第2章 高考命题点探源(二)-【名师导航】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步讲义（人教A版）

探源1　直线与圆、圆与圆的位置关系

[命题点分析]　直线与圆的位置关系是近几年高考的热点和重点，每年必考，主要考查判断直线与圆的位置关系、由直线与圆的位置关系求参数、直线与圆相切的问题及弦长问题等，以基础题和中档题为主，题型多为选择题、填空题．虽然难度不大，但从趋势来看，其综合性日渐增强，且青睐于多选题，有时也以解答题的形式出现，考查考生的数形结合思想以及转化与化归思想．

【案例1】　(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是(　　)

A．1＋　　B．4　　C．1＋3　　D．7

C　[将方程x2＋y2－4x－2y－4＝0化为(x－2)2＋(y－1)2＝9，其表示圆心为(2，1)，半径为3的圆．设z＝x－y，数形结合知，只有当直线x－y－z＝0与圆相切时，z才能取到最值，此时＝3，解得z＝1±3，故z＝x－y的最大值为1＋3，故选C．]

[考题来源]　本题来源于教材P91例1，教材题目命题点是判断直线与圆的位置关系并求弦长，本题命题点是已知(x，y)是圆上的点(直线和圆相交或相切)，利用位置关系求最值，难度系数比教材稍高．

[试题评价]　本题以圆的一般方程为载体，考查直线与圆的位置关系及点到直线的距离等基础知识，体现了考生的逻辑推理、数学运算等核心素养．

【案例2】　(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程______________．

y＝－x＋　[圆x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径为1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心O1为(3， 4)，半径为4，

两圆圆心距为＝5，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，

当切线为l时，因为＝，所以kl＝－，设方程为y＝－x＋t(t＞0)，

O到l的距离d＝＝1，解得t＝，所以l的方程为y＝－x＋，

当切线为m时，设直线方程为kx＋y＋p＝0，其中p＞0，k＜0，

由题意解得y＝x－，

当切线为n时，易知切线方程为x＝－1．]

[考题来源]　本题来源于教材P99习题2.5T15，教材题目命题点是判断圆的切线，求相交圆的公共弦方程，本题命题点是求两外切圆的公切线方程，难度系数比教材稍高，主要考查学生的逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养．

[试题评价]　圆与圆的位置关系在高考中也经常涉及，一般考查圆与圆的位置关系的判定、求公切线的条数或公切线方程、求公共弦所在直线的方程或公共弦长等知识，一般以选择、填空题的形式出现，难度系数较低，属于基础题．本题以圆与圆的位置关系的判定和公切线的求解为命题点，主要考查了直线方程以及直线与圆的位置关系等基础知识，属于中等难度试题．

【案例3】　(2023·新高考Ⅱ卷)已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值________．

2　[设直线x－my＋1＝0为直线l，由条件知⊙C的圆心C(1，0)，半径R＝2，C到直线l的距离d＝，|AB|＝2＝2＝．由S△ABC＝，得＝，整理得2m2－5|m|＋2＝0，解得m＝±2或m＝±．故答案可以为2．]

[考题来源]　本题来源于教材P103复习参考题2T20，两题条件中给出的都是过定点的直线系，并借助弦长公式求参数的值，命题角度高度一致，考查难度稍高于教材．

[试题评价]　试题主要考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离及圆内三角形的性质等．根据题设，利用数形结合思想，厘清三角形面积的要素，问题即可迎刃而解．试题要求只写出一个满足条件的m值即可，具有一定的开放性，属于中档题，体现了逻辑推理、数学运算等核心素养．