第2章 章末重构拓展-【名师导航】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

类型1　不等式的性质及应用

1．本章主要学习了不等式的基本性质和基本事实．该知识点常与数式的大小比较、命题真假的判断及不等式的证明结合命题，求解时注意直接法和特值法的应用．

2．掌握不等式的运算性质，重点提升数学抽象和逻辑推理素养．

【例1】　(1)已知M＝a2＋4a＋1，N＝2a－，则M与N的大小关系是(　　)

A．M≤N  　 B．M<N

C．M≥N  　 D．M>N

(2)(多选)若a＞b＞0，c＞d＞0，则(　　)

A．a－c＞b－d   

B．a(a＋c)＞b(b＋d)

C．＜   

D．＜

(3)已知2<a<3，－2<b<－1，则ab的取值范围为________．

(1)D　(2)BCD　(3)－6<ab<－2　[(1)因为M＝a2＋4a＋1，N＝2a－，所以M－N

＝a2＋4a＋1－＝(a＋1)2＋>0，

所以M>N．故选D．

(2)对A：取a＝5，b＝4，c＝3，d＝1，则a－c＝2，b－d＝3，故A错误；

对B：由a＞b＞0，c＞d＞0，则a＋c＞b＋d，则有a(a＋c)＞b(b＋d)，故B正确；

对C：由a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd，且＜等价于＜，

等价于＞，等价于ac＞bd，故C正确；

对D：由a＞b＞0，c＞d＞0，

则，

即＜等价于＜，

由d－c＜0，即等价于＞，等价于a＋c＞b＋c，即a＞b，故D正确．故选BCD．

(3)因为－2<b<－1，所以1<－b<2，

又因为2<a<3，所以2<－ab<6，

所以－6<ab<－2．]

类型2　基本不等式及其应用

1．基本不等式≤(a>0，b>0)常有两种变形：ab≤和a＋b≥2．其充分体现了利用两个正数和与积互化求最值的技巧，在应用该知识点解决最值时，务必把握“一正、二定、三相等”这三个条件．

2．熟练掌握基本不等式的应用，重点提升数学抽象和数学运算素养．

【例2】　(1)已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为(　　)

A．  　 B．

C．  　 D．

(2)(多选)下列结论中正确的是(　　)

A．y＝x＋的最小值是2

B．如果x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，那么xy的最大值为3

C．函数y＝的最小值为2

D．如果a>0，b>0，且＝1，那么a＋b的最小值为2

(1)B　(2)BD　[(1)因为0<x<1，所以1－x>0．

x(3－3x)＝3x(1－x)≤3，当且仅当x＝1－x，即x＝时等号成立．故选B．

(2)对于A，如果x<0，那么y＝x＋<0，最小值是2不成立，故A错误；

对于B，如果x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则9＝x＋3y＋xy≥2＋xy，整理得()2＋－9≤0，

解得0<≤，当且仅当y＝1，x＝3时取等号，所以xy的最大值为3，故B正确；

对于C，函数y＝＝＋≥2，当且仅当x2＋4＝1时取等号，此时x无解，故不能取得最小值2，故C错误；

对于D，如果a>0，b>0，且＝1，那么a＋b＝(a＋1)＋(b＋1)－2＝－2≥2＋2－2＝2，当且仅当a＝1，b＝1时取等号，故D正确．]

【教用·备选题】　求下列函数的最值．

(1)若正实数a，b满足a＋2b＝1，求的最小值；

(2)已知x<1，求y＝4x＋1＋的最大值．

[解]　(1)∵a>0，b>0，a＋2b＝1，∴(a＋1)＋2b＝2，

∴[(a＋1)＋2b]

＝×(6＋4)＝3＋2

，

∴的最小值为3＋2．

(2)∵x<1，∴1－x>0，

∴y＝4(x－1)＋＋5≤－2＋5＝