第22章二次函数 易错精选题-2025-2026学年人教版数学九年级上册

第22章二次函数易错精选题-2025-2026学年数学九年级上册人教版 一．选择题（共8小题） 1．（2025•淮上区三模）已知当二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为正数时c＜x＜﹣1，下列式子错误的是（　　） A．b＜0 B．2a﹣b＞0 C．ac+b＝﹣1 D．a＝1 2．（2025•金水区模拟）点A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的点，且|x1|＜|x2|，则y1与y2的大小关系为（　　） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．无法确定 3．（2025•宁明县一模）将函数y＝x2的图象平移后得到函数y＝（x+3）2﹣2的图象，平移方式正确的是（　　） A．向右平移3个单位，再向上平移2个单位 B．向右平移3个单位，再向下平移2个单位 C．向左平移3个单位，再向上平移2个单位 D．向左平移3个单位，再向下平移2个单位 4．（2025•费县二模）已知二次函数y＝﹣mx2+2（m+1）x+3的图象上有四个点：A（a，p），B（b，p），C（c，q），D（d，q），其中p＜q，下列结论一定不正确的是（　　） A．若m＞1，则a+b+c+d＞0 B．若m＞1，则d＜a＜b＜c C．若m＜﹣1，则a+b+c+d＞0 D．若m＜﹣1，则c＜b＜a＜d 5．（2025•大观区二模）二次函数y＝（x+m）2+n的图象如图所示，则一次函数y＝mx+n的图象经过（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 6．（2025•宜秀区二模）某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“星”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求BC与地面平行，且BC∥AD，抛物线最高点的五角星（点E）到BC的距离为0.6m，BC＝2m，AD＝4m，如图2所示，则点C到AD的距离为（　　） A．2m B．1.8m C．2.4m D．1.5m 7．（2025•宁明县一模）杭州世界羽联巡回赛总决赛，我国运动员勇夺三项冠军，羽毛球在空中的运动路线可以看作是一条抛物线（如图），羽毛球行进的高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系为，则羽毛球飞出的最大高度为（　　） A．2米 B．2.5米 C．2.8米 D．3米 8．（2025•淮南二模）已知抛物线y＝ax2﹣4x﹣5a上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（0，﹣5），其中x1＜﹣1＜x2＜5，有下列结论：①y1＜y2；②抛物线的顶点坐标为（2，﹣8）；③当x＞2时，y的值随x值的增大而增大；④此抛物线向上平移5个单位长度后与坐标轴有2个交点．其中，正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二．填空题（共8小题） 9．（2025•东莞市校级三模）若二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与x轴有交点，则m的取值范围是　 　 ． 10．（2025•哈尔滨校级三模）抛物线y＝（x+3）2﹣1的顶点坐标为 　 　 ． 11．（2025•驿城区一模）若抛物线y＝x2﹣2x+c（c是常数）与x轴有且仅有一个公共点，则c的值是　 　 ． 12．（2025•凉州区一模）已知二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象上有三点，A（﹣2，y1），B（2，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系为　 　 ． 13．（2025•新宾县校级模拟）如图，已知抛物线y＝﹣x2﹣3x+4，点P是抛物线上一动点．当点P在第二象限，∠PBA＝45°时，点P的坐标是 　 　 ． 14．（2025•铁东区校级模拟）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度OP是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m，高度是4m．若实心球落地点为M，则OM＝　 　 m． 15．（2024秋•延长县期末）函数y＝7x2﹣14x﹣105与x轴的交点如图所示，则方程7x2﹣14x﹣105＝0的实数根x1＝　 　 ，x2＝　 　 ． 16．