第2章 微专题1 基本不等式的应用技巧-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（人教A版）

微专题1　基本不等式的应用技巧 第二章 一元二次函数、方程和不等式 在利用基本不等式求最大值或最小值时，为满足“一正、二定、三相等”的条件，需要做一些适当的变形，用到一些变换的技巧，下面举例说明． 探究1　常数代换法求最值问题 [典例讲评]　1．已知x>0，y>0，x＋2y＝1，求的最小值． 微专题强化练 微专题1　基本不等式的应用技巧 [解]　由题意知，＝(x＋2y)＋4≥5＋2＝9， 当且仅当，即x＝y＝时取等号． 所以的最小值为9． 微专题强化练 微专题1　基本不等式的应用技巧 [母题探究]　 1．将本例条件“x＋2y＝1”换成“x＋2y＝2”，求的最小值． [解]　(x＋2y)＋，当且仅当，即y＝2－，x＝2－2时取等号． 所以的最小值为＋． 微专题强化练 微专题1　基本不等式的应用技巧 2．将本例条件“x＋2y＝1”换成“x＋y＝1”，求的最小值． [解]　由x＋y＝1，得(x＋2)＋(y＋1)＝4，即[(x＋2)＋(y＋1)]＝1， ∴[(x＋2)＋(y＋1)]＝×(5＋4)＝， 当且仅当，即x＝时等号成立． ∴的最小值为． 微专题强化练 微专题1　基本不等式的应用技巧 反思领悟　常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商． 微专题强化练 微专题1　基本不等式的应用技巧 [学以致用]　1．已知x>0，y>0，x＋2y＝2xy，求3x＋y的最小值． [解]　由x＋2y＝2xy，得＝2， 3x＋y＝(3x＋y)≥＋， 当且仅当，即x＝1＋时取等号． 所以3x＋y的最小值为＋． 微专题强化练 微专题1　基本不等式的应用技巧 探究2　消元法求最值 [典例讲评]　2．已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab－1，求a＋2b的最小值． [解]　由2a＋b＝ab－1，得a＝， 因为a>0，b>0，所以a＝>0，又b＋1>0， 所以b>2， 微专题强化练 微专题1　基本不等式的应用技巧 所以a＋2b＝＋2(b－2)＋4＝2(b－2)＋＋5≥2＋5＝5＋2， 当且仅当2(b－2)＝，即b＝2＋时等号成立． 所以a＋2b的最小值为5＋2． 微专题强化练 微专题1　基本不等式的应用技巧 反思领悟　对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题． 微专题强化练 微专题1　基本不等式的应用技巧 [学以致用]　2．设x>0，xy＋y＝4，则z＝3x＋y＋2的最小值为(　　) A．4－1 　 B．4＋2 C．4＋1 　 D．6 √ A　[由题意x>0，xy＋y＝4，可得y＝>0， 所以z＝3x＋＋2＝3(x＋1)＋－1≥1＝4－1，当且仅当3(x＋1)＝，即x＝－1时等号成立．故选A．] 微专题强化练 微专题1　基本不等式的应用技巧 【教用·备选题】已知a＞0，b＞0，且＝1，则的最小值为(　　) A．2 　 B． C． 　 D．1＋ √ 微专题强化练 微专题1　基本不等式的应用技巧 A　[因为a＞0，b＞0，且＝1， 所以， 所以a＝＞0，所以b＞2． 所以a－1＝＞0， 所以＞0， 微专题强化练 微专题1　基本不等式的应用技巧 所以 ＝(b－2)＋≥2＝2， 当且仅当b－2＝， 即b＝3时取等号， 所以的最小值为2． 故选A．] 微专题强化练 微专题1　基本不等式的应用技巧 探究3　有和、有积、有常数求最值 [典例讲评]　3．已知实数a＞0，b＞0，且a＋b＋15＝ab． (1)求a＋b的最小值； (1)求ab的最小值． 微专题强化练 微专题1　基本不等式的应用技巧 [解]　(1)由a＋b＋15＝ab≤(a＋b)2，当且仅当a＝b＝5时等号成立， 记t＝a＋b，t＞0，则t＋15≤t2， 整理得(t－10)(t＋6)≥0，解得t≥10或t≤－6(舍去)， 即a＋b≥10．所以a＋b的最小值为10． (2)由a＋b＋15＝ab，得ab≥2＋15，即 (＋3)(－5)≥0， 又a＞0，b＞0，所以≥5，即ab≥25． 所以ab的最小值为25． 微专题强化练 微专题1　基本不等式的应用技巧 反思领悟　对已知条件式中同时含有和、积与常数，求和或积的最值(或范围)问题，一般先利用基本不等式进行和与积的转化，把条件等式替换为关于和或积的二次不等式，解此不等式即可． 微专题强化练 微专题1　基本不等式的应用技巧 [学以致用]　3．(1)设a，b∈R．若ab＝a＋b＋3，求a＋b的取值范围； (2)设a>0，b>0，若ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围． 微专题强化练 微专题1　基本不等式的应用技巧 [解]　(1)因为a2＋b2≥2ab，所以a2＋b2＋2ab≥4ab，即≥ab，即≥ab，当且仅当a＝b时取等号，所以ab＝a＋b＋3≤， 即(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0， 即(a＋b＋2)(a＋b－6)≥0，解得a＋b≥6或a＋b≤－2， 即a＋b的取值范围为{a＋b|a＋b≥6，或a＋b≤－2}． 微专题强化练 微专题1　基本不等式的应用技巧 (2)因为a>0，b>0，则ab>0， 所以ab＝a＋b＋3≥2＋3， 即ab≥2＋3， 则ab－2－3≥0，即(＋1)(－3)≥0，解得≥3，即ab≥9，当且仅当a＝b＝3时取等号． 所以ab的取值范围为{ab|ab≥9}． 微专题强化练 微专题1　基本不等式的应用技巧 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 微专题强化练(一)　基本不等式的应用技巧 √ 一、选择题 1．设x＞0，y＞0，且x＋y＝2，则的最小值为(　　) A．9 　B．C．4 　D． 