第5章 章末重构拓展-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

类型1　三角函数的化简与求值 1．对于三角函数的化简与求值问题，要抓住三角函数的同角基本关系及和、差、倍、半角等公式及其变形．特别地，公式cos2α＝，sin2α＝降幂． 2．诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限． 3．掌握三角函数中公式的正用、逆用及变形用，提升逻辑推理和数学运算素养． 【例1】　【链接教材P255复习参考题5T18】 已知tan ＝3． (1)求tan α的值； (2)求2sin2(5π－α)－3cossin＋1的值． [解]　(1)∵tan ＝3， ∴tan α＝． (2)由(1)知tan α＝， ∴cos 2α＝， sin 2α＝． 又∵2sin2(5π－α)＝2sin2α＝1－cos2α， cos ＝－sin α，sin ＝－cos α， ∴2sin2(5π－α)－3cossin ＋1 ＝1－cos 2α－3sin αcos α＋1＝2－cos 2α－sin 2α ＝2－． 【教材原题·P255复习参考题5T18】　已知cos ＜x＜，求的值． [解]　法一：根据已知角化简． ＝ ＝． 因为cos π＜x＜π， 所以sin ， 所以2sin x cos x＝． 所以， 所以． 法二：直接展开求sin x±cos x，sin x cos x． cos (cos x－sin x)＝， 得cos x－sin x＝， 平方得2sin x cos x＝， (cos x＋sin x)2＝1＋， 因为＜x＜， 所以cos x＋sin x＜0，cos x＋sin x＝－， 所以原式＝2sin x cos x·． 法三：[最优解]逆用两角和的正切公式和二倍角公式． 因为cos ＜x＜，所以，即tan ． 原式＝2sin x cos x·＝sin 2x·＝sin 2x tan ， sin 2x＝－cos ＝1－2cos2，所以原式＝－． 法四：整体法求cos x． 因为cos ＜x＜， 所以sin ， cos x＝cos ＝cos cos ＋sin sin ＝－， 又因为＜x＜， 所以sin x＝－，tan x＝7， 所以原式＝－． 【点评】　法一：将所求式子化简成已知角的三角函数形式，整体代换求出； 法二：直接根据两角和的余弦公式展开以及平方关系求sin x±cos x，sin x cos x，化切为弦求出； 法三：逆用两角和的正切公式和二倍角公式求解最为简洁，是该题的最优解； 法四：利用整体思想以及同角三角函数基本关系求出sin x，cos x，tan x，是该题的通性通法． 【教用·备选题】　(1)化简：＝________． (2)已知sin sin ，α∈，则的值为__________． (1)tan　(2)－　[(1)原式 ＝ ＝ ＝ ＝tan ． (2)∵， ∴sin ＝cos ． ∴sin sin ＝sin cos ＝sin ， ∴sin ， 即cos 2α＝． 又α∈， ∴2α∈(π，2π)， ∴sin 2α＝－． ∴cos2α＝．] 类型2　三角函数的图象与性质 1．三角函数的性质包括定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等．研究y＝A sin (ωx＋φ)的性质时，常将“ωx＋φ”视为一个整体求解． 2．函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象 (1)“五点法”作图；(2)图象伸缩、平移变换． 3．掌握三角函数的图象和性质，培养直观想象和数学运算素养． 　三角函数的图象及图象变换 【例2】　【链接教材P254复习参考题5T9】 (1)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝则下列结论正确的是(　　) A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 (2)已知f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f (x)＝________． (1)D　(2)3sin 　[(1)因为y＝sin ＝＝，所以曲线C1：y＝cos x上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线y＝cos 2x，再把得到的曲线y＝cos 2x向左平移个单位长度，得到曲线y＝＝cos ．故选D． (2)由题图可得A＝3，， 解得T＝π． 又T＝，解得ω＝3． 因为f (x)的图象经过， 所以3＝3sin ＋2kπ(k∈Z)， 又，解得φ＝－． 故f (x)＝3sin ．] 【教材原题·P254复习参考题5T9】(1)用描点法画出函数y＝sin x，x∈的图象． (2)如何根据第(1)小题并运用正弦函数的性质，得到函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象？ (3)如何根据第(2)小题并通过平行移动坐标轴，得到函数y＝sin (x＋φ)＋k，x∈[0，2π](φ，k都是常数)的图象？ [解]　(1)取点列表如下： x 0 sin x 0 0.17 0.34 0.50 0.64 0.77 0.87 0.94 0.98 1 描点作图如下： (2)由sin (π－x)＝sin x，可知y＝sin x，x∈[0，π]的图象关于直线x＝对称，据此可得出函数y＝sin x，x∈的图象；又由sin (2π－x)＝－sin x，可知函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象关于点(π，0)对称，据此可得出函数y＝sin x，x∈[π，2π]的图象． (3)把y轴向右(当φ＞0时)或向左(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度，再把x轴向下(当k＞0时)或向上(当k＜0时)平移|k|个单位长度，最后将图象向左或向右平行移动2π个单位长度，并擦去[0，2π]之外的部分，就可得出函数y＝sin (x＋φ)＋k，x∈[0，2π]的图象． 　三角函数的性质 【例3】　已知函数f (x)＝sin (π＋x)cos －sin2． (1)求函数f (x)的最小正周期及函数f (x)图象的对称轴； (2)若函数f (x)在[－a，a]上不单调，求a的取值范围； (3)若∀x1，x2∈≤m恒成立，求实数m的取值范围． [解]　(1)f (x)＝sin (π＋x)cos (π－x)－ ＝sin x cos x－cos2x＋ ＝sin 2x－cos 2x＝sin ， 所以函数f (x)的最小正周期T＝＝π． 令2x－＋kπ，k∈Z，解得x＝，k∈Z， 即函数f (x)图象的对称轴为直线x＝，k∈Z． (2)当x∈[－a，a]时， 2x－∈， 由a＞0，可得－2a－＜－＞－， 因为函数f (x)在[－a，a]上不单调， 所以－2a－＜－或2a－＞，解得a＞， 即a的取值范围是． (3)若∀x1，x2∈≤m恒成立， 则m≥f (x)max－f (x)min， 当x∈时，2x－∈， 所以f (x)∈， 所以m≥1－， 即m的取值范围是． 类型3　三角函数模型的应用 1．在几何图形中，引入参数角，用其来表示边等量，这样就会把一些几何的最值问题转化为三角函数的最值问题． 2．通过建立三角函数模型，提升数学建模素养． 【例4】　【链接教材P256复习参考题5T25】 (源自北师大版教材)如图，四边形ABCD是一块边长为100 cm的正方形铁皮，其中扇形AMPN的半径为90 cm，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用，P是上一点，∠PAB＝θ，工人师傅想在未被腐蚀部分截下一块边在BC与CD上的矩形铁皮，求矩形铁皮PQCR面积的最大值和这时θ的值． [解]　作PH垂直AB于点H， 则AH＝AP cos θ＝90cos θ，PH＝AP sin θ＝90sin θ， 所以PQ＝100－90cos θ，RP＝100－90sin θ， 所以矩形铁皮PQCR面积S＝(100－90sin θ)·(100－90cos θ)＝10 000－9 000(sin θ＋cos θ)＋8 100sin θcos θ， 令t＝sin θ＋cos θ＝sin ， 则sin θcos θ＝， 因为θ∈，所以θ＋∈， 所以t∈[1，]， 所以S＝10 000－9 000t＋4 050(t2－1)＝4 050t2－9 000t＋5 950， 由二次函数性质可知，函数S(t)的图象开口向上，对称轴为直线t＝， 所以当t＝，即θ＝时，Smax＝14 050－9 000． 答：当θ＝时，矩形铁皮面积最大，最大值为． 【教材原题·P256复习参考题5T25】　如图，已知直线l1∥l2，A是l1，l2之间的一定点，并且点A到l1，l2的距离分别为h1，h2．B是直线l2上一动点，作AC⊥AB，且使AC与直线l1交于点C．设∠ABD＝α． (1)写出△ABC面积S关于角α的函数解析式S(α)； (2)画出上述函数的图象； (3)由(2)中的图象求S(α)的最小值． [解]　(1)∵AE⊥l1，AD⊥l2，AC⊥AB， ∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∠CAE＋∠BAD＝90°， ∴∠CAE＝∠ABD＝α， ∴AB＝， ∴S(α)＝AB·AC ＝ ＝． (2)画出函数的图象，如图所示． (3)由(2)中图象可知：当α＝， 即2α＝时，S(α)取最小值， S(α)的最小值为S＝h1h2． 【教用·备选题】　某旅游区有一个人工湖，如图所示，它的边界是由圆O的半个圆弧(P为此圆弧的中点)和直径MN构成．已知圆O的半径为1千米．为增加旅游收入，现在该人工湖上规划建造两个观景区：其中荷花池观景区的形状为矩形ABCD；喷泉观景区的形状为△CDP．要求端点A，B均在直径MN上，端点C，D均在圆弧上．设OC与直径MN所成的角为θ． (1)试用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积； (2)若在矩形ABCD两侧线段AD，BC的位置架起两座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元(包含桥的宽度费用)，建造喷泉观景区费用为每平方千米16万元，建造荷花池的总费用为5万元．问：θ为多少时，建造该观景区总费用最低？求出其最低费用．(≈1.41，结果保留整数) [解]　(1)由题意，∠COB＝θ， 易得OB＝cos θ，BC＝sin θ． 所以矩形ABCD的面积为S＝2cos θsin θ， S△CDP＝×2cos θ(1－sin θ)＝cos θ－sin θcos θ． (2)设建造观景区所需总费用为F(θ)， 由题意，F(θ)＝16(cos θ－sin θcos θ)＋8×2sin θ＋5，θ∈， 即F(θ)＝16(sin θ＋cos θ－sin θcos θ)＋5，θ∈， 令f (θ)＝sin θ＋cos θ－sin θcos θ，θ∈， 设sin θ＋cos θ＝t， 则2sin θcos θ＝t2－1， 由t＝sin θ＋cos θ＝sin ∈(1，]， 从而y＝－(t－1)2＋1． 当t＝，即θ＝时，y有最小值，即ymin＝－． 所以F(θ)的最小值为16＋5＝16－3≈20(万元)． 故当θ＝时，建造该观景区总费用最低，且最低费用约为20万元． 章末综合测评(五)　三角函数 (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．－1 000°的终边在(　　) A．第一象限 　 B．第二象限 C．第三象限 　 D．第四象限 A　[－1 000°的终边与－1 000°＋360°×3＝80°相同，则终边在第一象限．故选A．] 2．扇形的圆心角为0.5弧度，周长为15，则它的面积为(　　) A．5 　 B．6 C．8 　 D．9 D　[设半径为r，则周长15＝2r＋0.5r，则r＝6，扇形面积为×0.5r2＝×0.5×36＝9，故选D．] 3．若cos ，且α∈，则sin (π－2α)＝(　　) A． 　 B． C．－ 　 D．－ D　[∵cos ＝－sin α＝－，∴sin α＝，又α∈，∴cos α＝－＝－，则sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝－．故选D．] 4．要得到函数y＝sin 的图象，只要把函数y＝sin 3x的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 D　[由题意知：y＝sin ＝sin ，所以只需把y＝sin 3x的图象向右平移个单位长度就可以得到y＝sin 的图象，故选D．] 5．已知tan α，tan β为方程x2＋6x－2＝0的两个实数根，则＝(　　) A．－ 　 B． C． 　 D． C　[因为tan α，tan β是方程x2＋6x－2＝0的两根， 由根与系数的关系知，tan α＋tan β＝－6，tan αtan β＝－2， 所以． 故选C．] 6．(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin 的交点个数为(　　) A．3 　 B．4 C．6 　 D．8 C　[因为函数y＝sin x的最小正周期为T＝2π， 函数y＝2sin 的最小正周期为T＝， 所以在x∈[0，2π]上，函数y＝2sin 有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点．故选C．] 7．tan 200°＋tan 40°＋tan (－160°)tan 40°＝(　　) A． 　 B．－ C．1 　 D．－1 A　[tan 200°＝tan (180°＋20°)＝tan 20°， tan (－160°)＝tan (－180°＋20°)＝tan 20°， tan 60°＝tan (20°＋40°)＝＝， 所以tan 20°＋tan 40°＝－tan 20°·tan 40°， 所以tan 200°＋tan 40°＋tan (－160°)tan 40° ＝tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40° ＝－tan 20°·tan 40°＋tan 20°·tan 40°＝．故选A．] 8．已知函数f (x)＝sin (ω＞0)的最小正周期为π．则函数在的最小值是(　　) A．－ 　 B．－ C．0 　 D． A　[ f (x)＝sin ＝sin (3ωx＋π)＝－sin 3ωx，由T＝＝π，得ω＝， 即f (x)＝－sin 2x，当x∈时，2x∈， sin 2x∈，所以，当x＝时，f (x)min＝．故选A．] 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是(　　) A．角θ终边在第二象限或第四象限的充要条件是tan θ<0 B．圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角是 C．经过4小时时针转了120° D．若角α与角β终边关于y轴对称，则α＋β＝＋2kπ，k∈Z AB　[设角θ终边上点的坐标为(x，y)，则tan θ＝，若角θ终边在第二象限或第四象限，则tan θ<0，若tan θ<0，则角θ终边在第二象限或第四象限，所以角θ终边在第二象限或第四象限的充要条件为tan θ<0，故A正确； 圆的一条弦等于半径，则圆心角为60°，即，故B正确； 经过4小时时针旋转了－×360°＝－120°，故C错误； 若角α和角β的终边关于y轴对称，则α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，故D错误．故选AB．] 10．对于函数f (x)＝sin 2x和g(x)＝sin ，下列说法中正确的有(　　) A．f (x)与g(x)有相同的零点 B．f (x)与g(x)有相同的最大值 C．f (x)与g(x)有相同的最小正周期 D．f (x)与g(x)的图象有相同的对称轴 BC　[A选项，令f (x)＝sin 2x＝0，解得x＝，k∈Z，即为f (x)的零点， 令g(x)＝sin ＝0，解得x＝，k∈Z，即为g(x)的零点， 显然f (x)，g(x)的零点不同，A选项错误； B选项，显然f (x)max＝g(x)max＝1，B选项正确； C选项，根据周期公式，f (x)，g(x)的最小正周期均为＝π，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质，f (x)的图象的对称轴满足2x＝kπ＋，k∈Z，即x＝，k∈Z， g(x)的图象的对称轴满足2x－＝kπ＋，k∈Z，即x＝，k∈Z， 显然f (x)，g(x)图象的对称轴不同，D选项错误． 故选BC．] 11．质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的⊙O上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为2 rad/s，起点为⊙O与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为5 rad/s，起点为射线y＝－x(x≥0)与⊙O的交点．则当Q与P重合时，Q的坐标可以为(　　) A． B． C． D． ABD　[由题意，点Q的初始位置Q1的坐标为，设点P的初始位置为P1，则∠Q1OP1＝， 设t时刻两点重合， 则5t－2t＝＋2kπ，k∈N， 即t＝π，k∈N， 此时点Q， 即Q，k∈N， 当k＝0时，Q，故A正确； 当k＝1时，Q， 即Q，故B正确； 当k＝2时，Q， 即Q，故D正确． 故选ABD．] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知cos (45°＋α)＝，则cos (135°－α)＝________． －　[cos (135°－α)＝cos [180°－(45°＋α)] ＝－cos (45°＋α)＝－．] 13．已知函数f (x)＝sin (ω>0)在上单调递增，则ω的取值范围是________． 　[令－＋2kπ≤ωx＋＋2kπ，k∈Z， 解得－，k∈Z， 所以f (x)的单调递增区间为，k∈Z， 因为f (x)在上单调递增， 所以 解得ω≤， 所以0<ω≤．] 14．(2022·浙江高考)若3sin α－sin β＝，α＋β＝，则sin α＝________，cos 2β＝________． 　[因为α＋β＝，所以β＝－α，所以3sin α－sin β＝3sin α－sin ＝， 所以3sin α－cos α＝，又sin2α＋cos2α＝1， 则2β＝2cos2β－1＝2sin2α－1＝．] 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)已知函数f (x)＝A sin(ωx＋φ)＋B(A＞0，x∈R，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示． (1)求函数f (x)的解析式； (2)若g(x)＝f ，求函数g(x)在区间上的值域． [解]　(1)根据题意知A＋B＝3，B－A＝－1，∴A＝2，B＝1，，∴T＝π，∴＝π，∴ω＝2，∴f (x)＝2sin (2x＋φ)＋1， 将点代入得到2sin ＋1＝－1， 又|φ|＜π，∴φ＝－， ∴f (x)＝2sin ＋1． (2)∵g(x)＝f ＝2sin 2x＋1＋2sin ＋1＝sin 2x－cos 2x＋2＝ ∵x∈∈， ∴g(x)＝2sin ＋2∈[2－，4]． 即函数g(x)在区间上的值域为[2－，4]． 16．(本小题满分15分)(2023·北京高考)设函数f (x)＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ． (1)若f (0)＝－，求φ的值； (2)已知f (x)在区间上单调递增，＝1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数f (x)存在，求ω，φ的值． 条件①：f ＝； 条件②：f ＝－1； 条件③：f (x)在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． [解]　(1)因为f (x)＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ， 所以f (0)＝sin (ω·0)cos φ＋cos (ω·0)sin φ ＝sin φ＝－， 因为，所以φ＝－． (2)因为f (x)＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ，ω>0， ， 所以f (x)＝sin (ωx＋φ)，ω>0，， 所以f (x)的最大值为1，最小值为－1． 若选条件①：因为f (x)＝sin (ωx＋φ)的最大值为1，最小值为－1， 所以f ＝无解，故条件①不能使函数f (x)存在． 若选条件②：因为f (x)在区间上单调递增， 且f ＝－1． 所以＝π， 所以T＝2π，ω＝＝1， 所以f (x)＝sin (x＋φ)， 又因为f ＝－1， 所以sin ＝－1， 所以－＋2kπ，k∈Z ， 所以φ＝－＋2kπ，k∈Z， 因为，所以φ＝－． 所以ω＝1，φ＝－． 若选条件③：因为f (x)在上单调递增，在上单调递减， 所以f (x)在x＝－处取得最小值－1， 即f ＝－1． 因为f (x)在区间上单调递增， 且f ＝－1． 所以＝π， 所以T＝2π，ω＝＝1， 所以f (x)＝sin (x＋φ)， 又因为f ＝－1， 所以sin ＝－1， 所以－＋2kπ，k∈Z， 所以φ＝－＋2kπ，k∈Z． 因为，所以φ＝－． 所以ω＝1，φ＝－． 17．(本小题满分15分)如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，角α和角β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，点A的横坐标为，点C与点B关于x轴对称． (1)求的值； (2)若cos ∠AOC＝－，求cos β的值． [解]　(1)因为点A的横坐标为＝1，点A在第一象限，所以点A的纵坐标为， 所以cos α＝，sin α＝． 所以＝为cos ∠AOC＝－，由题图可知，sin ∠AOC＝＝＝． 而－β＝α－∠AOC， 故β＝∠AOC－α， 所以cos β＝cos (∠AOC－α) ＝cos ∠AOC cos α＋sin ∠AOC sin α ＝． 18．(本小题满分17分)已知下列是两个等式： ①sin 60°·sin 30°＝sin245°－sin215°； ②sin5·sin 1＝sin23－sin22； (1)请写出一个更具有一般性的关于三角的等式，使上述两个等式是它的特例； (2)请证明你的结论． [解]　(1)由题意可得出具有一般性的关于三角的等式为sin αsin β＝sin2－sin2． (2)证明：因为sin2， sin2， 故sin2－sin2 ＝ ＝[cos (α－β)－cos (α＋β)] ＝×2sin αsin β＝sin αsin β， 即sin αsin β＝sin2－sin2． 19．(本小题满分17分)(教材P255复习参考题5T23改编)已知正方形ABCD的边长为1，点P，Q分别在边AB，AD上，设∠DCQ＝α，∠BCP＝β． (1)若AP＝DQ，求tan(α＋β)的最大值； (2)若△APQ的周长为2，求∠PCQ的大小． [解]　(1)设AP＝DQ＝λ(0＜λ＜1)， 由tan α＝λ，tan β＝1－λ， 所以tan (α＋β)＝， 又λ2－λ＋1＝，当且仅当λ＝时，取等号， 所以tan (α＋β)≤，即tan (α＋β)的最大值为． (2)因为△APQ的周长为2， 所以AP＋PQ＋AQ＝1－tan β＋1－tan α＋＝2， 得到tan β＋tan α＝， 两边同时平方并化简得到tan α＋tan β＝1－tan αtan β， 所以tan (α＋β)＝＝1， 又0＜α＋β＜，所以α＋β＝， 所以∠PCQ＝－(α＋β)＝． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$