（2024秋•合肥校级期末）已知二次函数y＝ax2的图象如图所示，点A在该抛物线上，A的横坐标是m，过点A作AB⊥y轴于点B，作AC⊥x轴于点C，连接BC交抛物线于点D． （1）若a＝1，m＝2，则OB：OC的值为　 　 ； （2）在（1）的条件下BD：CD的值为　 　 ． 三．解答题（共7小题） 17．（2025•福州模拟）已知二次函数． （1）求函数图象的顶点坐标； （2）写出函数y随x的变化情况，并用代数推理给予证明． 18．（2025•许昌二模）已知抛物线y＝x2﹣2mx+2m﹣4的顶点为P，点A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的任意两点． （1）当抛物线经过原点时，求抛物线的表达式； （2）当点P位于x轴下方时，求点P到x轴距离的最小值； （3）若对于﹣1≤x1≤0，3≤x2≤4总有y1＞y2，请直接写出m的取值范围． 19．（2025•从江县校级二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，0）． （1）若b＝2a，则二次函数图象的对称轴为直线　 　 ； （2）在（1）的条件下，若二次函数的图象与直线y＝3交于点A（x1，y1），B（x2，y2），已知x1x2＝2，求a的值； （3）若对于任意实数x，都有10x﹣40≤ax2+bx+c≤2.5x2﹣10x，求该二次函数的表达式． 20．（2025•福州模拟）在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的两倍，则称该点为“纵倍点”．例如等都是“纵倍点”． （1）写出一个图象上至少有3个“纵倍点”的函数解析式； （2）若双曲线y与直线y＝x+3的一个交点是“纵倍点”，求双曲线的解析式； （3）若抛物线y＝ax2+bx（a，b是常数，a≠0）的图象上有且只有一个“纵倍点”，是否存在一个常数t，使得当t≤b≤t+1时，a的最小值恰好等于t，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 21．（2025•襄州区校级模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D（m，n）为抛物线上第一象限内的一个动点，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，连接CD． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在点D，使得∠DCE＝2∠ABC？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若0＜DE，求m的取值范围． 22．（2025•钟楼区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（3，0），与y轴交于点B，且关于直线x＝1对称． （1）求该抛物线的解析式； （2）当﹣1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤2t﹣1，求t的值； （3）若点P、Q在直线AB上，问：在该二次函数图象上是否存在点M，N，使得四边形PQMN是正方形？若存在，请直接写出PQ的长；若不存在，请说明理由． 23．（2025•江西模拟）如图，这是一个直角三角形斜坡截面AOB，∠AOB＝90°，OA＝3m，OB＝12m，坡面AB上要立一根标杆MN（标杆粗细忽略不计，点M在坡面上且不与点B重合，MN∥OA），现在斜坡点A处安装一个喷水管（看作一点），喷水管喷出的水流呈抛物线形状，建立如图所示的平面直角坐标系，喷水管喷出水流的水平距离x（单位：m）与水流的高度y（单位：m）的变化规律如表所示： x 0 1 2 3 4 … y 3 3 … （1）求该抛物线的解析式． （2）若喷水管喷出水流恰好经过标杆的顶部N点． ①求标杆MN的最大长度； ②若AM＝AN，求点N的坐标． 第22章二次函数易错精选题-2025-2026学年数学九年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A D D D B A C 一．选择题（共8小题） 1．（2025•淮上区三模）已知当二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为正数时c＜x＜﹣1，下列式子错误的是（　　） A．b＜0 B．2a﹣b＞0 C．ac+b＝﹣1 D．