课时作业22 导数的应用（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

课时作业(二十二)　导数的应用 　　　　　　　　　　　　　　　　 [基础达标练] 1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是(　　) A．8 B． C．－1 D．－8 解析：选C　原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1. 2．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2 s内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为s(t)＝－t3－4t2＋20t＋15，则s′(1)的实际意义为(　　) A．汽车刹车后1 s内的位移 B．汽车刹车后1 s内的平均速度 C．汽车刹车后1 s时的瞬时速度 D．汽车刹车后1 s时的位移 解析：选C　由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度. 3．把长为12厘米的细铁丝锯成两断，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是(　　) A． cm2 B．4 cm2 C．3 cm2 D．2 cm2 解析：选D　设一个三角形的边长为x cm， 则另一个三角形的边长为(4－x) cm， 两个三角形的面积和为 S＝x2＋(4－x)2＝x2－2x＋4. 令S′＝x－2＝0，则x＝2，所以Smin＝2. 4．某箱子的容积与底面边长x(单位：m)的关系为V(x)＝x2·(0<x<60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为____________m. 解析：V(x)＝－x3＋30x2， ∴V′(x)＝－x2＋60x＝－x(x－40)， ∴当0<x<40时，V′(x)>0. 当40<x<60时，V′(x)<0， ∴V′(x)在(0，40)上单调递增，在(40，60)上单调递减， ∴x＝40是V(x)的极大值点，也是最大值点． 答案：40 5．某工厂需要围建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为________． 解析：设长、宽分别为a、b，则ab＝512，且l＝a＋2b， ∴l＝2b＋，∴l′＝2－， 令l′＝0得b2＝256，∴b＝16，a＝32. 即当长、宽分别为32 m、16 m时最省材料． 答案：32 m，16 m 6．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P元，销量为Q，销量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)__________元． 解析：设毛利润为L(P)，由题意知， L(P)＝PQ－20Q ＝(8300－170P－P2)(P－20)＝－P3－150P2＋11 700P－166 000 所以L′(P)＝－3P2－300P＋11 700. 令L′(P)＝0，解得P＝30或P＝－130(舍去). 此时，L(30)＝23 000. 根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元． 答案：23 000 7．某年高考，某考生在参加数学科考试时，其解答完的题目数量y(单位：道)与所用时间x(单位：分钟)近似地满足函数关系y＝f(x)＝2. (1)求x从0分钟变化到36分钟时，y关于x的平均变化率，并解释它的实际意义； (2)求f′(64)，f′(100)，并解释它们的实际意义． 解：(1)x从0分钟变化到36分钟时，y关于x的平均变化率为＝＝(道/分钟). 它表示该考生前36分钟平均每分钟解答道题． (2)因为f′(x)＝， 所以f′(64)＝(道/分钟)，f′(100)＝(道/分钟). 它们分别表示该考生在第64分钟和第100分钟时每分钟可解答和道题． 8．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为：y＝x3－x＋8(0<x≤120).已知甲、乙两地相距100千米． (1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 解：(1)当x＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了＝2.5(小时)，要耗油×2.5＝17.5(升)， 即当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油17.5升． (2)当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升， 依题意得 h(x)＝· ＝x2＋－(0<x≤120)， h′(x)＝－＝(0<x≤120). 令h′(x)＝0，得x＝80， 当x∈(0，80)时，h′(x)<0，h(x)是减函数； 当x∈(80，120)时，h′(x)>0，h(x)是增函数． ∴当x＝80时，h(x)取到极小值h(80) ＝11.25. ∵h(x)在(0，120]上只有一个极值， ∴h(80)为最小值． ∴当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升． [能力提升练] 9．