第1章 第5节 一元二次方程、不等式-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版提升）

第五节　一元二次方程、不等式 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.　 2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式. 学习要求 2 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 课时作业　巩固提升 3 必备知识　自主梳理 4 项目 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋ bx＋c(a＞0) 的图象 知识梳理 知识点一　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 5 项目 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 ax2＋bx＋c＝ 0(a＞0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 __________________ R {x|x＜x1，或x＞x2} 知识梳理 知识点一　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 6 1.＞0(＜0)⇔__________________. 2.≥0(≤0)⇔_________________________. f (x)g(x)＞0(＜0) f (x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0 知识梳理 知识点二　分式不等式与整式不等式 7 |x|＞a(a＞0)的解集为_________________________，|x|＜a(a＞0)的解集 为____________. (－∞，－a)∪(a，＋∞) (－a，a) 知识梳理 知识点三　简单的绝对值不等式 8 1.不等式(x－1)2＜x＋5的解集为(　　) A.{x|1＜x＜4}　　　　　　 B.{x|－1＜x＜4} C.{x|－4＜x＜1} D.{x|－1＜x＜3} 解析：原不等式可化为x2－3x－4＜0，即(x＋1)(x－4)＜0，故其解集为{x|－1＜x＜4}. B 自我评价 9 2.不等式＜0的解集为(　　) A.⌀ B.(2，3) C.(－∞，2)∪(3，＋∞) D.(－∞，＋∞) 解析：＜0等价于(x－3)(x－2)＜0，解得 2＜x＜3. B 自我评价 10 3.(人A必修第一册P55T5改编)已知A＝{x|x2－16＜0}，B＝{x|x2－4x＋3 ＞0}，则A∪B＝__________.  解析：已知A＝{x|x2－16＜0}＝{x|－4＜x＜4}，B＝{x|x2－4x＋3＞0}＝{x|x＜1，或x＞3}，则A∪B＝R. R 自我评价 11 4.已知不等式x2－ax－b＜0的解集为(2，3)，则a＋b＝__________.  解析：由题意知，方程x2－ax－b＝0的解为x＝2或x＝3， 由根与系数的关系，得解得 所以a＋b＝5－6＝－1. －1 自我评价 12 两个恒成立的充要条件 1.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔ 2.一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔ 常用结论 13 关键能力　重点探究 14 [例1]　(多选)下列选项中，正确的是(　 　) A.不等式x2＋x－2＞0的解集为{x|x＜－2，或x＞1} B.不等式≤1的解集为{x|－3≤x＜2} C.不等式|x－2|≥1的解集为{x|1≤x≤3} D.设x∈R，则“|x－1|＜1”是“＜0”的充分不必要条件 ABD 考点一　不含参数的不等式的解法 15 [解析]　因为方程x2＋x－2＝0的解为x1＝1，x2＝－2，所以不等式x2＋x－2＞0的解集为{x|x＜－2，或x＞1}，故A正确； 因为－1≤0，即≤0，即(x＋3)(x－2)≤0(x－2≠0)，解得－3≤x＜2，所以不等式的解集为{x|－3≤x＜2}，故B正确； 由|x－2|≥1，可得x－2≤－1或x－2≥1， 解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x|x≤1，或x≥3}，故C错误； 由|x－1|＜1，可得－1＜x－1＜1，解得0＜x＜2，由＜0，可得－4＜x＜5，因此，“|x－1|＜1”是“＜0”的充分不必要条件，故D正确. 考点一　不含参数的不等式的解法 16 解一元二次不等式的步骤 方法总结 1.(2025·广东广州质检)已知函数f (x)＝x2，g(x)＝若 g(x)满足g(x)≤2－x，则x的取值范围为__________.  解析：由已知得g(x)＝当x≥0时，x2≤2－x，解得－2≤x≤1，因此0≤x≤1；当x＜0时，－x2≤2－x，不等式恒成立，因此x＜0.综上，x的取值范围为x≤1. x≤1 跟踪训练 2.不等式 ＞1的解集为______________________.  解析：原式移项得－1＞0， 合并得＞0， 等价于(3x＋1)(－x－2)＞0， 即(3x＋1)(x＋2)＜0，解得－2＜x＜－. 所以原不等式的解集为. 跟踪训练 [例2]　解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R). [解]　原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0. ①当a＝0时，原不等式可化为x＋1≤0，解得x≤－1. ②当a＞0时，原不等式可化为(x＋1)≥0， 解得x≥或x≤－1. ③当a＜0时，原不等式化为(x＋1)≤0. 当＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤； 考点二　含参数的不等式的解法 20 当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1； 当＜－1，即－2＜a＜0时，解得≤x≤－1. 综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}； 当a＞0时，不等式的解集为； 当－2＜a＜0时， 不等式的解集为； 当a＝－2时，不等式的解集为{x|x＝－1}； 当a＜－2时，不等式的解集为. 考点二　含参数的不等式的解法 21 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有： (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类. (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数. (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论. 方法总结 (2025·广西桂林模拟)解关于x的不等式12x2－ax＞a2(a∈R). 解：原不等式可化为12x2－ax－a2＞0， 即(4x＋a)(3x－a)＞0. 令(4x＋a)(3x－a)＝0， 解得x1＝－，x2＝. 当a＞0 时，原不等式的解集为 ∪； 当a＝0 时，原不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a＜0 时，原不等式的解集为 ∪. 跟踪训练 [例3]　(1)(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－∞，－2) ∪(3，＋∞)，则下列选项正确的是( 　　) A.a＞0 B.不等式bx＋c＞0的解集是{x|x＜－6} C.a＋b＋c＞0 D.不等式cx2－bx＋a＜0的解集为∪ ABD 考点三　三个二次的关系 24 [解析]　∵关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，∴a＞0，A选项正确； 已知－2和3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系得 则b＝－a，c＝－6a，则a＋b＋c＝－6a＜0，C选项错误； 不等式bx＋c＞0即为－ax－6a＞0，解得x＜－6，B选项正确； 不等式cx2－bx＋a＜0即为－6ax2＋ax＋a＜0，即6x2－x－1＞0，解得x＜ －或x＞，D选项正确. 考点三　三个二次的关系 25 (2)已知二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c，且f (x)＜0恰有3个整数解，写出一 个符合题意的函数解析式为f (x)＝____________________.  [解析]　因为f (x)＜0恰有3个整数解， 所以设三个整数解分别为1，2，3， 则f (x)＜0的解集可以为(0，4)， 故x1＝0，x2＝4是ax2＋bx＋c＝0的两个根， 故0＋4＝－，0×4＝， 所以c＝0，b＝－4a， 令a＝1，则b＝－4， 故f (x)＝x2－4x.(答案不唯一) x2－4x(答案不唯一) 考点三　三个二次的关系 26 已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负. 方法总结 1.(多选)已知关于x的不等式a(x＋1)(x－3)＋1＞0(a≠0)的解集是(x1，x2) (x1＜x2)，则下列结论正确的是(　 　) A.x1＋x2＝2　　　　　　　 B.x1x2＜－3 C.－1＜x1＜x2＜3 D.x2－x1＞4 解析：由题意得，a＜0，且x1，x2是一元二次方程a(x＋1)(x－3)＋1＝0，即ax2－2ax＋1－3a＝0的两根， 所以x1＋x2＝－＝2，故A正确； x1x2＝－3＜－3，故B正确； x2－x1＝＝2＞4，故D正确； 由x2－x1＞4，可得－1＜x1＜x2＜3是错误的，故C错误. ABD 跟踪训练 2.若关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集为{x|x1＜x＜x2}，且x2 －x1＝15，则a的值为__________.  解析：由题知x1，x2是一元二次方程x2－2ax－8a2＝0(a＞0)的两个实数根， 所以Δ＝4a2＋32a2＝36a2＞0，且x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2. 又因为x2－x1＝15， 所以152＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4a2＋32a2＝36a2. 又a＞0，解得a＝. 跟踪训练 课时作业　巩固提升 30 1.不等式4x2＋4x＋1≤0的解集为(　　) A.⌀　　　　　　　　　　 B.R C. D. 解析：因为4x2＋4x＋1＝(2x＋1)2， 所以4x2＋4x＋1≤0 的解集为. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 D A组　基础保分练 31 2.已知集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝，则A∩B等于(　　) A.{x|－1＜x≤3} B.{x|x≤3或x＞4} C.{x|－2≤x≤4} D.{x|－2≤x≤－1} 解析：因为不等式x2－x－6≤0的解集为{x|－2≤x≤3}， 又不等式≤0的解集为{x|－1＜x≤4}， 所以A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|－1＜x≤4}， 所以A∩B＝{x|－1＜x≤3}. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A A组　基础保分练 32 3.已知不等式ax2－bx－1＞0的解集是，则不等式x2－ bx－a≥0的解集是(　　) A.{x|2＜x＜3} B.{x|x≤2，或x≥3} C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B A组　基础保分练 33 解析：∵不等式ax2－bx－1＞0的解集是，∴ax2－bx－1＝0的解是x1＝－和x2＝－，且a＜0， ∴ 解得 则不等式x2－bx－a≥0即为x2－5x＋6≥0，解得x≤2或x≥3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 34 4.若关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0的解集中恰有2个整数解，则实数 a的取值范围为(　　) A.(－1，0]∪[2，3) B.[－2，－1)∪(3，4] C.(－2，－1)∪(3，4) D.[－1，0)∪(2，3] 解析：不等式x2－(a＋1)x＋a＜0可化为(x－1)(x－a)＜0， 当a＝1时，不等式无解； 当a＜1时，不等式的解为a＜x＜1，若解集中恰有2个整数解，则－2≤a＜－1； 当a＞1时，不等式的解为1＜x＜a，若解集中恰有2个整数解，则3＜a≤4. 综上，a的取值范围是[－2，－1)∪(3，4]. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B A组　基础保分练 35 5.商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润.已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每 件可定为(　　) A.11元 B.16元 C.12元到16元之间 D.13元到15元之间 解析：设销售价定为每件x元，利润为y元， 则y＝(x－8)[100－10(x－10)]， 由题意可得：(x－8)[100－10(x－10)]＞320， 即x2－28x＋192＜0，所以(x－12)(x－16)＜0， 解得12＜x＜16， 所以每件销售价应定为12元到16元之间. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 C A组　基础保分练 36 6.(多选)下列四个不等式中，解集为⌀的是(　 　) A.－x2＋x＋1≤0 B.2x2－3x＋4＜0 C.x2＋3x＋10≤0 D.－x2＋4x－＞0(a＞0) 解析：对于A，－x2＋x＋1≤0对应函数y＝－x2＋x＋1的图象开口向下，显然解集不为⌀； 对于B，2x2－3x＋4＜0对应函数图象开口向上，Δ＝9－32＜0，其解集为⌀； 对于C，x2＋3x＋10≤0对应函数图象开口向上，Δ＝9－40＜0，其解集为⌀； 对于D，－x2＋4x－＞0(a＞0)对应函数图象开口向下，Δ＝16－4≤16－4×2＝0，当且仅当a＝2时，取等号，其解集为⌀. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 BCD A组　基础保分练 37 7.(多选)对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式a(x－a)(x＋1) ＞0的解集可能为(　 　) A.⌀ B.(－1，a) C.(a，－1) D.(a，＋∞) 解析：根据题意，易知a≠0. 当a＞0时，函数y＝a(x－a)(x＋1)的图象开口向上，故不等式的解集为(－∞，－1)∪(a，＋∞). 当a＜0时，函数y＝a(x－a)(x＋1)的图象开口向下，若a＝－1，则不等式的解集为⌀； 若－1＜a＜0，则不等式的解集为(－1，a)； 若a＜－1，则不等式的解集为(a，－1). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 ABC A组　基础保分练 38 8.(多选)设[x]表示不大于实数x的最大整数，则满足关于x的不等式[x]2＋ [x]－12≤0的解可以为( 　　) A. B.3 C.－4.5 D.－5 解析：因为不等式[x]2＋[x]－12≤0， 所以([x]－3)([x]＋4)≤0， 所以－4≤[x]≤3.又因为[x]表示不大于实数x的最大整数， 所以不等式[x]2＋[x]－12≤0的解可以为，3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 AB A组　基础保分练 39 9.甲、乙两人解关于x的不等式x2＋bx＋c＜0，甲写错了常数b，得到的解集为(－3，2)，乙写错了常数c，得到的解集为(－3，4).那么原不等 式的解集为_____________.  解析：依题意知，c＝－3×2＝－6，－b＝－3＋4＝1，即b＝－1， 因此不等式x2＋bx＋c＜0，即x2－x－6＜0， 解得－2＜x＜3， 所以原不等式的解集为(－2，3). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 (－2，3) A组　基础保分练 40 10.关于x的不等式(ax－b)(x－2)＞0的解集为，则满足条件 的一组有序实数对(a，b)的值可以是_______________________.  解析：由题意得即a＝2b＜0，则满足条件的一组有序实数对(a，b)的值可以是(－2，－1). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 (－2，－1)(答案不唯一) A组　基础保分练 41 11.某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为L，其中k为常数.