21 D　[(x＋y)＝，当且仅当，即x＝时等号成立，故的最小值为．故选D．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 微专题强化练 微专题1　基本不等式的应用技巧 【教用·备选题】　若x>0，y>0且xy＝x＋4y＋5，则xy的最小值为(　　) A．1 　 B．5 C．25 　 D．12 C　[因为x，y>0，所以xy＝x＋4y＋5≥5＝4＋5， 当且仅当x＝4y时取等号，解不等式xy≥5⇒≥5，xy≥25，当x＝10，y＝时，取等号．故选C．] √ 微专题强化练 微专题1　基本不等式的应用技巧 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 2．已知a，b为正实数，且a＋b＝1，则＋1的最小值为(　　) A．3 　B．4 C．5 　D．6 √ B　[因为a，b为正实数，且a＋b＝1， 所以＋2≥＋2＝4，当且仅当a＝b＝时等号成立．故选B．] 微专题强化练 微专题1　基本不等式的应用技巧 24 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 3．若正实数x，y满足xy＋3x＝3，则12x＋y的最小值为(　　) A．7 　B．8 C．9 　D．10 √ C　[∵x>0，y>0，xy＝3－3x>0，∴0<x<1，y＝， ∴12x＋y＝12x＋－3≥2－3＝9， 当且仅当即x＝时取等号， ∴12x＋y的最小值为9．故选C．] 微专题强化练 微专题1　基本不等式的应用技巧 25 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 4．已知实数x满足0＜x＜，则的最小值为(　　) A．9 　B．18 C．27 　D．36 √ C　[因为0＜x＜，所以[3x＋(1－3x)]＝＋15≥2＋15＝27，当且仅当，即x＝时取等号． 故的最小值为27．故选C．] 微专题强化练 微专题1　基本不等式的应用技巧 26 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 5．(多选)已知a，b为正实数，且ab＋2a＋b＝16，则(　　) A．ab的最大值为8　 B．2a＋b的最小值为8 C．的最小值为 D．b＋的最小值为 √ √ √ 微专题强化练 微专题1　基本不等式的应用技巧 27 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 ABD　[因为16＝ab＋2a＋b≥ab＋2，当且仅当2a＝b时取等号，结合>0，解不等式得0<≤2，即ab≤8，故ab的最大值为8，A正确； 由16＝ab＋2a＋b，得b＝－2， 所以2a＋b＝2a＋－2＝2(a＋1)＋－4≥－4＝8， 当且仅当2(a＋1)＝，即a＝2时取等号，此时取得最小值8，B正确； 微专题强化练 微专题1　基本不等式的应用技巧 28 ≥2＝2＝， 当且仅当a＋1＝b＋2，即a＝3－1，b＝3－2时取等号，此时取得最小值，C错误； b＋ ≥2－， 当且仅当，即a＝时取等号，此时b＋取得最小值，D正确．故选ABD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 微专题强化练 微专题1　基本不等式的应用技巧 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 二、填空题 6．已知x>0，y>0，xy＋2x－y＝10，则x＋y的最小值为_________． 4－1　[因为x>0，y>0，由xy＋2x－y＝10，得x＝， 所以x＋y＝＋y＋2－1≥－1＝4－1， 当且仅当y＝2－2时，等号成立． 故x＋y的最小值为4－1．] 4－1　 微专题强化练 微专题1　基本不等式的应用技巧 30 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 7．设正实数x，y，z满足4x2－3xy＋y2－z＝0，则的最大值为_____． 1　[因为4x2－3xy＋y2－z＝0，所以z＝4x2－3xy＋y2， 所以 ＝ ＝＝1， 当且仅当，即y＝2x时等号成立，所以的最大值为1．] 1　 微专题强化练 微专题1　基本不等式的应用技巧 31 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 8．已知a>0，b>0，且ab＝a－b＋3，则a＋b的最小值为________． 2　[因为ab＝a－b＋3，所以b＝， 则a＋b＝a＋1＋≥2，当且仅当a＝－1，b＝＋1时，等号成立．] 2　 微专题强化练 微专题1　基本不等式的应用技巧 32 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 三、解答题 9．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求： (1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值． 微专题强化练 微专题1　基本不等式的应用技巧 33 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 [解]　(1)由x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，得＝1， 则1＝≥2＝，得xy≥64， 当且仅当， 即x＝16，y＝4时，等号成立． 所以xy的最小值为64． 微专题强化练 微专题1　基本不等式的应用技巧 34 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 (2)由(1)可得＝1， 则x＋y＝·(x＋y) ＝10＋≥10＋2＝18， 当且仅当， 即x＝12且y＝6时等号成立， 所以x＋y的最小值为18． 微专题强化练 微专题1　基本不等式的应用技巧 35 $$