精品解析：甘肃省兰州市第三十五中学2023—2024学年下学期七年级期末数学试卷

2023-2024学年甘肃省兰州三十五中七年级（下） 期末数学试卷 一、选择题 1. 2024年5月5日至10日，习近平主席的欧洲三国之行，彰显了我国大国领袖的全球视野、天下情怀和时代担当．下列国际组织的图标中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 计算a6÷a2，结果正确的是（　　） A. 3 B. 4a C. a3 D. a4 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，人字梯的支架，的长度都为（连接处的长度忽略不计），则、两点之间的距离可能是（ ） A. B. C. D. 5. 投掷两枚质地均匀的正方体骰子，下列事件是必然事件的是（ ） A. 点数的和为6 B. 点数的和小于13 C. 点数的和大于12 D. 点数的和为奇数 6. 如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（ ） A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 7. 向湖中扔一个小石子，湖中会荡起层层涟漪．若圆形水波的半径为，面积为．对于函数关系式，下列判断正确的是（ ） A. 2是变量 B. 是变量 C. 是变量 D. 是常量 8. 随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．如图是共享单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉．已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 下列说法正确的有（ ）个． ①角的对称轴是它的角平分线；②两点之间直线最短；③三角形三条高交于一点；④在同一平面内，两条直线不平行则一定相交；⑤三角形三内角角平分线一定交于三角形内部 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，已知，，给出下面结论：①，②，③，④平分，其中正确的结论有（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④ 11. 有两个正方形，，现将放在的内部如图甲，将，并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形，的面积之和为（ ） A. B. C. D. 12. 如图， 将沿着过中点的直线折叠， 使点落在边上的处， 称为第 1 次操作， 折痕到的距离记为；还原纸片后， 再将沿着过中点的直线折叠， 使点落在边上的处， 称为第 2 次操作， 折痕到的距离记为；按上述方法不断操作下去，经过第 2015 次操作后得到的折痕到的距离记为． 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 13. 芯片内部有数以亿计的晶体管．某品牌手机自主研发了新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为________． 14. 若xa＝2，xb＝5，那么x2a+b的值是___． 15. 长方形的长，宽，沿对角线对折后，得到如图的几何图形，阴影部分的周长是（ ）． 16. 如图，已知中，，点D为的中点，如果点P在线段上以的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段上由点A向C点以的速度运动，经过_______秒后，与全等． 三、解答题 17. 计算： （1） （2） （3） （4） 18. 运用乘法公式简便计算： （1）； （2） 19. 先化简，再求值：（x+2y）（x﹣2y）+（20xy3﹣8x2y2）÷4xy，其中x＝2018，y＝2019． 20. 如图，在高速公路的同一侧有两座城市． （1）试在直线上找出点，使的距离之和最小； （2）试在直线上找出点，使得． 21. 已知是等腰三角形，平分，若，求的长． 22. 如图所示，在中，，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，求∠C的度数． 23. 如图，教学楼与操场上的旗杆相距，小林同学从教学楼B点沿走到D点，一定时间后他到达P点，此时他测得和的夹角为，且，已知，旗杆的高为，请你求出教学楼的高度． 24. △ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB、AC于点E、F． （1）求证：EF＝BE＋FC； （2）若△ABC的周长比△AEF的周长大10，试求出BC的长度． 25. 为了解居民对垃圾分类的知晓程度（A．“非常了解”；B．“了解”；C．“基本了解”；D．“不太了解”），佳佳随机调查了若干人根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： （1）随机调查了_____人，扇形统计图中表示“”的扇形圆心角度数为_____度； （2）补全条形统计图； （3）估计在名市民中基本了解垃圾分类的人数． （4）若要在被调查的“非常了解”、“了解”、“基本了解”的居民中抽取一名参与居民参与垃圾分类知识大赛，求抽到“非常了解”的居民概率． 26. 如图，是平分线上的一点，若．试说明：． 27. 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数;第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等． （1）根据上面的规律，写出的展开式． （2）利用上面的规律计算： 28. 在苏科版义务教育教科书数学七下曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： （1）【问题再现】如图1，在中，的角平分线交于点P，若，则 ． （2）【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，求与之间的数量关系； （3）【拓展提升】如图3，在四边形中， ，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接的角平分线交于点Q，若，求和，之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年甘肃省兰州三十五中七年级（下） 期末数学试卷 一、选择题 1. 2024年5月5日至10日，习近平主席的欧洲三国之行，彰显了我国大国领袖的全球视野、天下情怀和时代担当．下列国际组织的图标中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别．轴对称图形是指把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的概念逐一进行辨别，即可解答． 