重难点02 基本不等式求最值7考点（期末真题汇编，广东专用）高一数学上学期人教A版必修第一册

重难点02 基本不等式求最值 7大高频考点概览 考点01直接法求最值 考点02配凑法求最值 考点03常数代换法求最值 考点04消元法求最值 考点05不等式法求最值 考点06二次与一次商式的最值 考点07基本不等式求最值的综合 地 城 考点01 直接法求最值 1．（2024秋•罗湖区期末）已知函数，，则最小值为　　 A． B． C．2 D．5 2．（2024秋•龙岗区校级期末）已知，则的最小值是　　 A． B． C． D． 3．（2024秋•电白区期末）已知，则的最小值为 　　． 4．（2025春•南山区校级期末）若正实数，满足，则的最大值是　　 ． 5．（2024秋•普宁市期末）若正数，满足，则的最小值为　　 A．2 B．4 C．8 D．16 故选：． 6．（2024秋•广东期末）若，都是正数，且，则的最小值为　　 A．4 B．6 C． D． 地 城 考点02 配凑法求最值 7．（2025春•龙湖区校级期末）已知，的最小值为　　 A．3 B．4 C． D．5 8．（2018春•荔湾区校级期末）若，则的最小值是　　 A．2 B． C．3 D． 9．（2025春•东莞市期末）已知，当 　　 时，代数式有最小值． 10．（2023秋•广东期末）已知，则的最小值为　　 ． 11．（2024春•茂名期末）已知，则的最小值为　　 A．6 B．5 C．4 D．3 12．（2023秋•光明区期末）已知，则的最小值为　　 A． B．2 C． D． 13．（2016春•广州校级期末）若，则的最小值是　　． 14．（2024秋•电白区期末）当取得最小值时，　　 A．0 B．1 C． D． 15．（2024秋•湛江期末）（1）已知，求的最大值； （2）若正数，满足，求的最小值． 16．（2023秋•宝安区校级期末）已知，则的取值范围为　　 A．，，B．，，C．，， D．， 地 城 考点03 常数代换法求最值 17．（2024秋•阳江期末）若，，且，则的最小值是　　 A．3 B．6 C．9 D．12 18．（2025春•潮阳区校级期末）已知，则的最小值为　　 A．5 B．6 C． D． 19．（2024秋•南山区期末）已知，，，则的最小值为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 20．（2023秋•南山区校级期末）已知正数，满足，则的最小值为　　 A．6 B．8 C．16 D．20 故选：． 21．（2024秋•肇庆期末）已知正实数，满足，则的最小值为　　 A．6 B．7 C．8 D．9 故选：． 22．（2024秋•广东期末）函数且的图象定点，若对任意正数，，都有，则的最小值为　　 A．4 B．2 C． D．1 23．（2024秋•清远期末）已知实数，，且，则的最小值为　　 A．16 B．18 C．22 D．26 24．（2024秋•深圳期末）已知，，且，则的最小值为 　　． 25．（2024秋•光明区校级期末）已知正数，满足，则的最小值为　　 A．4 B．6 C．8 D．10 26．（2023秋•阳江期末）已知，，，则最小值为　　 A．5 B． C．4 D． 27．（2024秋•深圳校级期末）已知正实数、满足，则最小值为　　 A． B．4 C． D．3 28．（2024秋•高州市期末）已知正数，满足，则的最小值为　　 A．9 B．8 C．7 D．10 29．（2024秋•深圳校级期末）已知，，且，则的最小值为　　 A．2 B．4 C．6 D．8 故选：． 30．（2024秋•龙岗区校级期末）已知正数，满足，则的最小值是　　 A．8 B．6 C．4 D．2 31．（2023秋•福田区校级期末）已知正实数，满足，则的最小值为　　 A．9 B．8 C．3 D． 32．（2023秋•阳江期末）若，且，则的最小值是　　 A． B． C．2 D． 33．（2023秋•阳江期末）已知，，，则的最小值为　　 A． B．1 C．0 D． 34．（2023秋•梅县区校级期末）已知函数恒过定点，，且满足，其中，是正实数，则的最小值是　　 A．16 B．6 C． D． 35．（2023秋•肇庆期末）已知，，，则的最小值为　　 A．15 B．16 C．17 D．18 36．（2025春•东莞市期末）已知，，且，则的最小值是　　 A．6 B．12 C． D．27 37．（2024秋•广东校级期末）已知函数，正实数，满足，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 38．（2024秋•佛山期末）若正数，满足，则的最小值为 　　． 39．（2024秋•广东期末）已知正数，满足，则的最小值为 　　． 40．（2023秋•清远期末）已知，是正实数，且，则的最小值为　　 A． B． C．12 D． 地 城 考点04 消元法求最值 41．（2023秋•深圳期末）已知，，若，则的最小值为 　　． 42．（2023秋•广东期末）关于的方程有两个相等的正根，则　　 A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 地 城 考点05 不等式法求最值 43．（2024春•阳江期末）已知正数，满足，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 44．（2014秋•广州期末）已知实数，满足，则的最大值为　　． 45．（2024秋•荔湾区校级期末）设，为实数，若，则的最大值是 　　 ． 地 城 考点06 二次与一次商式的最值 46．（2024秋•江门期末）若，则的最小值是 　　． 47．（2023秋•潮州期末）设，则函数的最小值为　　 A．6 B．7 C．11 D．12 48．（2025春•东莞市期末）已知，则的最小值为　　 A．1 B． C．2 D． 地 城 考点07 基本不等式求最值的综合 49．（多选）（2024秋•潮阳区期末）已知且，则　　 A． B． C． D． 50．（多选）（2024秋•东莞市期末）若，，且，则下列说法中正确的是　　 A．的最大值为6 B．的最小值为6 C．的最大值为9 D．的最小值为9 51．（多选）（2024秋•罗湖区期末）已知正数，满足，则下列说法正确的是　　 A． B． C． D． 52．（多选）（2025春•潮阳区校级期末）下列命题中的真命题有　　 A．当时，的最小值是3 B．的最小值是2 C．当时，的最大值是5 D．对正实数，，若，则的最大值为3 53．（多选）（2024秋•阳江期末）若，，且，则下列说法正确的有（　　） A．的最小值是8 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 54．（多选）（2024秋•广东期末）若正数，满足，则　　 A． B． C． D． 55．（多选）（2025春•龙岗区校级期末）已知正数、满足，则下列说法正确的是　　 A．的最小值是2 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最小值是2 56．（多选）（2024秋•潮州期末）设正实数，满足，则　　 A．的最大值为 B．的最小值为9 C．的最小值为 D．的最大值为 57．（多选）（2024秋•龙岗区校级期末）已知，都是正数，则　　 A．的最小值为2 B．若，则的最大值为2 C．的最大值为 D． 58．（多选）（2024秋•宝安区期末）已知，，且，则　　 A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为4 59．（多选）（2023秋•光明区校级期末）已知，，若，则　　 A．的最大值为 B．的最小值为1 C．的最小值为8 D．的最小值为 60．（多选）（2025春•越秀区期末）已知，，且，则　　 A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点02 基本不等式求最值 7大高频考点概览 考点01直接法求最值 考点02配凑法求最值 考点03常数代换法求最值 考点04消元法求最值 考点05不等式法求最值 考点06二次与一次商式的最值 考点07基本不等式求最值的综合 地 城 考点01 直接法求最值 1．（2024秋•罗湖区期末）已知函数，，则最小值为　　 A． B． C．2 D．5 【解答】解：当时，， 当且仅当，即时取等号． 故选：． 2．（2024秋•龙岗区校级期末）已知，则的最小值是　　 A． B． C． D． 【解答】解：因为，可得， 可得，且，， 则，当且仅当，即， 所以的最小值为． 故选：． 3．（2024秋•电白区期末）已知，则的最小值为 　　． 【解答】解：，则， 当且仅当，即，时取等号，所以所求最小值为20． 故答案为：20． 4．（2025春•南山区校级期末）若正实数，满足，则的最大值是　　 ． 【解答】解：因为正实数，满足， 则由基本不等式可得， 当且仅当取等号，所以的最大值是． 故答案为：． 5．（2024秋•普宁市期末）若正数，满足，则的最小值为　　 A．2 B．4 C．8 D．16 【解答】解：正数，满足， 则， 当且仅当时取等号， 所以当，时，取得最小值8． 故选：． 6．（2024秋•广东期末）若，都是正数，且，则的最小值为　　 A．4 B．6 C． D． 【解答】解：因为，又，都是正数，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立． 故选：． 地 城 考点02 配凑法求最值 7．（2025春•龙湖区校级期末）已知，的最小值为　　 A．3 B．4 C． D．5 【解答】解：，所以， 所以，当且仅当，即时取等号． 故选：． 8．（2018春•荔湾区校级期末）若，则的最小值是　　 A．2 B． C．3 D． 【解答】解：因为， 所以， 所以 当且仅当即时取“” 故选：． 9．（2025春•东莞市期末）已知，当 　　 时，代数式有最小值． 【解答】解：因为， 所以， 当且仅当即时等号成立， 当时，代数式有最小值． 故答案为：． 10．（2023秋•广东期末）已知，则的最小值为　　 ． 【解答】解：，， ， 当且仅当时，等号成立． 故的最小值为3． 故答案为：3． 11．（2024春•茂名期末）已知，则的最小值为　　 A．6 B．5 C．4 D．3 【解答】解：因为，则， 当且仅当，即时取等号． 故选：． 12．（2023秋•光明区期末）已知，则的最小值为　　 A． B．2 C． D． 【解答】解：当时， 则， ，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为． 故选：． 13．（2016春•广州校级期末）若，则的最小值是　　． 【解答】解：， ， 当且仅当即时取等号， 时取得最小值3， 故答案为：3． 14．（2024秋•电白区期末）当取得最小值时，　　 A．0 B．1 C． D． 【解答】解：将， 设，则，当且仅当时等号成立，即时取等号，此时． 当取得最小值时，． 故选：． 15．（2024秋•湛江期末）（1）已知，求的最大值； （2）若正数，满足，求的最小值． 【解答】解：（1）由于， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为1． （2）依题意，，，， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为4． 16．（2023秋•宝安区校级期末）已知，则的取值范围为　　 A．，，B．，，C．，， D．， 【解答】解：由题意得， 当时，，，当且仅当，即时取等号， 当时，，，当且仅当，即时取等号， 故或． 故选：． 地 城 考点03 常数代换法求最值 17．（2024秋•阳江期末）若，，且，则的最小值是　　 A．3 B．6 C．9 D．12 【解答】解：，，且， 当且仅当即，时，取等号． 故选：． 18．（2025春•潮阳区校级期末）已知，则的最小值为　　 A．5 B．6 C． D． 【解答】解：因为，，， ， 当时取等号． 故选：． 19．（2024秋•南山区期末）已知，，，则的最小值为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：，，，则， ，当且仅当时取等号． 故选：． 20．（2023秋•南山区校级期末）已知正数，满足，则的最小值为　　 A．6 B．8 C．16 D．20 【解答】解：因为正数，满足， 所以， 当且仅当，即，时取“”， 所以的最小值为8． 故选：． 21．（2024秋•肇庆期末）已知正实数，满足，则的最小值为　　 A．6 B．7 C．8 D．9 【解答】解：因为正实数，满足，可得， 可得， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为：8． 故选：． 22．（2024秋•广东期末）函数且的图象定点，若对任意正数，，都有，则的最小值为　　 A．4 B．2 C． D．1 【解答】解：由且， 令，则，即（1）， 即的图象恒过定点，则，， 由，可得，所以， 结合，，可得： ， 当且仅当，即时，等号成立． 故选：． 23．（2024秋•清远期末）已知实数，，且，则的最小值为　　 A．16 B．18 C．22 D．26 【解答】解：因为，，且， 所以， 则，当且仅当，即，时取等号． 故选：． 24．（2024秋•深圳期末）已知，，且，则的最小值为 　　． 【解答】解：，，且， 则，当且仅当，即，时取等号． 故答案为：． 25．（2024秋•光明区校级期末）已知正数，满足，则的最小值为　　 A．4 B．6 C．8 D．10 【解答】解：，都是正数，， ，当且仅当，即，时取等号． 故选：． 26．（2023秋•阳江期末）已知，，，则最小值为　　 A．5 B． C．4 D． 【解答】解：因为，，，所以， 当且仅当时取等号，取得最小值， 故选：． 27．（2024秋•深圳校级期末）已知正实数、满足，则最小值为　　 A． B．4 C． D．3 【解答】解：因为正实数、满足， 所以， 则， 当且仅当且即，时取等号， 故选：． 28．（2024秋•高州市期末）已知正数，满足，则的最小值为　　 A．9 B．8 C．7 D．10 【解答】解：因为正数，满足， 由， 所以， 当且仅当时，即，时取等号． 故选：． 29．（2024秋•深圳校级期末）已知，，且，则的最小值为　　 A．2 B．4 C．6 D．8 【解答】解：由于，， 故， 当且仅当即，时，等号成立，故的最小值为8． 故选：． 30．（2024秋•龙岗区校级期末）已知正数，满足，则的最小值是　　 A．8 B．6 C．4 D．2 【解答】解：因为正数，满足， 则， 当且仅当，即，时取等号． 故选：． 31．（2023秋•福田区校级期末）已知正实数，满足，则的最小值为　　 A．9 B．8 C．3 D． 【解答】解：正实数，满足， ， ， 当且仅当时取等号． 故选：． 32．（2023秋•阳江期末）若，且，则的最小值是　　 A． B． C．