第21章一元二次方程 易错精选题-2025-2026学年人教版数学九年级上册

第21章一元二次方程易错精选题-2025-2026学年数学九年级上册人教版 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•肇庆期末）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+2＝0，配方后得到的方程，正确的是（　　） A．（x+4）2＝4 B．（x﹣4）2＝4 C．（x+2）2＝2 D．（x﹣2）2＝2 2．（2025春•肥城市期中）如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+9k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　） A．k＜1 B．k≠0 C．k≤1 D．k＞1 3．（2025•广西）已知x1，x2是方程x2﹣20x﹣25＝0的两个实数根，则x1+x2＝（　　） A．﹣25 B．﹣20 C．20 D．25 4．（2025春•界首市期末）已知m是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的一个根，则2019﹣m2+m的值为（　　） A．2023 B．2016 C．2020 D．2019 5．（2025•黑龙江）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（　　） A．8000（1+2x）＝1200 B．8000（1+x）2＝12000 C．8000+8000（1+x）+8000（1+x）2＝12000 D．8000×2（1+x）＝12000 6．（2025•宁陵县三模）判断关于x的方程kx2﹣（k+1）x+1＝0（k是常数，k＜1）的根的情况（　　） A．存在一个k，使得方程只有一个实数根 B．无实数根 C．一定有两个不相等的实数根 D．一定有两个相等的实数根 7．（2025•岳麓区校级三模）据国家统计局发布的《2024年国民经济和社会发展统计公报》显示，2022年和2024年全国居民人均可支配收入分别为3.7万元和4.5万元．设2022年至2024年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（　　） A．3.7（1﹣x）2＝4.5 B．3.7（1+x）2＝4.5 C．4.5（1﹣x）2＝3.7 D．4.5（1+x）2＝3.7 8．（2025•南宫市模拟）某数学兴趣小组的四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤（如图），老师看后，发现最后结果是错误的，并说：“错误是从某位同学负责的步骤开始出现的．”则这位同学是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 二．填空题（共8小题） 9．（2025•鞍山一模）若一元二次方程ax2+bx+a＝0（a≠0）有两个相等的实数根，则它的根是　 　 ． 10．（2025•宿州模拟）若关于x的一元二次方程2x2+6x﹣m＝0有实数根，则m的取值范围是　 　 ． 11．（2025•南昌模拟）设α，β是方程x2﹣2x﹣2025＝0的两个实数根，则α2+αβ﹣2α的值为　 　 ． 12．（2025•滕州市三模）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根，则的值是 　 　 ． 13．（2025•沙坡头区四模）设x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则的值是　 　 ． 14．（2025•北碚区校级三模）Omicron（奥密克戎）是新冠病毒的变异毒株，它具有传染性强，传播速度快的特点．若有一个人感染了它，但是没有得到有效的隔离，那么经过两轮传染后将共有144名感染者，在每轮传染中，平均一个人传染了　 　 人． 15．（2025•江西模拟）如图，在Rt△ABC中，AC＝40cm，CB＝32cm，∠C＝90°，点P从点A开始沿AC边向点C以2cm/s的速度移动，同时另一个点Q从点C开始沿CB向点B以3cm/s的速度移动，当△PCQ的面积等于300cm2时，经过的时间是　 　 ． 16．（2025•蒙阴县三模）阅读下面的问题：解方程x2﹣|x|﹣2＝0． 解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）； （2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝1（不合题意，舍去）； 综上所述，原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2． 参照上述解题方法，则x2﹣|x﹣1|﹣1＝0的解为　 　 ． 三．解答题（共7小题） 17．（2025春•淮北期末）解下列方程3（x﹣2）2＝x（x﹣2）． 18．（2025•广州模拟）已知关于x的一元二次方程x2+2ax+a+6＝0有两个相等的实根． （1）求a的值． （2）求代数式的值． 19．（2025•嘉峪关校级二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m﹣1＝0． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程有一个根为﹣1，求m的值． 20．（2025春•藤县期末）某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/每天的维护费用，设每间客房的定价提高了x元． （1）填表（不需化简） 入住的房间数量 房间价格 总维护费用 提价前 60 200 60×20 提价后 　 　 　 　 　 　 （2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入＝总收入﹣维护费用） 21．（2025•贵港一模）某小区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，停车位的地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知每层喷漆面积为1196平方米． （1）求通道的宽是多少米？ （2）据调查分析，小区停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 22．（2025•新宾县校级模拟）为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知2022年该市投入基础教育经费5000万元，2024年投入基础教育经费7200万元． （1）求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率． （2）如果按（1）中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划2025年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共2000台，调配给农村学校．若购买一台电脑需3000元，购买一台实物投影仪需1500元，则最多可购买电脑多少台？ 23．（2024秋•扬中市期末）关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0经过适当变形可以写成（x﹣m）（x﹣n）＝p（m≤n）的形式．现列表探究x2﹣4x﹣3＝0的变形： 变形 m n p （x+1）（x﹣5）＝﹣2 ﹣1 5 ﹣2 x（x﹣4）＝3 0 4 3 （x﹣1）（x﹣1）＝6 1 t 6 （x﹣2）2＝7 2 2 7 【观察】表格中t的值为　 　 ，m与n满足的等量关系为　 　 ，p的值随n﹣m值的增大而　 　 （填“增大”或“减小”）； 【尝试】若一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0变形为（x﹣m）（x﹣n）＝﹣9（m≤n），求m、n的值； 【拓展】若一元二次方程x2+bx+c＝0经过变形可写成（x﹣m）（x﹣n）＝p（m≤n），则p的最大值为　 　 （用含有b、c的代数式表示）． 第21章一元二次方程易错精选题-2025-2026学年数学九年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A C B B A B B 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•肇庆期末）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+2＝0，配方后得到的方程，正确的是（　　） A．（x+4）2＝4 B．（x﹣4）2＝4 C．（x+2）2＝2 D．（x﹣2）2＝2 【解答】解：x2﹣4x+2＝0， x2﹣4x＝﹣2， x2﹣4x+4＝2， （x﹣2）2＝2， 故选：D． 2．（2025春•肥城市期中）如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+9k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　） A．k＜1 B．k≠0 C．k≤1 D．k＞1 【解答】解：由题意得：Δ＝b2﹣4ac＝36﹣36k＞0， 解得：k＜1， 故选：A． 3．（2025•广西）已知x1，x2是方程x2﹣20x﹣25＝0的两个实数根，则x1+x2＝（　　） A．﹣25 B．﹣20 C．20 D．25 【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x220． 故选：C． 4．（2025春•界首市期末）已知m是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的一个根，则2019﹣m2+m的值为（　　） A．2023 B．2016 C．2020 D．2019 【解答】解：由条件可得m2﹣m＝3， 所以2019﹣m2+m＝2019﹣（m2﹣m）＝2019﹣3＝2016． 故选：B． 5．（2025•黑龙江）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（　　） A．8000（1+2x）＝1200 B．8000（1+x）2＝12000 C．8000+8000（1+x）+8000（1+x）2＝12000 D．8000×2（1+x）＝12000 【解答】解：由题意可得， 8000（1+x）2＝12000， 故选：B． 6．（2025•宁陵县三模）判断关于x的方程kx2﹣（k+1）x+1＝0（k是常数，k＜1）的根的情况（　　） A．存在一个k，使得方程只有一个实数根 B．无实数根 C．一定有两个不相等的实数根 D．一定有两个相等的实数根 【解答】解：∵k＜1， ∴当k＝0时，原方程为﹣x+1＝0， 解得：x＝1； 当k≠0时，Δ＝[﹣（k+1）]2﹣4k＝（k﹣1）2＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 7．（2025•岳麓区校级三模）据国家统计局发布的《2024年国民经济和社会发展统计公报》显示，2022年和2024年全国居民人均可支配收入分别为3.7万元和4.5万元．设2022年至2024年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（　　） A．3.7（1﹣x）2＝4.5 B．3.7（1+x）2＝4.5 C．4.5（1﹣x）2＝3.7 D．4.5（1+x）2＝3.7 【解答】解：根据题意得：3.7（1+x）2＝4.5． 故选：B． 8．（2025•南宫市模拟）某数学兴趣小组的四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤（如图），老师看后，发现最后结果是错误的，并说：“错误是从某位同学负责的步骤开始出现的．”