第2章 微专题2 对称问题-【名师导航】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步讲义（人教A版）

微专题2　对称问题

类型1　几类常见的对称问题

　中心对称问题

1．点关于点对称

点P(x0，y0)关于点A(m，n)的对称点P′(x′，y′)可利用中点坐标公式求得，

由得

2．直线关于点对称

直线Ax＋By＋C＝0关于点P(x0，y0)的对称直线的方程的求法：求出直线上的两个特殊点M，N关于点P的对称点M′，N′的坐标，则直线M′N′的方程即为所求的直线方程．

【例1】　(1)直线2x＋3y－6＝0关于点(1，1)对称的直线方程为(　　)

A．3x－2y＋2＝0 B．2x＋3y＋7＝0

C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y－4＝0

(2)点P(1，2)在直线l上，直线l1与l关于点(0，1)对称，则一定在直线l1上的点为(　　)

A． 

C．(－1，0) D．(1，0)

(1)D　(2)C　[(1)在所求直线上取点(x，y)，则关于点(1，1)对称的点的坐标为(2－x，2－y)，

代入直线2x＋3y－6＝0，可得2(2－x)＋3(2－y)－6＝0，整理得2x＋3y－4＝0．

故选D．

(2)设P(1，2)关于(0，1)对称的点为(x，y)，该点必在l1上，

∴解得即(－1，0)一定在直线l1上．

故选C．]

　轴对称问题

1．点关于直线对称

设点P(x0，y0)关于直线Ax＋By＋C＝0的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点

在已知直线上且直线PP′与已知直线垂直．

即解此方程组可得x′，y′，即得点P′的坐标．

2．直线关于直线对称

(1)若已知直线l1与已知对称轴相交，则交点必在与直线l1对称的直线l2上，求出直线l1上其他任意一点关于对称轴对称的点，由两点式写出直线l2的方程．

(2)若已知直线l1与已知对称轴平行，则直线l1关于对称轴对称的直线l2与直线l1平行，可以利用直线l1与对称轴间的距离等于直线l2与对称轴间的距离求解．

【例2】　已知直线l：y＝3x＋3，求：

(1)点P(4，5)关于l的对称点的坐标；

(2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程．

[解]　(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，

即解得

所以点P′的坐标为(－2，7)．

(2)解方程组得

则点在所求直线上．

在直线y＝x－2上任取一点M(2，0)，

设点M关于直线l的对称点为M′(x0，y0)，

则解得

点M′也在所求直线上，

由两点式得直线方程为

＝，化简得7x＋y＋22＝0，

即7x＋y＋22＝0为所求直线方程．

类型2　光的反射问题

根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线上对应的点是关于法线

对称的．利用点的对称关系可以求解．

【例3】　已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　　)

A．2 B．6

C．3 D．2

A　[如图所示，分别作出点P关于直线AB的对称点P′，点P关于y轴的对称点P″，

则点P′，Q，M，P″在同一条直线上，线段P′P″的长度即为所求，

易知P″(－2，0)，直线AB方程为x＋y＝4，

设点P′(a，b)，

则

解得a＝4，b＝2．∴点P′(4，2)．

∴光线所经过的路程是|P′P″|＝＝2．故选A．]

类型3　利用对称解决有关最值问题

由平面几何知识(三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A′，得直线A′B的方程，再求其与直线l的交点即可．对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解．

【例4】　在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q，使其满足以下条件．

(1)P到A(4，1)与B(0，4)的距离之差最大；

(2)Q到A(4，1)与C(3，0)的距离之和最小．