a＝1 【解答】解：∵当二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为正数时c＜x＜﹣1， ∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象的开口向下，与x轴的交点为（c，0），（﹣1，0）， ∴a＜0，， ∴b＜0，b＜2a，c＜﹣1， ∴2a﹣b＞0，故A，B正确． ∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（c，0）， ∴ac2+bc+c＝0， 又∵c≠0， ∴ac+b+1＝0①，即ac+b＝﹣1，故C正确； 将（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c得，a﹣b+c＝0②， ①+②，得ac+a+1+c＝0， ∴a（c+1）+（c+1）＝0，即（a+1）（c+1）＝0， ∵c＜﹣1， ∴c+1＜0， ∴a+1＝0， ∴a＝﹣1，故D错误． 故选：D． 2．（2025•金水区模拟）点A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的点，且|x1|＜|x2|，则y1与y2的大小关系为（　　） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．无法确定 【解答】解：由|x1|＜|x2|， 得A（x1，y1）到y轴的距离小于B（x2，y2）到y轴的距离， 由抛物线的对称轴为y轴，开口向上， 得y1＜y2． 故选：A． 3．（2025•宁明县一模）将函数y＝x2的图象平移后得到函数y＝（x+3）2﹣2的图象，平移方式正确的是（　　） A．向右平移3个单位，再向上平移2个单位 B．向右平移3个单位，再向下平移2个单位 C．向左平移3个单位，再向上平移2个单位 D．向左平移3个单位，再向下平移2个单位 【解答】解：根据“左加右减，上加下减”可知： 平移方式正确的是向左平移3个单位，再向下平移2个单位； 故选：D． 4．（2025•费县二模）已知二次函数y＝﹣mx2+2（m+1）x+3的图象上有四个点：A（a，p），B（b，p），C（c，q），D（d，q），其中p＜q，下列结论一定不正确的是（　　） A．若m＞1，则a+b+c+d＞0 B．若m＞1，则d＜a＜b＜c C．若m＜﹣1，则a+b+c+d＞0 D．若m＜﹣1，则c＜b＜a＜d 【解答】解：由解析式可知抛物线对称轴为直线， 当m＞1时，则﹣m＜0， ∴函数的图象开口向下， ∴， 此时对称轴在x轴的正半轴，抛物线的开口方向向下， ∴越靠近对称轴的x所对应的函数值越大， ∵A（a，p），B（b，p），C（c，q），D（d，q）， ∴点A与点B关于对称轴对称，点C与点D关于对称轴对称， ∴， ∴， 即a+b+c+d＞0，故A选项不符合题意； 由条件可知d＜a＜b＜c或d＜b＜a＜c或c＜b＜a＜d或c＜a＜b＜d， 故B选项不符合题意； 当m＜﹣1时，则0＞m+1， ∴， 此时对称轴在x轴的正半轴，抛物线的开口方向向上， ∴越靠近对称轴的x所对应的函数值越小， 由条件可知点A与点B关于对称轴对称，点C与点D关于对称轴对称， ∴， ∴， 即a+b+c+d＞0，故C选项不符合题意； ∵p＜q，越靠近对称轴的x所对应的函数值越小， ∴a＜d＜c＜b或a＜c＜d＜b或b＜c＜d＜a或b＜d＜c＜a， 故D选项符合题意； 故选：D． 5．（2025•大观区二模）二次函数y＝（x+m）2+n的图象如图所示，则一次函数y＝mx+n的图象经过（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【解答】解：由条件可知抛物线的顶点坐标为（﹣m，n）， 由二次函数的图象可得：﹣m＞0，n＜0， ∴m＜0， ∴一次函数y＝mx+n的图象经过第二、三、四象限， 故选：D． 6．（2025•宜秀区二模）某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“星”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求BC与地面平行，且BC∥AD，抛物线最高点的五角星（点E）到BC的距离为0.6m，BC＝2m，AD＝4m，如图2所示，则点C到AD的距离为（　　） A．2m B．1.8m C．2.4m D．1.5m 【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系． 由题意可得点C的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣1，0），则点E的坐标为（0，0.6）， 设解析式为y＝a（x+1）（x﹣1），由条件可得a（0+1）×（0﹣1）＝0.6， 解得a＝﹣0.6， ∴y＝﹣0.6（x+1）（x﹣1）． ∵点D的横坐标为2， ∴点D的纵坐标为﹣0.6×（2+1）×（2﹣1）＝﹣1.8， ∴点C到AD的距离为1.8m． 故选：B． 7．（2025•宁明县一模）杭州世界羽联巡回赛总决赛，我国运动员勇夺三项冠军，羽毛球在空中的运动路线可以看作是一条抛物线（如图），羽毛球行进的高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系为，则羽毛球飞出的最大高度为（　　） A．2米 B．2.5米 C．2.8米 D．3米 【解答】解：， ∵， ∴当x＝2时，y取得最大值2， ∴羽毛球飞出的最大高度为2米， 故选：A． 8．（2025•淮南二模）已知抛物线y＝ax2﹣4x﹣5a上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（0，﹣5），其中x1＜﹣1＜x2＜5，有下列结论：①y1＜y2；②抛物线的顶点坐标为（2，﹣8）；③当x＞2时，y的值随x值的增大而增大；④此抛物线向上平移5个单位长度后与坐标轴有2个交点．其中，正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【解答】解：∵点C（0，﹣5）在二次函数y＝ax2﹣4x﹣5a的图象上， ∴﹣5a＝﹣5， 解得a＝1， ∴二次函数y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣5）（x+1）， ∴二次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（5，0）， ∵x1＜﹣1＜x2＜5， ∴y1＞0，y2＜0， ∴y1＞y2， 故①不正确，不符合题意； ∵y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9， ∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣9），当x＞2，y的值随x值的增大而增大， 故②不正确，③正确； 将抛物线向上平移5个单位，所得抛物线解析式为y＝x2﹣4x， 当y＝0时，则x2﹣4x＝0， 解得：x＝0或x＝4， ∴平移后的抛物线与坐标轴有2个交点， 故④正确． 故选：C． 二．填空题（共8小题） 9．（2025•东莞市校级三模）若二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与x轴有交点，则m的取值范围是m≤4　 ． 【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与x轴有交点， ∴方程x2﹣4x+m＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4m≥0， 解得m≤4． 故答案为：m≤4． 10．（2025•哈尔滨校级三模）抛物线y＝（x+3）2﹣1的顶点坐标为 　（﹣3，﹣1）　 ． 【解答】解：∵抛物线解析式为y＝（x+3）2﹣1， ∴顶点坐标为（﹣3，﹣1）； 故答案为：（﹣3，﹣1）． 11．（2025•驿城区一模）若抛物线y＝x2﹣2x+c（c是常数）与x轴有且仅有一个公共点，则c的值是　1　 ． 【解答】解：由题意可得：（﹣2）2﹣4×1×c＝0， 解得c＝1， 故答案为：1． 12．（2025•凉州区一模）已知二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象上有三点，A（﹣2，y1），B（2，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系为y2＜y3＜y1 ． 【解答】解：由条件可知抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， ∴距离对称轴越近，函数值越小， 而2﹣1＜3﹣1＜1﹣（﹣2）， ∴y2＜y3＜y1， 故答案为：y2＜y3＜y1． 13．（2025•新宾县校级模拟）如图，已知抛物线y＝﹣x2﹣3x+4，点P是抛物线上一动点．当点P在第二象限，∠PBA＝45°时，点P的坐标是 　（﹣3，4）　 ． 【解答】解：如图，连接PB，作PD⊥x轴于D， 在y＝﹣x2﹣3x+4中，令y＝0，则﹣x2﹣3x+4＝0， 解得：x1＝﹣4，x2＝1， ∴B（1，0）， ∵点P是抛物线上一动点， ∴设P（m，﹣m2﹣3m+4），则PD＝﹣m2﹣3m+4，BD＝1﹣m， ∵∠PBA＝45°， ∴△PBD为等腰直角三角形， ∴PD＝BD，即﹣m2﹣3m+4＝1﹣m， 解得：m＝﹣3或m＝1， ∵点P在第二象限， ∴m＝﹣3， ∴﹣m2﹣3m+4＝﹣（﹣3）2﹣3×（﹣3）+4＝4， ∴P（﹣3，4）， 故答案为：（﹣3，4）． 14．（2025•铁东区校级模拟）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度OP是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m，高度是4m．若实心球落地点为M，则OM＝　　 m． 【解答】解：设抛物线解析式为：y＝a（x﹣5）2+4， 把点代入得：， ∴， ∴； 当y＝0时，， 解得，（舍去），， 即此次实心球被推出的水平距离OM为． 故答案为：． 15．（2024秋•延长县期末）函数y＝7x2﹣14x﹣105与x轴的交点如图所示，则方程7x2﹣14x﹣105＝0的实数根x1＝　﹣3　 ，x2＝　5　 ． 【解答】解：由题意可得： 当x＝﹣3或x＝5时，7x2﹣14x﹣105＝0， ∴方程7x2﹣14x﹣105＝0的实数根x1＝﹣3，x2＝5， 故答案为：﹣3，5． 16．（2024秋•合肥校级期末）已知二次函数y＝ax2的图象如图所示，点A在该抛物线上，A的横坐标是m，过点A作AB⊥y轴于点B，作AC⊥x轴于点C，连接BC交抛物线于点D． （1）若a＝1，m＝2，则OB：OC的值为　2　 ； （2）在（1）的条件下BD：CD的值为　　 ． 【解答】解：（1）二次函数y＝ax2的解析式为y＝x2，点A的横坐标是2， 当x＝2时，y＝22＝4， ∴A（2，4）， ∵AB⊥y轴于点B，AC⊥x轴于点C， ∴B（0，4），C（2，0）， ∴OB＝AC＝4﹣0＝4，OC＝AB＝2﹣0＝2， ∴OB：OC＝4：2＝2， 故答案为：2； （2）由条件可知二次函数y＝ax2的解析式为y＝x2，点A的横坐标是2， 当x＝2时，y＝22＝4， ∴A（2，4）， ∵AB⊥y轴于点B，AC⊥x轴于点C， ∴B（0，4），C（2，0）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b， 将B（0，4），C（2，0）代入，得： ， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+4， ∵BC与抛物线交于点D， ∴设D（n，﹣2n+4）（n＞0），则有： ﹣2n+4＝n2， 解得：或（不合题意，故舍去）， ∴， 如图，过点D作DE⊥y轴于点E， ∴， 由条件可知DE∥x轴， ， 由（1）可得：OB＝4， ∵， ∴BD：CD的值为： ， 故答案为：． 三．解答题（共7小题） 17．（2025•福州模拟）已知二次函数． （1）求函数图象的顶点坐标； （2）写出函数y随x的变化情况，并用代数推理给予证明． 【解答】解：（1）由题意，∵（x﹣1）2， ∴该函数图象的顶点坐标为（1，）． （2）由题意，结合（1）可得y（x﹣1）2， ∴抛物线开口向下，对称轴是直线x＝1． ∴当x＜1时，y随x的增大而增大；当x＞1时，y随x的增大而减小． 证明：设x1＜x2，分两种情况讨论： ①当x1＜x2＜1时： ． ∵x1＜x2＜1， ∴x1﹣x2＜0，x1+x2＜2， ∴1， ∴y1﹣y2＜0，即y1＜y2， ∴当x＜1时，y随x的增大而增大． ②当1＜x1＜x2时：同理， ∵x1＜x2， ∴x1﹣x2＜0， 又∵x1+x2＞2， ∴， ∴y1﹣y2＞0，即y1＞y2， ∴当x＞1时，y随x的增大而减小． 18．（2025•许昌二模）已知抛物线y＝x2﹣2mx+2m﹣4的顶点为P，点A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的任意两点． （1）当抛物线经过原点时，求抛物线的表达式； （2）当点P位于x轴下方时，求点P到x轴距离的最小值； （3）若对于﹣1≤x1≤0，3≤x2≤4总有y1＞y2，请直接写出m的取值范围． 【解答】解：（1）由条件可得：2m﹣4＝0， 解得：m＝2， ∴当抛物线经过原点时，求抛物线的表达式为y＝x2﹣4x； （2）将抛物线解析式配方得y＝x2﹣2mx+2m﹣4＝（x﹣m）2﹣m2+2m﹣4， ∴其顶点为P（m，﹣m2+2m﹣4）， 当点P位于x轴下方时，﹣m2+2m﹣4＜0， ∴点P到x轴的距离为h＝|﹣m2+2m﹣4|＝m2﹣2m+4＝（m﹣1）2+3， 由条件可知当m＝1时，h取得最小值3， 即点P到x轴距离的最小值为3； （3）∵抛物线y＝x2﹣2mx+2m﹣4＝（x﹣m）2﹣m2+2m﹣4，开口向上，对称轴为直线x＝m， ∴当x＜m时，y随x的增大而减小，当x＞m时，y随x的增大而增大， 由条件可知m﹣0＞4﹣m， 解得：m＞2． 19．（2025•从江县校级二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，0）． （1）若b＝2a，则二次函数图象的对称轴为直线x＝﹣1　 ； （2）在（1）的条件下，若二次函数的图象与直线y＝3交于点A（x1，y1），B（x2，y2），已知x1x2＝2，求a的值； （3）若对于任意实数x，都有10x﹣40≤ax2+bx+c≤2.5x2﹣10x，求该二次函数的表达式． 【解答】解：（1）∵b＝2a， ∴二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为直线x1． 