2.1　锐角三角函数 课件　2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级上册

1.正弦的概念 在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A的　　　　与　　　　的比叫做∠A的正弦. 2.余弦的概念 在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A的　　　　与　　　　的比叫做∠A的余弦. 3.三角函数的概念 锐角A的正弦、　　　　和　　　　都是∠A的三角函数.  过教材　要点概览 第2课时　正弦、余弦 对边 斜边 邻边 斜边 余弦 正切 初中五四制练案·数学·L J·九全 精讲练　新知探究 探究点一　正弦和余弦 [典例1] 在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.若b=6,c=10,求∠A的正弦值和余弦值. 2 [典例2] 如图所示,一名滑雪运动员沿着倾斜角为α的斜坡,从A滑行到B.已知AB=200 m,则这名滑雪运动员的高度下降了(　　) A 3 [变式] 如图所示,秀秀和山山在水平的地面上放风筝,某一时刻两人的风筝正好都停在对方的正上方,即此时AC⊥AB,DB⊥AB,两人之间的距离AB为120米.若两人的风筝线与水平线的夹角分别为α和β,则两人放出的风筝线AD与BC的长度和为(忽略两人的身高与手臂长度)(　　) D 4 正弦、余弦和正切的定义都是利用直角三角形给出的,应用时要避免对任意三角形随便套用.锐角三角函数的本质是两条线段的比,是一个数值,无单位. 5 探究点二　锐角三角函数的有关计算 6 未进行分类讨论而导致漏解. 7 ① 8 ② 9 在直角三角形中,当只知两边长度的数量关系,而具体数值未知时,可通过设参数分别表示出两边的长度,再利用勾股定理表示出第三边的长度,进而进行相关计算.若已知锐角及斜边或对边,可直接根据正弦的定义求角的对边或斜边,然后利用勾股定理求第三边. 10 谢谢观赏！ 11 解:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c, b=6,c=10, ∴a===8, ∴sin A===,cos A===. ∴∠A的正弦值为,∠A的余弦值为. A.200sin α m B.200cos α m C.200tan α m D. m A.(120sin α+120cos β)米 B.米 C.(120cos α+120cos β)米 D.米 [典例3] 如图所示,在△ABC中,AB=6,sin B=,tan C=,求△ABC的面积. 解:如图所示,过点A作AD⊥BC,垂足为D. 在Rt△ABD中,AB=6,sin B=, ∴AD=AB·sin B=6×=3, ∴BD===3. 在Rt△ADC中,tan C=, ∴CD===9, ∴BC=BD+CD=3+9. ∴△ABC的面积=BC·AD=×(3+9)×3=. [典例4] 已知在△ABC中,tan B=,BC=6,过点A作BC边上的高,垂足为D,且满足BD∶CD=2∶1,求△ABC的面积. 解:如图①所示, ∵BC=6,BD∶CD=2∶1,∴BD=4. ∵AD⊥BC,tan B=,∴=, ∴AD=BD=, ∴S△ABC=BC·AD=×6×=8. 如图②所示,∵BC=6,BD∶CD=2∶1, ∴BD=12. ∵AD⊥BC,tan B=, ∴=,∴AD=BD=8, ∴S△ABC=BC·AD=×6×8=24. 综上所述,△ABC的面积为8或24. $$1.正切的概念 在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的　　　　与　　　　的比便随之确定,这个比叫做∠A的正切,记作tan A,即tan A=　　 　.  过教材　要点概览 第二章　直角三角形的边角关系 1　锐角三角函数 第1课时　正切 对边 邻边 初中五四制练案·数学·L J·九全 2.坡度和坡角的概念 (1)坡度:坡面的　　　　　　与　　　　　　的比称为坡度(或坡比);  (2)坡角:　　　　　　与　　　　　　的夹角叫做坡角(或倾斜角).  3.坡度与坡角的关系 坡度是坡角的　　　　,即i=tan α. 坡度越大,坡角越　　　　,坡面就越　　　　.  铅直高度 水平宽度 坡面 水平面 正切 大 陡 2 精讲练　新知探究 探究点一　正切 [变式1] 已知在直角三角形ABC中,∠C为直角,tan∠ABC=2,AC=2,则AB= 　　　　.  D 3 探究点二　正切的应用 [典例2] 如图所示,一条河的两岸互相平行,为测得此河的宽度PT(PT与河岸PQ垂直),测得P,Q两点间的距离为m米,∠PQT=α,则河宽PT为(　　) C 4 探究点三　坡度(坡比) A 5 6 (2)求坝底AB的长. 7 在解决坡度、坡角问题时,可通过作垂线,构造直角三角形,利用坡角的正切值求边的长度或角的度数. 8 谢谢观赏！ 9 [典例1] 在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=12,AC=5,则tan A的值为(　　) A. B. C. D. A.msin α米 B.mcos α米 C.mtan α米 D.米 [典例3] 如图所示,有一斜坡AB,坡顶B离地面的高度BC为30 cm.若 tan∠BAC=,则此斜坡的水平宽度AC为(　　) A.75 cm B.50 cm C.30 cm D.45 cm [变式2] 如图所示,水坝的横断面是梯形,斜坡BC=90 m,斜坡AD的坡度为1∶,坝顶DC=25 m,坝高CE=45 m. (1)求斜坡BC的坡度; 解:(1)在Rt△BCE中,CE=45 m,BC=90 m, ∴EB===45(m). ∴斜坡BC的坡度为tan B===1∶. 解:(2)如图所示,过点D作DF⊥AB于点F, 则DF=CE=45 m. ∵斜坡AD的坡度为1∶, ∴tan A==,∴AF=45 m. ∴AB=EF+AF+BE=(25+45+45)m, 即坝底AB的长为(25+45+45)m. $$null