2 D． 【解答】解：因为，且，所以， 所以， 当且仅当，即，即，时取等号， 所以的最小值为． 故选：． 33．（2023秋•阳江期末）已知，，，则的最小值为　　 A． B．1 C．0 D． 【解答】解：因为，，，则， 所以， 当且仅当，即，即，时取等号． 即的最小值为1． 故选：． 34．（2023秋•梅县区校级期末）已知函数恒过定点，，且满足，其中，是正实数，则的最小值是　　 A．16 B．6 C． D． 【解答】解：令，得，此时，，为，． ， 当且仅当，即时，等号成立． 故选：． 35．（2023秋•肇庆期末）已知，，，则的最小值为　　 A．15 B．16 C．17 D．18 【解答】解：因为，，， 又， 则， 当且仅当且，即， 时取等号． 故选：． 36．（2025春•东莞市期末）已知，，且，则的最小值是　　 A．6 B．12 C． D．27 【解答】解：由，，，得， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是． 故选：． 37．（2024秋•广东校级期末）已知函数，正实数，满足，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：因为数， 所以 ， 所以关于对称， 正实数，满足， 则，即， 则， 当且仅当，即，时取等号． 故选：． 38．（2024秋•佛山期末）若正数，满足，则的最小值为 　　． 【解答】解：因为正数，满足， 所以， 所以， 当且仅当，且，即时，等号成立． 故答案为：25． 39．（2024秋•广东期末）已知正数，满足，则的最小值为 　　． 【解答】解：因为，，， 所以， 当且仅当，即时取等号，取得最小值． 故答案为：． 40．（2023秋•清远期末）已知，是正实数，且，则的最小值为　　 A． B． C．12 D． 【解答】解：因为，是正实数，且， 所以， 当且仅当时，等号成立． 故选：． 地 城 考点04 消元法求最值 41．（2023秋•深圳期末）已知，，若，则的最小值为 　　． 【解答】解：， 则，即， 故，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为3． 故答案为：3． 42．（2023秋•广东期末）关于的方程有两个相等的正根，则　　 A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 【解答】解：因为关于的方程有两个相等的正根， 所以， 故，， 则， 当且仅当时取等号， 所以有最大值． 故选：． 地 城 考点05 不等式法求最值 43．（2024春•阳江期末）已知正数，满足，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 【解答】解：因为， 所以，， 故的取值范围是，． 故选：． 44．（2014秋•广州期末）已知实数，满足，则的最大值为　　． 【解答】解：， ， 化为， ， 的最大值为2． 故答案为：2． 45．（2024秋•荔湾区校级期末）设，为实数，若，则的最大值是 　　 ． 【解答】解：， ，当且仅当时，即时等号成立， 可得， 故的最大值为． 故答案为：． 地 城 考点06 二次与一次商式的最值 46．（2024秋•江门期末）若，则的最小值是 　　． 【解答】解：因为，则，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 故答案为：． 47．（2023秋•潮州期末）设，则函数的最小值为　　 A．6 B．7 C．11 D．12 【解答】解：，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为11． 故选：． 48．（2025春•东莞市期末）已知，则的最小值为　　 A．1 B． C．2 D． 【解答】解：， 令，则， 设，， 由对勾函数的性质可知，函数在，上单调递增， 所以当时，取得最小值， 所以的最小值为． 故选：． 地 城 考点07 基本不等式求最值的综合 49．（多选）（2024秋•潮阳区期末）已知且，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：对于，因为且，可知，，所以， 即，故正确； 对于，， 当且仅当时，即取等号，故错误； 对于，，故正确； 对于，， 当且仅当时，即，取等号，故正确． 故选：． 50．（多选）（2024秋•东莞市期末）若，，且，则下列说法中正确的是　　 A．的最大值为6 B．的最小值为6 C．的最大值为9 D．的最小值为9 【解答】解：由题意，，，且， 根据基本不等式，得， 当且仅当时等号成立， 则有， 整理得， 由于，所以， 即，所以， 因此，的最小值为9，的最小值为6． 故选：． 51．（多选）（2024秋•罗湖区期末）已知正数，满足，则下列说法正确的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：因为正数，满足， 所以，当且仅当时取等号，正确； ，当且仅当，即，时取等号，正确； ，， 根据二次函数的性质可得，当时，，正确； ，当且仅当，即时取等号，错误． 故选：． 52．（多选）（2025春•潮阳区校级期末）下列命题中的真命题有　　 A．当时，的最小值是3 B．的最小值是2 C．当时，的最大值是5 D．对正实数，，若，则的最大值为3 【解答】解：时，，当且仅当，即时取等号，正确； 令，则， 在，上单调递增， 故时，上式取得最小，错误； 当时，，当且仅当，即时取等号，正确； 正实数，满足，即， 则，当且仅当时取等号，错误． 故选：． 53．（多选）（2024秋•阳江期末）若，，且，则下列说法正确的有（　　） A．的最小值是8 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 【解答】解：，，且， 对：因为，即，当且仅当，即，时取“”，故项正确； 对：因为，当且仅当，即时取“”，故项错误； 对：因为， 所以，当且仅当时取“”，故项正确； 对：由可得，， 所以，由知：成立，故项正确． 故选：． 54．（多选）（2024秋•广东期末）若正数，满足，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：正数，满足， 则， 当且仅当，取“”， 选项正确； ，， ， 同理， ，， 当且仅当时，取“”； 选项正确； ， ， 又，，， ， ， ，选项正确； ，， ，当且仅当，取“”， 选项错误． 故选：． 55．（多选）（2025春•龙岗区校级期末）已知正数、满足，则下列说法正确的是　　 A．的最小值是2 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最小值是2 【解答】解：正数、满足， 对于选项，，即， 当且仅当，即当时，等号成立，错误； 对于选项，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值是，对； 对于选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 即的最小值是，对； 对于选项，，当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值是2，对． 故选：． 56．（多选）（2024秋•潮州期末）设正实数，满足，则　　 A．的最大值为 B．的最小值为9 C．的最小值为 D．的最大值为 【解答】解：因为正实数，满足， 所以，当且仅当时取等号， 所以，错误； ，当且仅当，即，时取等号，正确； 因为，， 根据二次函数的性质可知，当时，上式取得最小值，正确； ，当且仅当时取等号，正确． 故选：． 57．（多选）（2024秋•龙岗区校级期末）已知，都是正数，则　　 A．的最小值为2 B．若，则的最大值为2 C．的最大值为 D． 【解答】解：对于选项，因为，令，则， 因为在上单调递增，则，无最小值，错； 对于选项，因为、都是正数且， 由基本不等式可得，整理可得， 当且仅当时，即当，时，等号成立，即的最大值为2，对； 对于选项，因为、都是正数，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 即的最大值为，对； 对于选项，当时，，此时，，错． 故选：． 58．（多选）（2024秋•宝安区期末）已知，，且，则　　 A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为4 【解答】解：选项：由，可得， 令，则， 根据二次函数性质可得，当时，取得最大值，正确； 选项：由，可得，根据二次函数性质知，当时，取得最小值，错误； 选项：由，可得，其中， 利用基本不等式，当且仅当时取等号， 因此，所以的最小值是，正确； 选项：由，可得， 利用基本不等式，，因此，当时，等号成立，正确． 故选：． 59．（多选）（2023秋•光明区校级期末）已知，，若，则　　 A．的最大值为 B．的最小值为1 C．的最小值为8 D．的最小值为 【解答】解：对于选项，由，即， 当且仅当，且，即时，取等号，所以正确； 对于选项，因为， 当且仅当时，取到最小值，所以错误； 对于选项，因为，，所以， 当且仅当，且，即，时，取等号，所以正确； 对于选项，当且仅当，且， 即时，取等号，所以正确． 故选：． 60．（多选）（2025春•越秀区期末）已知，，且，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：对于选项：因为，，，则， 即，当且仅当时等号成立，所以选项正确； 对于选项：因为，，则， 当且仅当时等号成立，所以选项正确； 对于选项：当且时，，所以选项错误； 对于选项：， 当且仅当，即时等号成立，所以选项正确． 故选：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $