/旗杆），体现应用意识|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业01 勾股定理 【知识点1 勾股定理】 1.定义：勾股定理：若直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，则有a2＋b2=c2；1. 定义： 若直角三角形的两直角边长分别为  、  ，斜边长为  ，则有： 核心含义： 这是一个专门针对直角三角形的定理。它告诉我们，两条直角边的平方加起来，刚好等于斜边（最长那条边）的平方。 记忆口诀： “勾三股四弦五”（这是最经典的一组勾股数，即  ）。 注意点： 一定要分清谁是直角边，谁是斜边。公式里的  永远代表斜边。 【常见应用】 已知两边求第三边： 比如知道直角边是3和4，就能算出斜边是5；或者知道斜边是10，一条直角边是6，算出另一条是8。 【知识点2 勾股定理的证明】 1. 证明方法： 勾股定理的证明通常采用等面积法（也叫割补法或拼图法）。 【通俗讲解：什么是等面积法？】 想象你有一堆积木（图形），不管你怎么摆放它们，只要没有重叠也没有空隙，它们占据的总面积是不会变的。 思路： 我们构造一个大的正方形，用两种不同的方法来计算它的面积。 方法二： 把它拆分成几个小三角形和一个小正方形，分别算出面积再加起来。 结论： 因为算的是同一个图形的面积，所以“方法一的结果”一定等于“方法二的结果”。通过列等式化简，最后就能神奇地消去多余项，只剩下。 【最著名的证明模型】 赵爽弦图： 中国古代数学家赵爽利用4个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间围出一个小空洞。这是中国数学史上的骄傲，也是考试中最常考的图形。 毕达哥拉斯拼图： 西方常用的证明方法，利用两个大正方形内的不同分割方式来证明。 【题型1 用勾股定理理解三角形】 1．如图，为了测得湖两岸点和点之间的距离，小军在点设桩，使得，并测得的长为100米，的长为80米，则点和点之间的距离为（   ） A．60米 B．80米 C．100米 D．米 2．已知直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则斜边的长为（   ）． A．8 B．10 C．14 D．100 3．在中，，，，则______． 【题型2 以直角三角形三边为边的图形面积】 4．如图，在中，，以，为边向外作正方形，正方形，若，则正方形和正方形的面积和为（   ） A．150 B．200 C．225 D．256 5．如图，中，，分别以，为边向外作正方形，面积分别为，，若，，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为、，则阴影部分的面积为（   ） A．52 B．76 C．100 D．124 【题型3勾股定理的证明】 7．勾股定理是世界上应用最广泛的定理之一，它的验证方法有很多，图1和图2都是用4个以c为斜边，a，b为直角边的直角三角形拼成的大正方形，空白部分都是正方形． (1)用含a，b的式子表示图1的大正方形的面积：________，用含a，b，c的式子表示图2的大正方形的面积：______； (2)利用（1）中的两个式子，尝试验证勾股定理． 8．中国数学会第十四届全国数学文化论坛于2025年7月1日在河南省郑州市举行．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计，既展现了中国古代数学的辉煌成就，又通过直观图形激发数学学习兴趣．勾股定理的证明方法至今约有500多种，如图也是勾股定理的一种证明方法，已知四边形是直角梯形，点在上．在和中，．试利用该图形验证勾股定理． 9．如图，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b．拼接成以c为边长的正方形，试利用这个图形验证勾股定理． 1．如图，在中，斜边，则（    ） A． B． C． D． 2．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．勾股定理描述：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如图，以直角三角形三边为边作三个正方形，正方形的面积为（   ） A．5 B．13 C．20 D．25 3．在中，，若，则等于（　　） A．32 B．16 C．20 D．25 4．我国古代数学著作《九章算术》中记载一道“折竹抵地”的问题，其含义是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在中，，分别以、为边向外作正方形，面积分别记为，若，，则________． 6如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面3米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部4米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有______米． 试卷第4页，共8页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业01 勾股定理 【知识点1 勾股定理】 1.定义：勾股定理：若直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，则有a2＋b2=c2；1. 定义： 若直角三角形的两直角边长分别为  、  ，斜边长为  ，则有： 核心含义： 这是一个专门针对直角三角形的定理。它告诉我们，两条直角边的平方加起来，刚好等于斜边（最长那条边）的平方。 记忆口诀： “勾三股四弦五”（这是最经典的一组勾股数，即  ）。 注意点： 一定要分清谁是直角边，谁是斜边。公式里的  永远代表斜边。 【常见应用】 已知两边求第三边： 比如知道直角边是3和4，就能算出斜边是5；或者知道斜边是10，一条直角边是6，算出另一条是8。 【知识点2 勾股定理的证明】 1. 证明方法： 勾股定理的证明通常采用等面积法（也叫割补法或拼图法）。 【通俗讲解：什么是等面积法？】 想象你有一堆积木（图形），不管你怎么摆放它们，只要没有重叠也没有空隙，它们占据的总面积是不会变的。 思路： 我们构造一个大的正方形，用两种不同的方法来计算它的面积。 方法二： 把它拆分成几个小三角形和一个小正方形，分别算出面积再加起来。 结论： 因为算的是同一个图形的面积，所以“方法一的结果”一定等于“方法二的结果”。通过列等式化简，最后就能神奇地消去多余项，只剩下。 【最著名的证明模型】 赵爽弦图： 中国古代数学家赵爽利用4个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间围出一个小空洞。这是中国数学史上的骄傲，也是考试中最常考的图形。 