则这位同学是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【解答】解：2x2+4x﹣1＝0， 2x2+4x＝1， 所以甲同学不错， x2+2x， 所以乙同学错了． 故选：B． 二．填空题（共8小题） 9．（2025•鞍山一模）若一元二次方程ax2+bx+a＝0（a≠0）有两个相等的实数根，则它的根是　1或﹣1　 ． 【解答】解：由题意得，Δ＝b2﹣4a2＝0， ∴b＝±2a， ∴ax2±2ax+a＝0， 解得x＝±1， ∴它的根是1或﹣1． 故答案为：1或﹣1． 10．（2025•宿州模拟）若关于x的一元二次方程2x2+6x﹣m＝0有实数根，则m的取值范围是　　 ． 【解答】解：由条件可知Δ＝36+8m≥0， 解得：， 故答案为：． 11．（2025•南昌模拟）设α，β是方程x2﹣2x﹣2025＝0的两个实数根，则α2+αβ﹣2α的值为　0　 ． 【解答】解：由条件可知α2﹣2α﹣2025＝0，αβ＝﹣2025， ∴α2﹣2α＝2025， 则α2+αβ﹣2α＝α2﹣2α+αβ＝2025+（﹣2025）＝0， 故答案为：0． 12．（2025•滕州市三模）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根，则的值是 　14　 ． 【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣5， ∴， ∴， ∴． 故答案为：14． 13．（2025•沙坡头区四模）设x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则的值是　﹣6　 ． 【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝2，x1•x2＝﹣1， ∴ ＝﹣6． 故答案为：﹣6． 14．（2025•北碚区校级三模）Omicron（奥密克戎）是新冠病毒的变异毒株，它具有传染性强，传播速度快的特点．若有一个人感染了它，但是没有得到有效的隔离，那么经过两轮传染后将共有144名感染者，在每轮传染中，平均一个人传染了　11　 人． 【解答】解：设每轮传染中，平均每个人传染了x个人， 依题意得：1+x+x（1+x）＝144， 整理得：（1+x）2＝144， 解得：x1＝11，x2＝﹣13（不合题意，舍去）． 即每轮传染中，平均每个人传染了11个人， 故答案为：11． 15．（2025•江西模拟）如图，在Rt△ABC中，AC＝40cm，CB＝32cm，∠C＝90°，点P从点A开始沿AC边向点C以2cm/s的速度移动，同时另一个点Q从点C开始沿CB向点B以3cm/s的速度移动，当△PCQ的面积等于300cm2时，经过的时间是　10s ． 【解答】解：设经过t秒时， 点P的速度是2cm/s，移动时间为t秒，AC＝40cm，则PC＝（40﹣2t）cm； 点Q的速度是3cm/s，移动时间为t秒，则CQ＝3tcm． ∵∠C＝90°， ∴△PCQ的面积． ∴， 整理为t2﹣20t+100＝0， 解得t1＝t2＝10． 所以经过的时间是10s． 故答案为：10s． 16．（2025•蒙阴县三模）阅读下面的问题：解方程x2﹣|x|﹣2＝0． 解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）； （2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝1（不合题意，舍去）； 综上所述，原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2． 参照上述解题方法，则x2﹣|x﹣1|﹣1＝0的解为x1＝1；x2＝﹣2　 ． 【解答】解：（1）当x≥1时，原方程化为x2﹣x＝0， ∴x（x﹣1）＝0， ∴x＝0或x﹣1＝0， 解得：x1＝1，x2＝0（不合题意，舍去）； （2）当x＜1时，原方程化为x2+x﹣2＝0， ∴（x﹣1）（x+2）＝0， ∴x﹣1＝0或x+2＝0， 解得：x1＝1（不合题意，舍去），x2＝﹣2， 综上所述，原方程的根是x1＝1，x2＝﹣2， 故答案为：x1＝1；x2＝﹣2． 三．解答题（共7小题） 17．（2025春•淮北期末）解下列方程3（x﹣2）2＝x（x﹣2）． 【解答】解：3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）＝0 （x﹣2）[3（x﹣2）﹣x]＝0 （x﹣2）（2x﹣6）＝0 x﹣2＝0或2x﹣6＝0 ∴x1＝2，x2＝3． 18．（2025•广州模拟）已知关于x的一元二次方程x2+2ax+a+6＝0有两个相等的实根． （1）求a的值． （2）求代数式的值． 【解答】解：（1）由条件可知Δ＝（2a）2﹣4×1×（a+6）＝4a2﹣4a﹣24＝0， ∴a1＝﹣2，a2＝3． （2）原式 ， ∵当a＝﹣2时，原式， 当a＝3时，原式． 综上可知，代数式的值为． 19．（2025•嘉峪关校级二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m﹣1＝0． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程有一个根为﹣1，求m的值． 【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4（m﹣1）＝（m+1）2+12＞0， ∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由条件可知1+m+3+m﹣1＝0， 解得：． 20．