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2，生产总成本y2(万元)也是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2 (x>0)，为使利润最大，应生产(　　) A．6千台 B．7千台 C．8千台 D．9千台 解析：选A　产品利润为y＝y1－y2＝17x2－2x3＋x2 ＝18x2－2x3 (x>0)，y′＝36x－6x2. 令y′＝0得：x＝0或x＝6(x＝0舍去). 当0<x<6时，y′>0， 当x>6时，y′<0，即x＝6时，y取最大值． ∴当生产6千台时，利润最大． 10．一列火车机车每小时消耗的费用与火车行驶的速度的立方成正比，已知当速度为每小时20 km时，每小时机车消耗的价值为40元，至于其他费用每小时要200元．要使火车从甲城开往乙城时的总费用最省，则火车行驶的速度应为(　　) A．10 km/h B． km/h C．100 km/h D．10 km/h 解：选D　设速度为x km/h，甲、乙之间的距离为a km， 则总费用为y＝f(x)＝(kx3＋200) ＝a(x>0). ∵40＝k·203＝8000k，∴k＝， ∴y＝f(x)＝a(x>0)， f′(x)＝a＝， 令f′(x)＝0，则x＝10 . 当0<x<10时，f′(x)<0， 当x>10时，f′(x)>0， ∴x＝10时，f(x)取得极小值，此时也是最小值． ∴当火车行驶速度为10 km/h时，费用最少． 11．假设某国家在20年间的平均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋5%)t，其中p0为t＝0时的物价，假定某种商品的p0＝1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是________元/年(精确到0.01). 解析：∵p0＝1，∴p(t)＝(1＋5%)t＝1.05t. 在第10个年头，这种商品价格上涨的速度，即为函数的导函数在t＝10时的函数值． ∵p′(t)＝(1.05t)′＝1.05t·ln 1.05， ∴p′(10)＝1.0510×ln 1.05≈0.08(元/年). ∴在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨． 答案0.08 12．如图，将边长为1的正六边形的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，当这个正六棱柱容器的底面边长为________时，其容积最大． 解析：设被切去的全等四边形的一边长为x，如下图所示，则正六棱柱的底面边长为1－2x，高为x，所以正六棱柱的体积V＝6××(1－ 2x)2×x(0<x<)，化简得V＝(4x3－4x2＋x).又V′＝(12x2－8x＋1)，由V′＝0，得x＝(舍)或x＝. ∵当x∈时，V′>0，V是增函数； 当x∈时，V′<0，V是减函数， ∴当x＝时，V有最大值， 此时正六棱柱的底面边长为. 答案： 13．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k的值及f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值． 解：(1)由题设，隔热层厚度为x cm，每年能源消耗费用为C(x)＝， 再由C(0)＝8，得k＝40， 因此C(x)＝. 而建造费用为C1(x)＝6x. 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10). (2)f′(x)＝6－， 令f′(x)＝0，即＝6， 解得x＝5，x＝－(舍去). 当0≤x<5时，f′(x)<0， 当5<x≤10时，f′(x)>0， 故x＝5是f(x)的最小值点， 对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70. 所以当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元． [素养拓展练] 14．为了解决老百姓“看病贵”的问题，国家多次下调药品价格，各大药厂也在积极行动，通过技术改造来提高生产能力，降低能耗从而降低药品生产的成本．某药厂有一条价值a万元的药品生产线，经过测算，生产成本降低y万元与技术改造投入x万元之间满足：①y与(a－x)和x2的乘积成正比；②当x＝时，y＝a3，并且 技术改造投入比率：∈(0，t]，t为常数且t∈(0，2]. (1)求y＝f(x)的表达式及定义域； (2)为了有更大的降低空间，要尽可能地降低药品的生产成本，求y的最大值及相应的x值． 解：(1)设y＝f(x)＝k(a－x)x2， 当x＝时，y＝a3，即a3＝k··， 所以k＝8，所以f(x)＝8(a－x)x2. 因为0<≤t， 所以函数的定义域是. (2)f′(x)＝－24x2＋16ax， 令f′(x)＝0，则x＝0(舍)或x＝. 当0<x<时，f′(x)>0， 所以f(x)在上是增函数； 当x>时，f′(x)<0， 所以f(x)在上是减函数． 所以x＝为极大值点． 当≥时， 即1≤x≤2，ymax＝f＝a3； 当<时， 即0<t<1，ymax＝f＝. 综上，当1≤t≤2时，投入万元，y的最大值为a3； 当0<t<1时，投入万元， y的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$