毕达哥拉斯拼图： 西方常用的证明方法，利用两个大正方形内的不同分割方式来证明。 【题型1 用勾股定理理解三角形】 1．如图，为了测得湖两岸点和点之间的距离，小军在点设桩，使得，并测得的长为100米，的长为80米，则点和点之间的距离为（   ） A．60米 B．80米 C．100米 D．米 【答案】A 【分析】利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，的长为100米，的长为80米， ∴米， ∴点和点之间的距离为60米． 2．已知直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则斜边的长为（   ）． A．8 B．10 C．14 D．100 【答案】B 【分析】直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 【详解】解：∵该三角形是直角三角形，两条直角边长分别为6和8， ∴设斜边长为c，根据勾股定理可得， ∵三角形边长为正数， ∴． 3．在中，，，，则______． 【答案】 【分析】在中，，满足，把和的长度，代入即可求出的长． 【详解】解：∵，，， ∴． 【题型2 以直角三角形三边为边的图形面积】 4．如图，在中，，以，为边向外作正方形，正方形，若，则正方形和正方形的面积和为（   ） A．150 B．200 C．225 D．256 【答案】D 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵正方形的面积为，正方形的面积为， ∴正方形和正方形的面积和为． 5．如图，中，，分别以，为边向外作正方形，面积分别为，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由勾股定理得，， ，，即，， ， 故选：B． 6．如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为、，则阴影部分的面积为（   ） A．52 B．76 C．100 D．124 【答案】B 【详解】解：根据题意可知，． 在中． 所以阴影部分的面积． 【题型3勾股定理的证明】 7．勾股定理是世界上应用最广泛的定理之一，它的验证方法有很多，图1和图2都是用4个以c为斜边，a，b为直角边的直角三角形拼成的大正方形，空白部分都是正方形． (1)用含a，b的式子表示图1的大正方形的面积：________，用含a，b，c的式子表示图2的大正方形的面积：______； (2)利用（1）中的两个式子，尝试验证勾股定理． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】（1）根据题干图将正方形中各小图形面积相加即可； （2）根据两个大正方形的面积相等推导即可． 【详解】（1）解：图1的大正方形的面积； 图2的大正方形的面积； （2）解：由题图可知，两个大正方形的边长都是， ∴两个大正方形的面积相等， ， 化简可得． 8．中国数学会第十四届全国数学文化论坛于2025年7月1日在河南省郑州市举行．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计，既展现了中国古代数学的辉煌成就，又通过直观图形激发数学学习兴趣．勾股定理的证明方法至今约有500多种，如图也是勾股定理的一种证明方法，已知四边形是直角梯形，点在上．在和中，．试利用该图形验证勾股定理． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明．证明，可得，从而得到，再根据图形的面积解答即可． 【详解】解：因为， 所以． 所以． 因为， 所以． 所以． 因为的面积分别为和，梯形的面积为 所以． 所以， 即． 9．如图，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b．拼接成以c为边长的正方形，试利用这个图形验证勾股定理． 【答案】见解析 【分析】本题考查勾股定理的证明，通过不同的方法求图形的面积列等式是解题的关键． 根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证； 【详解】解：图形的总面积可以表示为， 如图， 也可以表示为， ∴， ∴． 1．如图，在中，斜边，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由勾股定理得， ， ，选项符合题意． 2．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．勾股定理描述：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如图，以直角三角形三边为边作三个正方形，正方形的面积为（   ） A．5 B．13 C．20 D．25 【答案】B 【详解】解：依题意，正方形的面积为． 3．在中，，若，则等于（　　） A．32 B．16 C．20 D．25 【答案】A 【分析】根据勾股定理得到两条直角边的平方和等于斜边的平方，整体代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵在中，，且为斜边， ∴， ∴． 4．我国古代数学著作《九章算术》中记载一道“折竹抵地”的问题，其含义是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将实际问题转化为直角三角形问题，利用勾股定理即可列出方程． 【详解】解：设折断处离地面的高度为尺， ∵竹子原高一丈，一丈尺， ∴未折断部分高度为尺，折断部分的长度为尺， ∵抵地处到竹子底部的水平距离为尺，三者构成直角三角形，折断部分为斜边， ∴根据勾股定理可得． 5．如图，在中，，分别以、为边向外作正方形，面积分别记为，若，，则________． 【答案】 【分析】根据正方形面积公式可得边长的平方，再利用勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，求出的平方，进而求出． 【详解】解：由题意得： ， ， 在中，由勾股定理得： ， ． 6如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面3米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部4米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有______米． 【答案】8 【分析】根据勾股定理，计算，再根据旗杆高度为计算即可． 【详解】如图： 由题意得：，，， ∴， ∴（米） 答：这根旗杆被吹断裂前至少有8米． 试卷第4页，共8页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $