第2章 章末重构拓展-【名师导航】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步讲义（人教A版）

类型1　两条直线的平行与垂直

1．判断两条直线平行、垂直的方法

(1)若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1(注意斜率不存在时的特殊情形)．

(2)一般式方程下的平行与垂直：

l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0．

2．平行直线系、垂直直线系问题

(1)与Ax＋By＋C＝0平行的直线可写成Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)；

(2)与Ax＋By＋C＝0垂直的直线可写成Bx－Ay＋C2＝0．

3．通过讨论两条直线的平行与垂直，提升逻辑推理的学科素养．

【例1】　已知三条直线l1：ax＋by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，l3：x＋2y＋3＝0．

(1)若l1⊥l2，且l1过点(－1，1)，求a，b的值；

(2)若l1∥l2∥l3，求a，b的值．

[解]　(1)因为l1：ax＋by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，且l1⊥l2，所以a(a－1)＋b＝0，

又直线l1过点(－1，1)，

所以－a＋b＋4＝0，

所以b＝a－4，

所以a(a－1)＋(a－4)＝0，

所以或

(2)若l1∥l2∥l3，则解得

此时，l1：x＋3y＋4＝0，也即l1：x＋2y＋＝0，

l2：x＋y＋3＝0，也即l2：x＋2y＋6＝0，满足l1∥l2∥l3，

所以若l1∥l2∥l3，a＝，b＝3．

类型2　两条直线的交点与距离

1．

2．两条直线的位置关系的研究以两直线的交点为基础，通过交点与距离涵盖直线的所有问题．

3．解决解析几何中的交点与距离问题，往往是代数运算与几何图形直观分析相结合，培养数学运算的核心素养．

【例2】　(1)若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为(　　)

A．　　　B．　　　C．　　　D．

(2)直线l在两坐标轴上的截距相等，且P(4，3)到直线l的距离为3，求直线l的方程．

(1)B　[因为直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，所以3－a(a－2)＝0且2a2－18≠0，解得a＝－1．所以直线l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，所以直线l1与l2间的距离d＝＝．故选B．]

(2)[解]　当直线过原点时，设所求直线方程为

kx－y＝0，则＝3，解得k＝±－6，

∴y＝x．

当直线不经过原点时，设所求直线方程为

x＋y＝a，则＝3 ，解得a＝13或a＝1，

∴x＋y－13＝0或x＋y－1＝0．

综上，所求直线方程为y＝x或x＋y－13＝0或x＋y－1＝0．

类型3　圆的方程

1．求圆的方程是考查圆的方程问题中的一个基本点，一般涉及圆的性质、直线与圆的位置关系等，主要依据圆的标准方程、一般方程、直线与圆的几何性质，运用几何方法或代数方法解决问题，多以选择题、填空题为主，属于基础题．