（2025春•藤县期末）某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/每天的维护费用，设每间客房的定价提高了x元． （1）填表（不需化简） 入住的房间数量 房间价格 总维护费用 提价前 60 200 60×20 提价后 　60　 　200+x 　（60）×20　 （2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入＝总收入﹣维护费用） 【解答】解：（1）∵增加10元，就有一个房间空闲，增加20元就有两个房间空闲，以此类推，空闲的房间为， ∴入住的房间数量＝60，房间价格是（200+x）元，总维护费用是（60）×20． 故答案为：60；200+x；（60）×20； （2）依题意得：（200+x）（60）﹣（60）×20＝14000， 整理，得 x2﹣420x+32000＝0， 解得x1＝320，x2＝100． 当x＝320时，有游客居住的客房数量是：6028（间）． 当x＝100时，有游客居住的客房数量是：6050（间）． 所以当x＝100时，能吸引更多的游客，则每个房间的定价为200+100＝300（元）． 答：每间客房的定价应为300元． 21．（2025•贵港一模）某小区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，停车位的地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知每层喷漆面积为1196平方米． （1）求通道的宽是多少米？ （2）据调查分析，小区停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 【解答】解：（1）设通道的宽是x米， 由题意列方程得，（50﹣2x）（30﹣2x）＝1196， 整理得，4x2﹣160x﹣304＝0， 解得x1＝2，x2＝38（不符合题意，舍去）， 答：通道的宽是2米． （2）设每个车位的月租金上涨y元， 由题意得，， 解得y1＝40，y2＝400， 又∵能优惠大众， ∴y＝40， 答：当每个车位的月租金上涨40元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元． 22．（2025•新宾县校级模拟）为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知2022年该市投入基础教育经费5000万元，2024年投入基础教育经费7200万元． （1）求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率． （2）如果按（1）中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划2025年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共2000台，调配给农村学校．若购买一台电脑需3000元，购买一台实物投影仪需1500元，则最多可购买电脑多少台？ 【解答】解：（1）设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x，根据题意，得， 5000（1+x）2＝7200， 整理得，500x2+10000x﹣2200＝0， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）， 答：该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%． （2）第二年即2024年投入基础教育经费为7200（1+20%）＝8640（万元）＝86400000（元）， 设购买电脑y台，则购买实物投影仪（2000﹣y）台，根据题意，得， 3000y+1500（2000﹣y）≤86400000×5%， 解得y≤880， 答：最多可购买电脑880台． 23．（2024秋•扬中市期末）关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0经过适当变形可以写成（x﹣m）（x﹣n）＝p（m≤n）的形式．现列表探究x2﹣4x﹣3＝0的变形： 变形 m n p （x+1）（x﹣5）＝﹣2 ﹣1 5 ﹣2 x（x﹣4）＝3 0 4 3 （x﹣1）（x﹣1）＝6 1 t 6 （x﹣2）2＝7 2 2 7 【观察】表格中t的值为　3　 ，m与n满足的等量关系为m+n＝4　 ，p的值随n﹣m值的增大而　减小　 （填“增大”或“减小”）； 【尝试】若一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0变形为（x﹣m）（x﹣n）＝﹣9（m≤n），求m、n的值； 【拓展】若一元二次方程x2+bx+c＝0经过变形可写成（x﹣m）（x﹣n）＝p（m≤n），则p的最大值为　　 （用含有b、c的代数式表示）． 【解答】解：【观察】由题意，∵x2﹣4x﹣3＝0， ∴x2﹣4x+3＝6， ∴（x﹣1）（x﹣3）＝6， ∴t＝3； 由﹣1+5＝4、0+4＝4、1+3＝4、2+2＝4知m+n＝4， 对于（x+1）（x﹣5）＝﹣2，n﹣m ＝ 5﹣（﹣1）＝6，p ＝﹣2； 对于x（x﹣4）＝3，n﹣m ＝ 4﹣0 ＝ 4，p ＝ 3； 对于（x﹣1）（x﹣3）＝6，n﹣m ＝ 3﹣1 ＝ 2，p ＝ 6； 对于（x﹣2）2＝7，n﹣m ＝ 2﹣2 ＝ 0，p ＝ 7． 可以发现n﹣m的值从6逐渐减小到0，p的值从﹣2逐渐增大到7， ∴p的值随n﹣m值的增大而减小． 故答案为：3，m+n＝4，减小． 【尝试】由题意，∵x2﹣4x﹣3＝0， ∴x2﹣4x﹣12＝﹣9， ∴（x+2）（x﹣6）＝﹣9， ∵x2﹣4x﹣3＝0变形为（x﹣m）（x﹣n）＝﹣9（m≤n）， ∴m＝﹣2，n＝6． 【拓展】由题意，∵一元二次方程x2+bx+c＝0经过变形可写成（x﹣m）（x﹣n）＝p，即x2﹣（m+n）x+mn﹣p＝0． ∴m+n＝﹣b，mn﹣p＝c． ∴p＝mn﹣c． ∵（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn≥0， ∴mn． ∴p＝mn﹣cc． ∴p的最大值为． 故答案为：． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$