【详解】解：A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，直线两旁的部分能够互相重合； D项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形． 故选：D． 2. 计算a6÷a2，结果正确的是（　　） A. 3 B. 4a C. a3 D. a4 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案． 【详解】解：a6÷a2＝a6-2＝a4． 故选：D． 【点睛】此题考查的是幂的运算性质,掌握同底数幂的除法运算法则是解决此题的关键． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方，完全平方公式，积的乘方，合并同类项，根据幂的乘方，完全平方公式，积的乘法，合并同类项法则逐一排除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算正确，符合题意； 、与不是同类项，不可以合并，原选项运算错误，不符合题意； 故选：． 4. 如图，人字梯的支架，的长度都为（连接处的长度忽略不计），则、两点之间的距离可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形任意一边小于其它两边之和是解决问题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即． 故选：A． 5. 投掷两枚质地均匀的正方体骰子，下列事件是必然事件的是（ ） A. 点数的和为6 B. 点数的和小于13 C. 点数的和大于12 D. 点数的和为奇数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、点数的和为6，是随机事件，不符合题意； B、点数的和小于13，是必然事件，符合题意； C、点数的和大于12，是不可能事件，不符合题意； D、点数的和为奇数，是随机事件，不符合题意； 故选：B． 6. 如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（ ） A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定可作出选择. 【详解】解：在△ADC和△ABC中， ， ∴△ADC≌△ABC（SSS）， ∴∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE． ∴AE是∠PRQ的平分线 故选D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键. 7. 向湖中扔一个小石子，湖中会荡起层层涟漪．若圆形水波的半径为，面积为．对于函数关系式，下列判断正确的是（ ） A. 2是变量 B. 是变量 C. 是变量 D. 是常量 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查函数中常量与变量的概念，掌握其概念是解题的关键．根据常量（不会发生变化的量）与变量（会发生变化的量）的定义即可求解． 【详解】解：关系式：中、是变量，、是常量，故C正确． 故选：C． 8. 随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．如图是共享单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉．已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出． 由平行线的性质推出，求出．即可得到的度数． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 故选：D． 9. 下列说法正确的有（ ）个． ①角的对称轴是它的角平分线；②两点之间直线最短；③三角形三条高交于一点；④在同一平面内，两条直线不平行则一定相交；⑤三角形三内角角平分线一定交于三角形内部 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据对称轴、两点之间的距离、三角形的高、平行线的定义、角平分线等知识点逐项判断即可． 【详解】解：①角的对称轴是它的角平分线所在的直线，即①说法不正确； ②两点之间线段最短，即②说法不正确； ③三角形三条高或高的延长线交于一点，即③说法不正确； ④在同一平面内，两条直线不平行则一定相交，则④说法正确； ⑤三角形三内角角平分线一定交于三角形内部．则⑤说法正确； 正确的共有2个． 故选B． 【点睛】本题主要考查了对称轴、两点之间的距离、三角形的高、平行线的定义、角平分线等知识点，理解相关概念是解答本题的关键． 10. 如图，已知，，给出下面结论：①，②，③，④平分，其中正确的结论有（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．对各个选项进行验证从而得出最终答案，做题时，要结合已知条件与全等的判定方法对选项逐一验证． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故①正确； ∵，，， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 故③正确； ∵， ∴， 即平分， 故④正确； 所以正确的有四个， 故选：D． 11. 有两个正方形，，现将放在的内部如图甲，将，并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形，的面积之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别设正方形A，B的边长为a，b，再表示出图甲和图乙中阴影部分的面积，最后通过整式的计算可得此题结果． 【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， 可得， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了完全平方公式几何背景问题的解决能力，关键是能准确表示相关图形面积，并能进行计算归纳． 12. 如图， 将沿着过中点的直线折叠， 使点落在边上的处， 称为第 1 次操作， 折痕到的距离记为；还原纸片后， 再将沿着过中点的直线折叠， 使点落在边上的处， 称为第 2 次操作， 折痕到的距离记为；按上述方法不断操作下去，经过第 2015 次操作后得到的折痕到的距离记为． 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质， 三角形中位线的性质， 等腰三角形的性质， 找出规律是解题的关键 ．根据中点的性质及折叠的性质可得，从而可得，结合折叠的性质，，可得，继而判断，得出是的中位线， 证得，得到，求出，同理，，于是经过第次操作后得到的折痕到的距离，求得结果． 【详解】解： 连接， 由折叠的性质可得：，， 又是中点， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 同理，，， 经过第次操作后得到的折痕到的距离， ， 故选：D． 二、填空题 13. 