故答案为：x＝﹣1； （2）∵二次函数y＝ax2+2ax+c的图象过点（﹣1，0）， ∴a﹣2a+c＝0， ∴c＝a， ∵二次函数y＝ax2+2ax+c的图象与直线y＝3相交， ∴ax2+2ax+c＝3． ∵A，B是二次函数的图象与直线y＝3的交点， ∴A，B的横坐标满足方程ax2+2ax+c﹣3＝0， ∴x1x2， ∵x1x2＝2， ∴， 解得a＝﹣3； （3）令10x﹣40＝2.5x2﹣10x，解得x1＝x2＝4， ∴x＝4时，10x﹣40＝ax2+bx+c＝2.5x2﹣10x成立， ∵10x﹣40＝0， ∴x＝4是ax2+bx+c＝0的解， ∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点 （﹣1，0）和（4，0）， 令10x﹣40＝a（x﹣4）（x+1）， 化简得ax2﹣（3a+10）x+40﹣4a＝0，则Δ＝（3a+10）2﹣4a×（40﹣4a）＝0 解得a＝2， ∴y＝2（x﹣4）（x+1）＝2x2﹣6x﹣8． ∴该二次函数的表达式为y＝2x2﹣6x﹣8． 20．（2025•福州模拟）在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的两倍，则称该点为“纵倍点”．例如等都是“纵倍点”． （1）写出一个图象上至少有3个“纵倍点”的函数解析式； （2）若双曲线y与直线y＝x+3的一个交点是“纵倍点”，求双曲线的解析式； （3）若抛物线y＝ax2+bx（a，b是常数，a≠0）的图象上有且只有一个“纵倍点”，是否存在一个常数t，使得当t≤b≤t+1时，a的最小值恰好等于t，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）根据“纵倍点”的定义可知：y＝2x， 在函数y＝2x中，对于任意非零实数x，其纵坐标y都等于横坐标x的两倍， 所以函数y＝2x的图象上有无数个“纵倍点”，符合至少有3个“纵倍点”的要求； （2）设“纵倍点”的坐标为（m，2m）， ∵点（m，2m）在直线y＝x+3上， ∴2m＝m+3， 解得：m＝3， ∴该“纵倍点”的坐标为（3，6）， ∵该“纵倍点”在双曲线y上， ∴6， 解得：k＝18， ∴双曲线的解析式为y； （3）∵抛物线y＝ax2+bx（a，b是常数，a≠0）的图象上有且只有一个“纵倍点”（x，2x）， ∴ax2+bx2x， 整理得：ax2+（b﹣2）x0， 则Δ＝（b﹣2）2﹣4a＝0， 即（b﹣2）2＝2a， ∴a（b﹣2）2， 当t≤b≤t+1时，a（b﹣2）2是一个关于b的二次函数，其对称轴为直线b＝2， 当t+1＜2，即t＜1时，在t≤b≤t+1上，a随b的增大而减小， ∴当b＝t+1时，a取得最小值，a最小值（t+1﹣2）2（t﹣1）2， ∴（t﹣1）2＝t， 解得：t＝2±， ∵t＜1， ∴t＝2； 当t＞2时，在t≤b≤t+1上，a随b的增大而增大， ∴当b＝t时，a取得最小值，a最小值（t﹣2）2， ∴（t﹣2）2＝t，解得：t＝3±， ∵t＞2， ∴t＝3； 当t≤2≤t+1，即1≤t≤2时，当b＝2时，a取得最小值，a最小值＝0， ∵a的最小值恰好等于t， ∴t＝0，与1≤t≤2矛盾； 综上，存在，t的值为2或3． 21．（2025•襄州区校级模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D（m，n）为抛物线上第一象限内的一个动点，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，连接CD． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在点D，使得∠DCE＝2∠ABC？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若0＜DE，求m的取值范围． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0）， ∴抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）， 即y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4）＝ax2+bx+2， 将C（0，2）代入抛物线表达式，可得，﹣4a＝2， 解得：a， ∴抛物线的解析式为yx2x+2； （2）存在，理由： 当∠DCE＝2∠ABC时，取点F（0，﹣2），连接BF． ， ∵OC＝OF，OB⊥CF， ∴∠ABC＝∠ABF， ∴∠CBF＝2∠ABC． ∵∠DCB＝2∠ABC， ∴∠DCB＝∠CBF， ∴CD∥BF． ∵点B（4，0），F（0，﹣2）， ∴直线BF的解析式为yx﹣2， ∴设直线CD的解析式为yx+d． 将C（0，2）代入直线CD的解析式得d＝2， ∴直线CD的解析式为yx+2， 令x2x+2x+2， 解得：x＝0（舍去）或x＝2， 即点D（2，3）． （3）如图，过点D作DM⊥x轴于点M，交BC于点G，则DM∥y轴， ∴∠DGE＝∠OAB， ∵∠DEG＝∠COB＝90°， ∴△DEG∽△BOC， ∴OC：EG＝OB：DE＝BC：DG， ∵C（0，2），B（4，0）， ∴OC＝2，OB＝4，BC＝2，直线BC的解析式为：yx+2， ∴2：EG＝4：DE＝2：DG， ∴DGDE， ∵0＜DE， ∴0＜DG， ∵点D在抛物线上，且点D的横坐标为m， ∴D（m，m2m+2），G（m，m+2）， ∴DGm2m+2﹣（m+2）m2+2m， 令DG，则m2+2m， 解得m＝1或m＝3， 令DG＝0，则m2+2m＝0， 解得m＝0或m＝4， ∵0， ∴当m＜2时，DG的长随m的增大而增大，当m＞2时，DG的长随m的增大而减小， 综上，m的取值范围为：0＜m≤1或3≤m＜4． 22．（2025•钟楼区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（3，0），与y轴交于点B，且关于直线x＝1对称． （1）求该抛物线的解析式； （2）当﹣1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤2t﹣1，求t的值； （3）若点P、Q在直线AB上，问：在该二次函数图象上是否存在点M，N，使得四边形PQMN是正方形？若存在，请直接写出PQ的长；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵A（3，0），抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）， 则抛物线的表达式为y＝a（x+1）（x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a＝ax2+bx+3， ∴﹣3a＝3， ∴a＝﹣1， 则抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3． （2）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝1， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越小， ∵当﹣1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤2t﹣1， ∴﹣1＜t≤3． ①若﹣1＜t≤1， 当x＝t时，函数有最大值， 即2t﹣1＝﹣t2+2t+3， 解得t＝﹣2或t＝2，均不符合题意，舍去； ②若1＜t≤3， 当x＝1时，函数有最大值， 即2t﹣1＝﹣12+2+3＝4， 解得． 综上，． （3）∵PQMN是正方形，设正方形的边长为， 当MN在AB上方时，如图， 设直线MN交y轴于点T，作AG⊥MN于点G， 由点A、B的坐标知，直线AB和x轴的夹角为45°， 则BTBGm＝m， 故设直线MN的表达式为：y＝﹣x+3+m（m＞0）， 联立上式和抛物线的表达式得：﹣x2+2x+3＝﹣x+3+m， 整理得x2﹣3x+m＝0， 则x1+x2＝3，x1x2＝m， ∴， ∵直线MN和x轴的夹角为45°，则， 即， 解得：m＝﹣18（舍去）或2， ∴； 当MN在AB下方时， 同理可得：， 解得：m＝18或﹣2（舍去）， ∴； 故PQ的长度为：或． 23．（2025•江西模拟）如图，这是一个直角三角形斜坡截面AOB，∠AOB＝90°，OA＝3m，OB＝12m，坡面AB上要立一根标杆MN（标杆粗细忽略不计，点M在坡面上且不与点B重合，MN∥OA），现在斜坡点A处安装一个喷水管（看作一点），喷水管喷出的水流呈抛物线形状，建立如图所示的平面直角坐标系，喷水管喷出水流的水平距离x（单位：m）与水流的高度y（单位：m）的变化规律如表所示： x 0 1 2 3 4 … y 3 3 … （1）求该抛物线的解析式． （2）若喷水管喷出水流恰好经过标杆的顶部N点． ①求标杆MN的最大长度； ②若AM＝AN，求点N的坐标． 【解答】解：（1）由题意，结合表格数据可得，抛物线的对称轴是直线x2， ∴该抛物线的顶点坐标为． ∴可设该抛物线的解析式为． 将点（0，3）代入得，解得． ∴该抛物线的解析式为． （2）①由题意，设直线AB的解析式为y＝kx+b， 将A（0，3），B（12，0）代入得， ∴ ∴直线AB的解析式为． 又设点N的坐标为， ∴点M的坐标为． ∴MNt2t+2﹣（t+3）t2t（t﹣3）2． ∴当t＝3时，MN取得最大值，且最大值为，即MN的最大长度为． ②如图，过点A作AH⊥MN于点H，连接AN， 设AH＝x，则点H的坐标为（x，3）． 由AM＝AN得H为MN中点，即HM＝HN． ∵， ∴， ∴点N的坐标为． 将点N的坐标代入抛物线的解析式得， ∴x2﹣2x＝0． ∴x1＝0（舍去），x2＝2． ∵当x＝2时，． ∴点N的坐标为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$