第1章 章末重构拓展-【名师导航】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

类型1　集合的基本概念

1．理解集合的概念、集合中元素的特性、常用数集的表示、元素与集合的表示方法、元素与集合之间的关系，针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合，能根据具体问题选择不同的表示方法，能在不同的表示方法之间进行转换．

2．掌握集合的基本概念，提升逻辑推理和数学抽象素养．

【例1】　(1)已知集合A＝{0，2}，B＝{1，2，3}，C＝{ab|a∈A，b∈B}，则集合C中元素的个数为(　　)

A．6  　 B．5

C．4  　 D．3

(2)(多选)已知集合A＝{y|y＝x2＋1}，集合B＝{(x，y)|y＝x2＋1}，下列关系正确的是(　　)

A．(1，2)∈B  　 B．A＝B

C．0∉A  　 D．2∈B

(1)C　(2)AC　[(1)因为A＝{0，2}，B＝{1，2，3}，a∈A，b∈B，所以ab＝0或ab＝2或ab＝4或ab＝6，故C＝{ab|a∈A，b∈B}＝{0，2，4，6}，即集合C中含有4个元素．故选C．

(2)点(1，2)在函数y＝x2＋1图象上，有(1，2)∈B，A选项正确；集合A为数集，集合B为点集，A≠B，B选项错误；函数y＝x2＋1的函数值y的取值范围为{y|y≥1}，则A＝{y|y≥1}，0∉A，C选项正确；集合B为点集，2∉B，D选项错误．故选AC．]

类型2　集合的基本关系与运算

1．集合的运算主要包括交集、并集和补集的运算，它与集合的基本关系都是高考的主要考查点．对于较抽象的集合问题，解题时需借助Venn图或数轴等进行数形分析，使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解．

2．掌握集合的基本关系与运算，重点提升逻辑推理和数学运算素养．

【例2】　已知集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}．

(1)当a＝－时，求A∪B及其子集个数；

(2)当A∪B＝A时，求实数a的取值范围．

[解]　(1)A＝{0，－4}，

当a＝－时，B＝＝，

故A∪B＝，有24＝16个子集．

(2)若A∪B＝A，则B⊆A，

当B＝A时，方程x2＋4x＝0与x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0是同一方程，故得a＝1．

当BA时：

①B＝∅时，x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，得a<－1；

②B≠∅时，B是单元素集，则Δ＝0，

∴a＝－1，此时B＝{0}，符合题意．

综上，实数a的取值范围为{a|a≤－1或a＝1}．

类型3　充分条件与必要条件

1．充分必要条件的判断和证明是平时考试的一个重点，常与不等式等知识结合命题，学会用集合的观点分析和解决充分必要条件的判断和求参数的范围问题，提升转化和化归能力．

2．掌握充要条件的判断和证明，提升逻辑推理和数学运算素养．

【例3】　(1)(多选)下列命题中是真命题的是(　　)

A．x>2且y>3是x＋y>5的充分不必要条件

B．x>0的必要不充分条件是x>1

C．Δ＝b2－4ac＝0是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根的充要条件

D．x>y是x2>y2的既不充分也不必要条件

(2)设p：实数x满足A＝{x|x≤3a或x≥a(a<0)}，q：实数x满足B＝{x|－4≤x<－2}，且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

(1)AD　[对于A，由x>2且y>3，得x＋y>5，但由x＋y>5不能推出x>2且y>3，

所以x>2且y>3是x＋y>5的充分不必要条件，A正确；

对于B，x>1可以推出x>0，但x>0不能推出x>1，所以x>1是x>0的充分不必要条件，B错误；

对于C，Δ＝b2－4ac＝0，可以推出ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根，

但是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根，推出Δ＝b2－4ac≥0，

所以Δ＝b2－4ac＝0是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根的充分不必要条件，C错误；

对于D，由x>y不能推出x2>y2，比如－1>－2时，有(－1)2<(－2)2；

由x2>y2不能推出x>y，比如(－2)2>12时，有－2<1；

所以x>y是x2>y2的既不充分也不必要条件，D正确．

故选AD．]

(2)[解]　∵q是p的充分不必要条件，

∴BA，

∴或

解得a≤－4或－≤a<0．

∴实数a的取值范围为．