第2章 第9节 函数的图象-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版提升）

第九节　函数的图象 第二章　函数的概念、性质与基本初等函数 1 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.　 2.会运用函数图象理解和研究函数的性质. 学习要求 2 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 3 必备知识　自主梳理 4 1.描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线，具体为： 首先：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式； (3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性). 其次：列表(尤其注意零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等特殊点). 最后：描点，连线. 知识梳理 知识点　函数的图象 5 2.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 y＝f (x) ____________； y＝f (x－a) y＝f (x) _____________. y＝f (x)＋b 知识梳理 知识点　函数的图象 6 (2)伸缩变换 y＝f (x) _________； y＝f (x) _________. y＝f (ωx) y＝Af (x) 知识梳理 知识点　函数的图象 7 (3)对称变换 y＝f (x) y＝f (x) y＝f (x) y＝_________； y＝_________； y＝_________. －f (x) f (－x) －f (－x) 知识梳理 知识点　函数的图象 8 (4)翻折变换 y＝f (x) y＝f (x) y＝f (|x|)； y＝|f (x)|. 知识梳理 知识点　函数的图象 9 1.已知图①中的图象是函数y＝f (x)的图象，则图②中的图象对应的函数 可能是(　　) A.y＝f (|x|)　　　　　　 B.y＝|f (x)| C.y＝f (－|x|) D.y＝－f (－|x|) 解析：因为题图②中的图象是在题图①的基础上，去掉函数y＝f (x)的图象在y轴右侧的部分，然后将y轴左侧图象翻折到y轴右侧得到的，所以题图②中的图象对应的函数可能是y＝f (－|x|). C 自我评价 10 2.在同一平面直角坐标系中，y＝2x与y＝log2(－x)的图象可能是(　　) 解析：因为y＝2x的图象过点(0，1)，且单调递增，故排除选项C，D；y＝log2(－x)的图象为过点(－1，0)的单调递减的函数图象，故排除选项A. B 自我评价 11 3.把函数f (x)＝ln x图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到的图象 的函数解析式是__________.  解析：根据伸缩变换方法可得，所求函数解析式为y＝ln . y＝ln 自我评价 12 4.如图，函数y＝f (x)的图象由曲线段OA和线段AB构成.当0≤x≤2时， f (x)＝ax＋k(a＞0且a≠1，k∈R)，则函数f (x)的解析式为 ___________________________.  f (x)＝ 自我评价 13 解析：当0≤x≤2 时，因为点O(0，0)，A(2，3)在f (x)的图象上，所以 解得 故当0≤x≤2 时，f (x)＝2x－1；当2＜x≤5 时，设f (x)＝cx＋b，因为点A(2，3)，B(5，0)在f (x) 的图象上，所以 解得 故当2＜x≤5 时，f (x)＝－x＋5.所以f (x)＝ 自我评价 14 1.函数图象自身的对称关系 (1)若函数y＝f (x)的定义域为R，且有f (a＋x)＝f (b－x)，则函数y＝f (x)的图象关于直线x＝对称. (2)函数y＝f (x)的图象关于点(a，b)中心对称⇔f (a＋x)＝2b－f (a－x)⇔ f (x)＝2b－f (2a－x). 2.两个函数图象之间的对称关系 (1)函数y＝f (x)与y＝f (2a－x)的图象关于直线x＝a对称. (2)函数y＝f (x)与y＝2b－f (2a－x)的图象关于点(a，b)对称. (3)函数y＝f (a＋x)与y＝f (b－x)的图象关于直线x＝对称. 常用结论 15 关键能力　重点探究 16 [例1]　作出下列函数的图象： (1)y＝|log2(x＋1)|； [解]　将函数y＝log2x的图象先向左平移一个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图①. 考点一　作函数的图象 17 (2)y＝. [解]　因为y＝＝2＋，故函数图象可由y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图②. 考点一　作函数的图象 18 函数图象的常见画法及注意事项 1.直接法：对于熟悉的基本函数，根据函数的特征描出图象的关键点，直接作图. 2.转化法：含有绝对值符号的，去掉绝对值符号，转化为分段函数来画. 3.图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图象变换作图. 4.画函数的图象一定要注意定义域. 