若汽车以120 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L，则k＝________，欲使每小时的油耗不超过9 L，则 速度x的取值范围为______________.  2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 100　 [60，100] A组　基础保分练 42 解析：由题意，当x＝120时， ＝11.5， 解得k＝100. 由≤9， 得x2－145x＋4 500≤0， 解得45≤x≤100. 又∵60≤x≤120， ∴60≤x≤100. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 A组　基础保分练 43 12.设函数f (x)＝ax2－(1＋a)x＋1. (1)若a＝－2，解不等式f (x)＞0； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 解：当a＝－2时，由f (x)＝－2x2＋x＋1＞0， 即(2x＋1)(x－1)＜0， 解得－＜x＜1， 故当a＝－2时，不等式f (x)＞0的解集为. A组　基础保分练 44 (2)若a＞0，解关于x的不等式f (x)＜0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 解：由f (x)＜0，可得(ax－1)(x－1)＜0， 所以(ax－1)(x－1)＝0的两根为x1＝1，x2＝. 当0＜a＜1时，＞1，解得1＜x＜； 当a＝1时，原不等式即为(x－1)2＜0，该不等式的解集为⌀； 当a＞1时，＜1，解得＜x＜1. 综上所述，当0＜a＜1时，原不等式的解集为； 当a＝1时，原不等式的解集为⌀； 当a＞1时，原不等式的解集为. A组　基础保分练 13.关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(m，n)(m＜n)，有以下结论： 甲：m＝－3；乙：n＝－1；丙：m＋n＝－2；丁：ac＜0. 如果只有一个假命题，则假命题是(　　) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B B组　能力提升练 46 解析：假设只有甲是假命题，当n＝－1，m＋n＝－2时，m＝－1，所以mn＝1＝＞0，所以ac＜0是假命题，与已知矛盾，所以这种情况不符合题意； 假设只有乙是假命题，当m＝－3，m＋n＝－2时，n＝1，所以mn＝－3＝＜0，所以ac＜0，符合题意； 假设只有丙是假命题，m＝－3，n＝－1，所以mn＝3＝＞0，所以ac＜0是假命题，与已知矛盾，所以这种情况不符合题意； 假设只有丁是假命题，m＝－3，n＝－1时，m＋n≠－2，与已知矛盾，所以这种情况不符合题意. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B组　能力提升练 47 14.一般地，把b－a称为区间(a，b)的“长度”.已知关于x的不等式x2－kx＋2k＜0有实数解，且解集区间长度不超过3个单位长度，则实数k的 取值范围为_________________.  解析：不等式x2－kx＋2k＜0有实数解等价于x2－kx＋2k＝0有两个不相等的实数根， 则Δ＝(－k)2－8k＞0，解得k＞8或k＜0. 设x2－kx＋2k＝0的两根为x1，x2， 令x1＜x2，则x1＋x2＝k，x1x2＝2k. 由题意得x2－x1＝≤3， 解得－1≤k≤9，又k＞8或k＜0， 所以－1≤k＜0或8＜k≤9， 所以实数k的取值范围为[－1，0)∪(8，9]. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 [－1，0)∪(8，9] B组　能力提升练 48 15.已知集合：①A＝；②A＝{x|x2－2x－3＜0}；③A＝{x||x－1|＜2}.集合B＝{x|x2－(2m＋1)x＋m2＋m＜0}(m为常数)，从①②③这三个条件中任选一个作为集合A，求解下列问题： (1)定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，当m＝0时，求A－B； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 解：若选①： ＞1，若x＋1＞0，即x＞－1时，＞1，即4＞x＋1，解得－1＜x＜3. 若x＋1＜0，则＜0，则＞1无解. 所以＞1的解集为(－1，3)， B组　能力提升练 49 故A＝(－1，3).由m＝0，得x2－x＜0，即x(x－1)＜0，解得0＜x＜1， 故B＝(0，1)，则A－B＝(－1，0]∪[1，3). 若选②： x2－2x－3＜0，解得－1＜x＜3， 故A＝(－1，3). 由m＝0，得x2－x＜0，即x(x－1)＜0，解得0＜x＜1，故B＝(0，1)， 则A－B＝(－1，0]∪[1，3). 若选③： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B组　能力提升练 50 |x－1|＜2，－2＜x－1＜2，解得－1＜x＜3， 故A＝(－1，3). 由m＝0，得x2－x＜0，即x(x－1)＜0，解得0＜x＜1， 故B＝(0，1)， 则A－B＝(－1，0]∪[1，3). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 B组　能力提升练 51 (2)设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 解：由(1)可知，条件①②③求出的集合A相同，即A＝(－1，3). 由x2－(2m＋1)x＋m2＋m＜0，即(x－m)[x－(m＋1)]＜0， 解得B＝(m，m＋1). 因为p是q成立的必要不充分条件，所以B⫋A，所以 或解得－1≤m≤2，故m的取值范围为[－1，2]. B组　能力提升练 52 $$