第2章 微专题1 基本不等式的应用技巧-【名师导航】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

微专题1　基本不等式的应用技巧

在利用基本不等式求最大值或最小值时，为满足“一正、二定、三相等”的条件，需要做一些适当的变形，用到一些变换的技巧，下面举例说明．

探究1　常数代换法求最值问题

[典例讲评]　1．已知x>0，y>0，x＋2y＝1，求的最小值．

[解]　由题意知，＝(x＋2y)＋4≥5＋2＝9，

当且仅当，即x＝y＝时取等号．

所以的最小值为9．

[母题探究]　

1．将本例条件“x＋2y＝1”换成“x＋2y＝2”，求的最小值．

[解]　(x＋2y)＋，

当且仅当，即y＝2－，x＝2－2时取等号．

所以的最小值为＋．

2．将本例条件“x＋2y＝1”换成“x＋y＝1”，求的最小值．

[解]　由x＋y＝1，得(x＋2)＋(y＋1)＝4，

即[(x＋2)＋(y＋1)]＝1，

∴[(x＋2)＋(y＋1)]＝×(5＋4)＝，

当且仅当，

即x＝时等号成立．

∴的最小值为．

　常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”

的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商．

[学以致用]　1．已知x>0，y>0，x＋2y＝2xy，求3x＋y的最小值．

[解]　由x＋2y＝2xy，得＝2，

3x＋y＝(3x＋y)

≥＋，

当且仅当，即x＝1＋时取等号．

所以3x＋y的最小值为＋．

探究2　消元法求最值

[典例讲评]　2．已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab－1，求a＋2b的最小值．

[解]　由2a＋b＝ab－1，得a＝，

因为a>0，b>0，所以a＝>0，又b＋1>0，

所以b>2，

所以a＋2b＝＋2(b－2)＋4＝2(b－2)＋＋5≥2＋5＝5＋2，

当且仅当2(b－2)＝，即b＝2＋时等号成立．

所以a＋2b的最小值为5＋2．

　对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题．

[学以致用]　2．设x>0，xy＋y＝4，则z＝3x＋y＋2的最小值为(　　)

A．4－1  　 B．4＋2

C．4＋1  　 D．6

A　[由题意x>0，xy＋y＝4，可得y＝>0，

所以z＝3x＋＋2＝3(x＋1)＋－1≥1＝4－1，

当且仅当3(x＋1)＝，即x＝－1时等号成立．故选A．]

【教用·备选题】已知a＞0，b＞0，且＝1，则的最小值为(　　)

A．2  　 B．

C．  　 D．1＋

A　[因为a＞0，b＞0，且＝1，

所以，

所以a＝＞0，所以b＞2．

所以a－1＝＞0，

所以＞0，

所以

＝(b－2)＋≥2＝2，

当且仅当b－2＝，

即b＝3时取等号，

所以的最小值为2．

故选A．]

探究3　有和、有积、有常数求最值

[典例讲评]　3．已知实数a＞0，b＞0，且a＋b＋15＝ab．

(1)求a＋b的最小值；

(1)求ab的最小值．

[解]　(1)由a＋b＋15＝ab≤(a＋b)2，当且仅当a＝b＝5时等号成立，

记t＝a＋b，t＞0，则t＋15≤t2，

整理得(t－10)(t＋6)≥0，解得t≥10或t≤－6(舍去)，

即a＋b≥10．所以a＋b的最小值为10．

(2)由a＋b＋15＝ab，得ab≥2＋15，即

(＋3)(－5)≥0，

又a＞0，b＞0，所以≥5，即ab≥25．

所以ab的最小值为25．