第2章 微专题2 对称问题-【名师导航】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦“直线和圆的方程”中的对称问题，系统涵盖中心对称、轴对称、光的反射及最值应用等类型。以直线方程、中点坐标公式为基础，通过“定义推导—例题解析—综合应用”的学习支架，从点关于点对称的公式推导，逐步扩展到直线对称及实际问题，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于以数学思维为核心，通过方程组推导对称关系（如点关于直线对称的垂直与中点条件），结合光的反射、距离最值等情境，用数学眼光抽象现实问题。例题分层设计（如例4距离和最小问题），强化知识应用。学生能提升几何直观与推理能力，教师可直接使用配套例题和练习，提高教学效率。

微专题2　对称问题 第二章 直线和圆的方程 类型1　几类常见的对称问题 考向1　中心对称问题 1．点关于点对称 点P(x0，y0)关于点A(m，n)的对称点P′(x′，y′)可利用中点坐标公式求得， 由得 微专题强化练 微专题2　对称问题 2．直线关于点对称 直线Ax＋By＋C＝0关于点P(x0，y0)的对称直线的方程的求法：求出直线上的两个特殊点M，N关于点P的对称点M′，N′的坐标，则直线M′N′的方程即为所求的直线方程． 微专题强化练 微专题2　对称问题 【例1】　(1)直线2x＋3y－6＝0关于点(1，1)对称的直线方程为 (　　) A．3x－2y＋2＝0 B．2x＋3y＋7＝0 C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y－4＝0 (2)点P(1，2)在直线l上，直线l1与l关于点(0，1)对称，则一定在直线l1上的点为(　　) A． C．(－1，0) D．(1，0) √ √ 微专题强化练 微专题2　对称问题 (1)D　(2)C　[(1)在所求直线上取点(x，y)，则关于点(1，1)对称的点的坐标为(2－x，2－y)， 代入直线2x＋3y－6＝0，可得2(2－x)＋3(2－y)－6＝0，整理得2x＋3y－4＝0． 故选D． (2)设P(1，2)关于(0，1)对称的点为(x，y)，该点必在l1上， ∴解得即(－1，0)一定在直线l1上． 故选C．] 考向2　轴对称问题 1．点关于直线对称 设点P(x0，y0)关于直线Ax＋By＋C＝0的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在已知直线上且直线PP′与已知直线垂直． 即解此方程组可得x′，y′，即得点 P′的坐标． 微专题强化练 微专题2　对称问题 2．直线关于直线对称 (1)若已知直线l1与已知对称轴相交，则交点必在与直线l1对称的直线l2上，求出直线l1上其他任意一点关于对称轴对称的点，由两点式写出直线l2的方程． (2)若已知直线l1与已知对称轴平行，则直线l1关于对称轴对称的直线l2与直线l1平行，可以利用直线l1与对称轴间的距离等于直线l2与对称轴间的距离求解． 微专题强化练 微专题2　对称问题 【例2】　已知直线l：y＝3x＋3，求： (1)点P(4，5)关于l的对称点的坐标； (2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程． [解]　(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在直线l上，且直线PP′垂直于直线l， 即解得 所以点P′的坐标为(－2，7)． 微专题强化练 微专题2　对称问题 (2)解方程组得 则点在所求直线上． 在直线y＝x－2上任取一点M(2，0)， 设点M关于直线l的对称点为M′(x0，y0)， 则解得 点M′也在所求直线上， 由两点式得直线方程为＝，化简得7x＋y＋22＝0， 即7x＋y＋22＝0为所求直线方程． 类型2　光的反射问题 根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的．利用点的对称关系可以求解． 微专题强化练 微专题2　对称问题 【例3】　已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　　) A．2 B．6 C．3 D．2 √ 微专题强化练 微专题2　对称问题 A　[如图所示，分别作出点P关于直线AB的对称点P′，点P关于y轴的对称点P″， 则点P′，Q，M，P″在同一条直线上，线段P′P″的长度即为所求， 易知P″(－2，0)，直线AB方程为x＋y＝4， 设点P′(a，b)， 则 解得a＝4，b＝2．∴点P′(4，2)． ∴光线所经过的路程是|P′P″|＝＝2．故选A．] 类型3　利用对称解决有关最值问题 由平面几何知识(三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A′，得直线A′B的方程，再求其与直线l的交点即可．对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解． 微专题强化练 微专题2　对称问题 【例4】　在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q，使其满足以下条件． (1)P到A(4，1)与B(0，4)的距离之差最大； (2)Q到A(4，1)与C(3，0)的距离之和最小． 微专题强化练 微专题2　对称问题 [解]　(1)如图，设点B关于l的对称点B′的坐标为(a，b)，连接BB′，则kBB′·kl＝－1，即×1＝－1， 所以a＋b－4＝0，① 因为BB′的中点在直线l上， 所以－1＝0，即a－b－6＝0．② 由①②得a＝5，b＝－1， 所以点B′的坐标为(5，－1)． 于是AB′所在直线的方程为＝，即2x＋y－9＝0． 易知||PB|－|PA||＝||PB′|－|PA||，当且仅当P，B′，A三点共线时，||PB′|－|PA||最大． 所以联立解得x＝，y＝， 即l与AB′的交点坐标为． 故点P的坐标为． (2)如图，设点C关于l的对称点为C′，可求得C′的坐标为(1，2)，所以AC′所在直线的方程为x＋3y－7＝0． 易知|QA|＋|QC|＝|QA|＋|QC′|，当且仅当Q，A，C′三点共线时， |QA|＋|QC′|最小． 所以联立解得 即AC′与l的交点坐标为． 故点Q的坐标为． 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 一、选择题 1．直线x＋2y＋4＝0关于y轴对称的直线方程是(　　) A．x＋2y－4＝0 B．x－2y＋4＝0 C．x－2y－4＝0 D．4x＋2y－1＝0 微专题强化练(二)　对称问题 √ 19 C　[设P(x，y)是所求直线上任意一点， 则P关于y轴对称的点为P′(－x，y)，且在直线x＋2y＋4＝0上， 代入可得－x＋2y＋4＝0，即x－2y－4＝0． 故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 2．若直线l1：y＝kx－k＋1与直线l2关于直线l：x－y＋1＝0对称，则直线l2一定过定点(　　) A．(2，0) B．(0，－2) C．(0，2) D．(－2，0) √ 微专题强化练 微专题2　对称问题 21 C　[易知直线l1：y＝kx－k＋1恒过点(1，1)， 所以可得直线l2一定过(1，1)关于直线l：x－y＋1＝0的对称点， 设对称点坐标为(a，b)，可得 解得 即直线l2一定过定点(0，2)．故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 22 3．已知从点(3，3)发出的一束光线，经过直线2x－y＋2＝0反射，反射光线恰好过点(4，0)，则反射光线所在的直线方程为(　　) A．3x＋y－12＝0 B．3x＋7y－12＝0 C．x＋y－4＝0 D．x＝4 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 √ 微专题强化练 微专题2　对称问题 23 C　[如图，设点A(3，3)关于直线2x－y＋2＝0的对称点为A′(a，b)， 则有 解得即A′(－1，5)， 依题意，反射光线即直线A′B，因为B(4，0)， 则直线A′B的斜率为kA′B＝－1， 于是反射光线所在的直线方程为y＝－(x－4)，即x＋y－4＝0．故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 24 √ 4．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得f (x)＝的最小值为(　　) A．2 B．5 C．4 D．8 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 微专题强化练 微专题2　对称问题 25 B　[∵f (x)＝ ＝， ∴f (x)的几何意义为点M(x，0)到两定点A(－2，4)与B(－1，3)的距离之和． 设点A(－2，4)关于x轴的对称点为A′， 则A′(－2，－4)．要求f (x)的最小值，可转化为求|MA|＋|MB|的最小值， 利用对称思想可知|MA|＋|MB|≥|A′B|＝＝5， 即f (x)＝的最小值为5． 故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 26 √ 5．点P在直线l：x－y－1＝0上运动，A(2，3)，B(2，0)，则|PA|－|PB|的最大值是(　　) A． C．3 D．4 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 微专题强化练 微专题2　对称问题 27 A　[设点B关于l：x－y－1＝0的对称点为C(m，n)， 则 解得即C(1，1)， 故|AC|＝＝， |PA|－|PB|＝|PA|－|PC|≤|AC|＝， 当且仅当P，A，C三点共线时，等号成立． 故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 28 二、填空题 6．点P(0，－1)关于直线x－y＋1＝0对称的点Q的坐标为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 (－2，1)　[设点P(0，－1)关于直线x－y＋1＝0对称的点Q的坐标为(a，b)， 则解得a＝－2，b＝1， 即Q(－2，1)．] (－2，1) 微专题强化练 微专题2　对称问题 29 7．一束光线从点P(6，0)射出，经y轴反射后过点Q(2，8)，则反射光线所在的直线方程为_________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 x－y＋6＝0　[因为一束光线从点P(6，0)射出，经直线y轴反射后过点Q(2，8)， 又P(6，0)关于y轴的对称点为(－6，0)，故反射光线的斜率为＝1． 故反射光线所在的直线方程为x－y＋6＝0．] x－y＋6＝0 微专题强化练 微专题2　对称问题 30 8．诗人李颀的诗《古从军行》中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为B(－1，0)，若将军从山脚下的点A(1，0)处出发，河岸线所在直线方程为x＋2y＝4，则“将军饮马”的最短总路程为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 4 微专题强化练 微专题2　对称问题 31 4　[如图，设点A(1，0)关于直线x＋2y＝4对称的点为A′(a，b)， 则解得 则“将军饮马”的最短总路程为 |A′B|＝＝4．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 32 三、解答题 9．已知光线经过已知直线l1：3x－y＋7＝0和l2：2x＋y＋3＝0的交点M，且射到x轴上一点N(1，0)后被x轴反射． (1)求与l1距离为的直线方程； (2)求反射光线所在的直线方程． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 微专题强化练 微专题2　对称问题 33 [解]　(1)由题可设所求直线方程为3x－y＋m＝0， 根据平行直线间的距离公式得 ＝，解得m＝－3或17， 所以与l1距离为的直线方程为3x－y－3＝0或3x－y＋17＝0． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 34 (2)由可得 即M(－2，1)，又N(1，0)， 所以kMN＝＝－，所以反射光线所在的直线l3的斜率为， 故反射光线所在的直线l3的方程为y＝(x－1)，即x－3y－1＝0． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 35 $$