10.1　平方根和立方根　课件　 2025-2026学年华东师大版（2024）数学八年级上册

第1课时　平方根 1.平方根 (1)平方根的定义 如果一个数的　 　等于a,那么这个数叫做a的平方根.  例如:∵(±2)2=4,∴4的平方根是±2. (2)平方根的性质 一个正数有　 　个平方根,它们　 ;0的平方根只有一个,是　 　;因为任何有理数的平方都不可能是负数,所以,负数　 　平方根.  平方 两 互为相反数　 0 没有 2 (3)平方根的表示方法 正数a的平方根,记作±,读作　 ,其中a称为　 　.  (4)平方根的求法(开平方) 求一个非负数的　 　的运算,叫做开平方.　 　与开平方互为逆运算.  注意:(1)求一个数的平方根,是指把所有平方之后等于这个数的数都求出来,而判断一个数是不是另一个数的平方根,是看这个数平方后是否等于另一个数.二者含义不同,要求不同,切勿混淆; (2)平方根等于它本身的数只有0. 正负根号a　 被开方数 平方根 平方 3 2.算术平方根 (1)算术平方根的定义 正数a的　 ,叫做a的算术平方根,记作,读作“根号a”.0的平方根也叫做0的算术平方根,记作  　,即=0.  例如:∵22=4,∴4的算数平方根是2. (2)算术平方根的性质 ①正数的算术平方根是一个　 　,0的算术平方根是　 　,负数　 　算术平方根.  正的平方根　 正数 0 没有 4 ②()2=a(a≥0);== 注意:(1)算术平方根等于它本身的数有0和1; (2)算术平方根具有双重非负性:① ≥0;②≥0. 3.算术平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位,它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位. 例如:若=250,则=25,=2.5,=0.25. 5 求下列各数的平方根: (1)10 000; (2)0.49; [分析] 因为求一个非负数的平方根的运算与平方运算是互逆的,所以我们可以借助平方运算来求这些数的平方根. 解:(1)∵1002=10 000,∴=100,∴10 000的平方根为±=±100. (2)∵0.72=0.49,∴=0.7,∴0.49的平方根为±=±0.7. 6 (3)2; (4)(-4)2. (3)2=.∵=,∴==,∴2的平方根为±=±. (4)∵(-4)2=16,而(±4)2=16,∴(-4)2的平方根为±=±4. [方法总结] 在求一个正数的平方根时,如果被开方数是小数,要注意小数点的位置,也可以先将小数化成分数,再求它的平方根;如果被开方数是带分数,要先将带分数化成假分数. 7 1.下列说法中,正确的有 (　 　) ①1的平方根是1; ②-1的平方根是-1; ③0的平方根是0; ④1是1的平方根. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(1)0.01的平方根是　 ;  (2)一个正数的两个平方根分别是1-2a和a-4,则这个正数是　 　.  B ±0.1　 49 8 求下列各数的算术平方根: (1)1;　　　　　 (2)900;　　　 (3)0.36; 解:(1)∵12=1,∴1的算术平方根是1,即=1. (2)∵302=900,∴900的算术平方根是30,即=30. (3)∵0.62=0.36,∴0.36的算术平方根是0.6,即=0.6. [分析] 求一个正数a的算术平方根,就是确定一个正数x,使得x2=a. 9 (4); (5)3; (6)104. (4)∵==,∴的算术平方根是,即=. (5)∵3=,=,∴的算术平方根是,即=. (6)∵1002=104,∴104的算术平方根是100,即=100. [思维点拨] 求一个带分数的算术平方根时,应先将带分数化为假分数,再求其算术平方根. 10 3.下列各式中正确的是 (　 　) A.=4 B.(-)2=4 C.=±5 D.-=- 4.(2025·重庆一中)一个正方形的面积是27,估计这个正方形的边长在 (　 　) A.3到4之间 B.4到5之间 C.5到6之间 D.6到7之间 5.的算术平方根是  　.  B C 11 6.计算: (1); 　 (2); 解:原式==5. 　 解:原式=4. (3); 　 (4)-. 解:原式=0.1. 解:原式=-=-. 12 (1)若x、y为有理数,且+=0,则(x+y)2 025的值为　 　;  (2)已知y=+-3,则2xy的值为　 .  [方法总结] 任意一个非负数的算术平方根都是一个非负数;几个非负数的和为零,则每个非负数都为零.我们已经学过的非负数有偶次幂、绝对值、算术平方根等. -1 -15　 13 7.(1)(2025·重庆西附)已知有理数x、y满足+=0,则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长是(　 　) A.8 　 B.10 C.8或10 　 D.12 (2)(2025·四川达州)已知a、b为有理数,且b=+-2,则(a+b)2 025的值是　 　. B -1 14 8.已知直角三角形ABC的三边a、b、c满足++=0,其中a、b为直角边,求斜边c上的高h.  解:由题意,得a-4=0,2b-12=0,10-c=0, ∴a=8,b=6,c=10. 由直角三角形的面积相等,可得ch=ab, ∴h=4.8. 15 求下列各式中x的值: (1)x2-16=0; (2)9(3x+1)2-64=0. 解:∵x2-16=0,∴x2=16. ∴x=±=±4. 解:∵ 9(3x+1)2=64,∴(3x+1)2= . ∴3x+1=±=±. 当3x+1=时,x=; 当3x+1=-时,x=-. 综上,x=或x=-. 16 9.求下列等式中x的值: (1)若x2=1.44,则x=　 ;  (2)若x2=169,则x=　 ;  (3)若x2=,则x=　 　;  (4)若x2=(-2)2,则x=　 　.  ±1.2　 ±13　 ± ±2 17 10.求下列各式中x的值: (1)9x2-25=0; (2)4(x-2)2-81=0. 解:x=±. 解:x= 或x= -. 18 $$第2课时　立方根 1.立方根的定义 如果一个数的　 　等于a,那么这个数叫做a的立方根.  例如:∵23=8,∴8的立方根是2. 2.立方根的性质 任何数都有且只有一个立方根.正数的立方根是　 　;负数的立方根是 　 　;0的立方根是　 　.  3.立方根的表示方法 数a的立方根,记作 　,读作“　 ”,其中,a是　 　, 3是　 　.  立方 正数 负数 0 三次根号a　 被开方数 根指数 2 注意:(1)根指数3不能省略; (2)立方根等于它本身的数为0和±1. 4.立方根的求法(开立方) 求一个数的　 　的运算,叫做开立方;开立方与立方互为逆运算.  注意:(1)因为开立方与立方互为逆运算,所以可应用立方运算检验开立方运算的结果是否正确; (2)不同于开平方,开立方的结果是唯一的; (3)对一个数a开立方存在性质: ①=-;②()3==a. 立方根 3 求下列各数的立方根: (1)343; (2)-0.027; (3)-2; (4). [方法总结] 一般用立方运算求一个数的立方根;求一个带分数的立方根,需要先把它化成假分数;求一个负数的立方根,可先求它相反数(正数)的立方根,再取其相反数,即=-. (3)∵-2=-,=-,∴=-. 解:(1)∵73=343,∴=7. (2)∵ (-0.3)3=-0.027,∴=-0.3. (4)∵=8,23=8,∴的立方根是2. 4 1.下列说法中,正确的是 (　 　) A.-4没有立方根 B.1的立方根是±1 C.的立方根是 D.-5的立方根是 2.(1)若=-2,则x+17的平方根为　 ;  (2)若+=0,则x=　 .  D ±　 -2 025　 5 3.计算: (1)=　 　;  (2)=　 ;  (3)=　 　;  (4)=　 .  4.求下列各式的值: (1); 解:原式==-. (2); 解:原式= ==9. 0.2 -30　 -8 -　 6 (3)+-; 解:原式=-3+3+1 =1. (4)-÷+. 解:原式=2÷+1 =+1=. 7 求下列各式中x的值: (1)x3=1; 解:∵x3=,∴x==. (2)3x3+=0; 解:∵3x3=-, ∴x3=-,∴x==-. (3)=-0.125. 解:∵=-0.125,∴18-x=, ∴18-x=-0.5,∴x=18.5,∴x=37. 8 5.求下列各式中x的值: (1)27x3=8; (2)(x-2)3+1=0; 解:x=1. 解:x= . (3)1 000(x+1)3=-27; 解:x=-. (4)(2x-3)3=54. 解:x=4.5. 9 $$