第1章 探究课1 集合中元素的个数与容斥原理-【名师导航】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

　集合中元素的个数与容斥原理

在计数时，要保证无一重复，无一遗漏，这种计数的方法称为容斥原理．

(1)两个集合的容斥原理

用card(A)表示有限集合A中元素的个数，例如：A＝{a，b，c}，则card(A)＝3．一般地，对于任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．

如图所示：

(2)三个集合的容斥原理

一般地，对于任意三个有限集合A，B，C，有card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B) －card(A∩C)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C )．

如图所示：

【典例】　(1)某年级先后举办了数学、历史、化学讲座，其中有70人听了数学讲座，62人听了历史讲座，58人听了化学讲座，记A＝{x|x是听了数学讲座的学生}，B＝{x|x是听了历史讲座的学生}，C＝{x|x是听了化学讲座的学生}．用card(M)来表示有限集合M中元素的个数，若card(A∩B)＝17，card(A∩C)＝13，card(B∩C)＝5，A∩B∩C＝∅，则(　　)

A．card(A∩B∩C)＝35

B．card(A∪B)＝115

C．card(B∪C)＝120

D．card(A∪B∪C)＝190