芯片内部有数以亿计的晶体管．某品牌手机自主研发了新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 若xa＝2，xb＝5，那么x2a+b的值是___． 【答案】20 【解析】 【分析】根据同底数幂的运算进行求解即可． 【详解】解：∵xa＝2，xb＝5， ∴x2a＝22＝4， ∴x2a+b＝x2a•xb＝4×5＝20． 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查同底数幂的运算，熟练掌握同底数幂的运算是解题的关键． 15. 长方形的长，宽，沿对角线对折后，得到如图的几何图形，阴影部分的周长是（ ）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，长方形的性质，解决此题关键是明确折叠前后对应边相等．由题意可知：折叠后落在的位置，即， ，阴影部分的周长，即阴影部分的周长（长宽），把长方形长、宽的数据代入计算即可． 【详解】解：由折叠可知，， ， 阴影部分的周长， 即， 故答案为：． 16. 如图，已知中，，点D为的中点，如果点P在线段上以的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段上由点A向C点以的速度运动，经过_______秒后，与全等． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的性质，关键是要分两种情况讨论．由于和不能同时成立，因此不存在的情况；当时，，计算得到P、Q运动的时间是，得到经过2秒后，与全等． 【详解】解：∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， （1）当时，， ∵， ∴P、Q运动的时间是， ∴， ∴， ∴不存在的情况； （2）当时，， ∵， ∴， ∴P、Q运动的时间是， ∴， ∴， ∴经过2秒后，与全等． 故答案为：2． 三、解答题 17. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查的是整式的混合运算及实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键， （1）先算幂的运算，再合并即可； （2）先算乘方、零次幂及负整数次幂，再合并即可； （3）根据多项式乘以多项式法则计算即可； （4）按运算顺序，先算多项式乘以多项式及单项式乘以多项式，再合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ； 【小问4详解】 ． 18. 运用乘法公式简便计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查乘法公式，熟练掌握乘法公式，是解题的关键： （1）运用完全平方公式进行计算即可； （2）运用平方差公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 ． 19. 先化简，再求值：（x+2y）（x﹣2y）+（20xy3﹣8x2y2）÷4xy，其中x＝2018，y＝2019． 【答案】(x﹣y)2；1. 【解析】 【分析】首先利用多项式的乘法法则以及多项式与单项式的除法法则计算，然后合并同类项即可化简，然后代入数值计算即可． 【详解】原式= x2﹣4y2+4xy(5y2-2xy)÷4xy ＝x2﹣4y2+5y2﹣2xy ＝x2﹣2xy+y2， ＝(x﹣y)2， 当x＝2018，y＝2019时， 原式＝(2018﹣2019)2＝(﹣1)2＝1． 【点睛】本题考查的是整式的混合运算，正确利用多项式的乘法法则以及合并同类项法则是解题的关键. 20. 如图，在高速公路的同一侧有两座城市． （1）试在直线上找出点，使的距离之和最小； （2）试在直线上找出点，使得． 【答案】（1） 如图所示，点即为所求； （2） 如图所示，点即为所求． 【解析】 【分析】（）作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，由轴对称可得，则，根据两点之间线段最短，可知此时的距离之和最小，故点即为所求； （）连接，作线段的垂直平分线交直线于点，由线段垂直平分线的性质可得，故点即为所求； 本题考查了轴对称最短线段问题，线段垂直平分线的作法和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 已知是等腰三角形，平分，若，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形三线合一性质，由等腰三角形性质推出即可． 【详解】解：平分，， ． 22. 如图所示，在中，，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，求∠C的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质求得∠BEA=80°；根据线段垂直平分线的性质得AE=CE，则∠C=∠EAC，再根据三角形的外角的性质即可得答案． 【详解】∵∠B=90°，∠BAE=10°， ∴∠BEA=180°-∠B-∠BAE=80°， ∵ED是AC的垂直平分线， ∴AE=EC， ∴∠C=∠EAC． ∵∠BEA=∠C+∠EAC， ∴∠C=40°． 【点睛】此题综合运用了线段垂直平分线的性质、三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质，三角形的内角和是180°；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；等腰三角形的两个底角相等；熟练掌握相关性质和定理是解题关键． 23. 如图，教学楼与操场上的旗杆相距，小林同学从教学楼B点沿走到D点，一定时间后他到达P点，此时他测得和的夹角为，且，已知，旗杆的高为，请你求出教学楼的高度． 【答案】教学楼的高度为 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键．先证明，再结合证明，即可得到结论． 【详解】解：∵和的夹角为， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：教学楼的高度为． 24. △ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB、AC于点E、F． （1）求证：EF＝BE＋FC； （2）若△ABC的周长比△AEF的周长大10，试求出BC的长度． 【答案】 （1）证明：∵EF∥BC， ∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB， ∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O， ∴∠EBO＝∠OBC，∠OCB＝∠FCO， ∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO， ∴BE＝OE，OF＝FC； ∴EF＝BE＋FC； （2）10 【解析】 【分析】（1）由角平分线的定义可得到∠ABO＝∠OBC，再根据平行线的性质得到∠EOB＝∠OBC，因此∠ABO＝∠EOB，从而BE＝OE，同理CF＝OF，即可得到结论； （2）根据三角形的周长的计算公式、线段和差关系，即可解题． 