方法总结 19 作出下列函数的图象： (1)y＝x－|x－1|； 解：根据绝对值的意义，可将函数式化为分段函数y＝可见其图象是由两条射线组成，如图①所示. 跟踪训练 20 (2)y＝|log2x－1|. 解：先作出y＝log2x的图象，再将其图象向下平移一个单位长度，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得y＝|log2x－1|的图象，如图②所示. 跟踪训练 21 [例2]　(2024·全国甲卷)函数f (x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x在区间[－2.8， 2.8]的图象大致为(　　) B 考点二　函数图象的辨识 22 [解析]　f (－x)＝－x2＋(e－x－ex)sin(－x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x＝f (x)， 又函数定义域为[－2.8，2.8]，故该函数为偶函数，可排除A，C. 又f (1)＝－1＋sin 1＞－1＋sin－1－＞0，故可排除D. 考点二　函数图象的辨识 23 识别函数的图象的主要方法 1.利用函数的性质，如奇偶性、单调性、定义域等判断. 2.利用函数的零点、极值点等判断. 3.利用特殊函数值判断. 方法总结 24 (2025·山东烟台模拟)若某函数在区间[－π，π]上的大致图象如图所 示，则该函数的解析式可能是(　　) A.y＝(x＋2)sin 2x B.y＝ C.y＝ D.y＝ B 跟踪训练 25 解析：A中，设f (x)＝y＝(x＋2)sin 2x， 则当x∈时，2x∈(π，2π)， 则f (x)＜0，不符合，排除A； C中，设f (x)＝y＝， 当x∈(0，π)时，f (x)＝， 且2＜x＋2＜π＋2，0＜sin x≤1，1＜x＋1＜π＋1， 所以0＜(x＋2)sin x＜π＋2， 所以f (x)＝＜(x＋2)sin x＜π＋2＜6，不符合，排除C； D中，设f (x)＝y＝，令f (x)＝0， 解得x＝0或－2，不符合，排除D.故选B. 跟踪训练 26 角度1　图象法解不等式 [例3]　已知函数f (x)＝则f (x)≤x的解集为 (　　) A.(－∞，0]　　　　　　　 B.(－1，0] C.(－1，0]∪[1，＋∞) D.[1，＋∞) C 考点三　函数图象的应用 27 [解析]　作出函数y＝f (x)与y＝x的图象，如图. 结合图象知不等式f (x)≤x的解集为(－1，0]∪[1，＋∞). 考点三　函数图象的应用 28 角度2　求参数的取值范围 [例4]　已知函数f (x)＝若关于x的方程f (x)－m＝0恰有 两个不同的实数解，则实数m的取值范围是(　　) A.(0，1) B.[0，1) C.(1，3)∪{0} D.[1，3)∪{0} D 考点三　函数图象的应用 29 [解析]　因为关于x的方程f (x)－m＝0恰有两个不同的实数解，所以函数y＝f (x)与y＝m的图象有两个交点，作出函数图象，如图所示， 所以当m∈[1，3)∪{0}时，函数y＝f (x)与y＝m的图象有两个交点，所以实数m的取值范围是[1，3)∪{0}. 考点三　函数图象的应用 30 1.利用函数的图象研究函数的性质. 对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系. 2.利用函数的图象可以解决方程和不等式的求解问题，如判断方程是否有解，有多少个解，数形结合是常用的思想方法.不等式的求解可转化为两函数图象的上下关系问题. 方法总结 31 已知函数f (x)＝若实数a，b，c互不相等，且f (a)＝ f (b)＝f (c)，则a＋b＋c的取值范围是__________.  (2，2 026) 解析：函数f (x)＝ 的图象如图所示， 不妨令a＜b＜c， 由正弦曲线的对称性可知a＋b＝1， 又1＜c＜2 025， 所以2＜a＋b＋c＜2 026. 跟踪训练 32 [例]　如图，在不规则四边形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB交AB于点E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分的面积为y，则y关于x 的图象大致是(　　) C [解析]　当l从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了点D后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了点C后面积的增加速度又逐渐减慢. 教材延展 动点(抽象变量)的图象问题 33 根据实际背景、图形判断函数图象的两种方法 1.定量计算法：根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象. 2.定性分析法：采用“以静观动”，即判断动点处于不同的特殊的位置时图象的变化特征，从而利用排除法作出选择. 注意：求解的过程中注意实际问题中的定义域问题. 方法总结 34 向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的 图象如图所示，那么水瓶的形状是(　　) B 跟踪训练 35 解析：观察图象，根据图象的特点，发现取水深h＝时，注水量V'＞，即水深为一半时，实际注水量大于水瓶容积的一半，A中V'＜，C，D中V'＝，故排除A，C，D. 跟踪训练 36 课时作业　巩固提升 37 1.为了得到函数y＝2x－3－1的图象，只需把函数y＝2x的图象(　　) A.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 B.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 C.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 D.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 解析：将函数y＝2x的图象向右平移3个单位长度得到y＝2x－3的图象，再向下平移1个单位长度得到y＝2x－3－1的图象. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 A A组　基础保分练 38 2.(2025·山东淄博模拟)在同一平面直角坐标系中，函数y＝logax与y＝ －x＋a的图象可能是(　　) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 A A组　基础保分练 39 解析：当0＜a＜1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递减； 函数y＝－x＋a在R上单调递减，且当x＝0时，y＝a∈(0，1)，故A正确，C错误； 当a＞1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递增； 函数y＝－x＋a在R上单调递减，且当x＝0时，y＝a∈(1，＋∞)，故B，D错误. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 A组　基础保分练 40 3.函数f (x)＝的图象大致为(　　) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 D 解析：因为f (1)＝1＞0，故A，C错误； 又因为f (0)＝＜1＝f (1)，故B错误. A组　基础保分练 41 4.已知函数f (x)在[－4，4]上的大致图象如图所示，则f (x)的解析式可能 为(　　) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 A.f (x)＝ B.f (x)＝ C.f (x)＝|x|·(4－|x|) D.f (x)＝|x|·sin B A组　基础保分练 42 解析：选项A中函数满足f (2)＝＝3，与图象不符，排除A. 又选项C中函数满足f (2)＝4，与图象不符，排除C； 函数图象关于y轴对称，函数为偶函数，选项D中函数满足f (－x)＝ |－x|sin＝－|x|sin＝－f (x)，为奇函数，排除D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 A组　基础保分练 43 5.已知函数f (x)＝xln x的图象如图所示，则函数f (1－x)的图象为(　　) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 D 解析：易知函数f (x) 的定义域为(0，＋∞).由1－x＞0，得x＜1，所以函数f (1－x) 的定义域为(－∞，1)，故排除A，C.又当x＝－1 时，f (1－ (－1))＝f (2)＝2ln 2＞0，故排除B. A组　基础保分练 44 6.对于函数f (x)＝x|x|＋x＋1，下列结论正确的是(　　) A.f (x)为奇函数 B.f (x)在定义域上是减函数 C.f (x)的图象关于点(0，1)对称 D.f (x)在区间(0，＋∞)上存在零点 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 C A组　基础保分练 45 解析：f (x)＝作出函数f (x) 的图象(如图)，由图可知，f (x)的图象关于点(0，1) 对称，因此f (x) 不是奇函数，函数f (x) 在定义域上为增函数，在(0，＋∞) 上f (x) 没有零点. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 A组　基础保分练 46 7.已知函数f (x)＝若方程f (x)－a＝0有三个不同的实数 根，则实数a的取值范围是(　　) A.(1，3)　　 B.(0，3) C.(0，2) D.(0，1) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 D 解析：画出函数f (x)的图象，如图所示，方程f (x)－a＝0有三个不同的实数根，即函数y＝f (x)的图象与直线y＝a有三个不同的交点，由图可知，实数a的取值范围为(0，1). A组　基础保分练 47 8.(多选)对于函数f (x)＝lg (＋1)，下列说法正确的有(　 　) A.f (x＋2)是偶函数 B.f (x＋2)是奇函数 C.f (x)在区间(－∞，2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增 D.f (x)没有最小值 解析：f (x＋2)＝lg(|x|＋1)为偶函数，A正确，B错误； 作出函数f (x) 的图象如图所示，可知f (x) 在(－∞，2) 上单调递减，在(2，＋∞) 上单调递增，故函数f (x) 存在最小值0，C正确，D错误. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 AC A组　基础保分练 48 9.(多选)函数f (x)＝的图象如图所示，则下列结论一定成立的是 (　 　) A.a＜0 B.b＜0 C.c＞0 D.abc＜0 解析：由题图知f (0)＝＞0，所以b＜0，B正确； 当x＝－c时，函数f (x)无意义， 由题图知－c＜0，所以c＞0，C正确； 令f (x)＝0，解得x＝， 由题图知＜0， 又因为b＜0，所以a＞0，A错误； 综上，a＞0，b＜0，c＞0，所以abc＜0，D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 BCD A组　基础保分练 49 10.若函数f (x)＝的图象关于点(1，1)对称，则实数a＝_________.  解析：f (x)＝＝a＋，关于点(1，a)对称，故a＝1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 1 A组　基础保分练 50 11.(2025·吉林长春模拟)设函数f (x)＝则f (f (0))＝____； 若f (m)＞1，则实数m的取值范围是_____________________.  2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 0 (－∞，0)∪(e，＋∞) 解析：f (f (0))＝f (1)＝ln 1＝0，如图所示，可得f (x)＝的图象与直线y＝1的交点分别为(0，1)，(e，1).若f (m)＞1，则实数m的取值范围是(－∞，0)∪(e，＋∞). A组　基础保分练 51 12.已知函数f (x)＝|x|(x－a)，a＞0. (1)画出函数f (x)的图象； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 解：f (x)＝ 其图象如图所示. A组　基础保分练 52 (2)写出函数f (x)的单调区间； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 解：由图知，f (x)的单调递增区间是(－∞，0)，；单调递减区间是. A组　基础保分练 53 (3)当x∈[0，1]时，由图象写出f (x)的最小值. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 解：由图象知，当＞1，即a＞2 时，f (x)min＝f (1)＝1－a； 当0＜≤1，即0＜a≤2 时，f (x)min＝f ＝－. 综上，当x∈[0，1] 时，若0＜a≤2，f (x)的最小值为 －，若a＞2，f (x)的最小值为1－a. A组　基础保分练 54 13.已知f (x)是定义在[－5，5]上的偶函数，当－5≤x≤0时，f (x)的图象 如图所示，则不等式＜0的解集为(　　) A.(－π，－2)∪(0，2)∪(π，5] B.(－π，－2)∪(π，5] C.[－5，－2)∪(0，π)∪(π，5] D.[－5，－2)∪(π，5] 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 A B组　能力提升练 55 解析：因为f (x)是定义在[－5，5]上的偶函数，观察图象结合偶函数性质得f (x)＞0的解集为[－5，－2)∪(2，5]，f (x)＜0的解集为(－2，2)， 当x∈[－5，5]时，sin x＞0的解集为[－5，－π)∪(0，π)，sin x＜0的解集为(－π，0)∪(π，5]， 不等式＜0等价于或 由解得x∈(－π，－2)∪(π，5]， 由解得x∈(0，2)， 所以不等式＜0的解集为(－π，－2)∪(0，2)∪(π，5]. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 B组　能力提升练 56 14.已知函数f (x)＝，实数a，b满足a＜b. (1)在平面直角坐标系中画出函数f (x)的图象； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 解：因为函数f (x)＝，先作出函数y＝1－ 的图象，然后再利用图象变换作出函数f (x)＝ 的图象，如图所示. B组　能力提升练 57 (2)若函数f (x)在区间[a，b]上的值域为，求实数a＋b的值； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 解：由，解得x＝ 或x＝， 由＝3 解得x＝－ 或x＝， 结合图象可知[a，b]＝，所以a＋b＝1. B组　能力提升练 58 (3)若函数f (x)的定义域是[a，b]，值域是[ma，mb](m＞0)，求实数m的取值范围. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 解：由题意得[a，b] 在f (x) 的增区间内且a＞0，b＞0， 又f (x)＝ 在[1，＋∞) 上单调递增， 故 即 B组　能力提升练 59 所以a，b是方程1－＝mx 的两个根，即x－1＝mx2(x＞1)，所以mx2－x＋1＝0 在区间(1，＋∞) 上有两个不相等的实数根，设g(x)＝mx2－x＋1， 则 解得0＜m＜，故实数m 的取值范围是. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 B组　能力提升练 60 $$