【详解】（1） 略 （2）解：由（1）证得BE＝OE，OF＝CF， ∴△AEF的周长＝AE＋EF＋AF＝AE＋EO＋OF＋AF＝AE＋BE＋FC＋AF＝AB＋AC， ∵△ABC的周长比△AEF的周长大10， ∴BC＝AB＋AC＋BC﹣AB＋AC＝10． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、等角对等边、平行线的性质等，建立线段之间等量关系是解题关键． 25. 为了解居民对垃圾分类的知晓程度（A．“非常了解”；B．“了解”；C．“基本了解”；D．“不太了解”），佳佳随机调查了若干人根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： （1）随机调查了_____人，扇形统计图中表示“”的扇形圆心角度数为_____度； （2）补全条形统计图； （3）估计在名市民中基本了解垃圾分类的人数． （4）若要在被调查的“非常了解”、“了解”、“基本了解”的居民中抽取一名参与居民参与垃圾分类知识大赛，求抽到“非常了解”的居民概率． 【答案】（1）500，108 （2） 补全条形统计图如图所示： （3）2000人 （4） 【解析】 【分析】（1）从两个统计图中可知“非常了解”的人数为150人，占调查人数的，可求出调查人数；“非常了解”所占圆心角的度数为的； （2）求出“了解”的人数，即可补全条形统计图； （3）样本估计总体，样本中“基本了解”占调查人数的，因此估计10000人的是“基本了解”； （4）得到被调查的“非常了解”、“了解”、“基本了解”的居民人数，被调查的“非常了解”的居民人数，由简单概率公式代值求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：由条形统计图人，， 故答案为：500，108； 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 解：人， 答：在10000名市民中基本了解垃圾分类的人数为2000人； 【小问4详解】 解：被调查的“非常了解”、“了解”、“基本了解”的居民有人，被调查的“非常了解”的居民有人， 抽到“非常了解”的居民概率． 【点睛】考查概率统计综合，涉及条形统计图与扇形统计图信息关联、求扇形统计图某项目圆心角、补全条形统计图、由样本估计总体、一步概率问题及简单概率公式等知识，理解统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量和数量关系式解决问题的关键． 26. 如图，是平分线上的一点，若．试说明：． 【答案】 证明：如图，过点分别作于点，于点， 则， ∵是的平分线，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，补角性质，全等三角形的判定和性质，过点分别作于点，于点，由角平分线的性质可得，由补角性质可得，进而可证明，即可求证，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】略 27. 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数;第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等． （1）根据上面的规律，写出的展开式． （2）利用上面的规律计算： 【答案】（1）;（2）1 【解析】 【分析】（1）根据材料（a+b）2=a2+2ab+b2和（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式，可直接得出的展开式； （2）根据材料的逆运算可得出答案． 【详解】（1）如图， 则（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5； （2）25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1． =25+5×24×（﹣1）+10×23×（﹣1）2+10×22×（﹣1）3+5×2×（﹣1）4+（﹣1）5． =， =1． 【点睛】本题考查了完全平方公式，学生的观察分析逻辑推理能力，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键． 28. 在苏科版义务教育教科书数学七下曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： （1）【问题再现】如图1，在中，的角平分线交于点P，若，则 ． （2）【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，求与之间的数量关系； （3）【拓展提升】如图3，在四边形中， ，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接的角平分线交于点Q，若，求和，之间的数量关系． 【答案】（1） （2） （3）当点F在点E左侧时， ；当点F在点D，E之间时，；当点F在点D的右侧， 【解析】 【分析】此题主要考查了角平分线定义，平行线性质，三角形内角和定理，准确识图，熟练掌握角平分线定义，平行线性质，三角形内角和定理是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点． （1）由角平分线定义得，再由三角形内角和定义得，则，然后由三角形内角和定理得，由此可得的度数； （2）设，由角平分线性质得，则，再由得，由此得，然后由得，由此可得结论； （3）分三种情况讨论如下：①当点F在点E左侧时；②当点F在点D，E之间时；③当点F在点D的右侧，根据角平分线定义结合三角形内角和定理可得出和α，β之间的数量关系，综上所述即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵的角平分线交于点P， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 设， ∵的角平分线与的角平分线交于点P， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 ∵点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合）， ∴有以下三种情况： ①当点F在点E左侧时，如图所示： ∵， ∴， ∵的角平分线交于点Q，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； ②当点F在点D，E之间时，如图所示： 同理得：， ∴， ∴， ∴； ③当点F在点D的右侧，如图所示： 同理得：， ∴， 综上所述：当点F在点E左侧时， ；当点F在点D，E之间时，；当点F在点D的右侧，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $